第六章 第三节 等比数列-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦等比数列专题，依据课标要求覆盖概念、通项公式、前n项和及性质等核心考点，对接高考评价体系分析近五年真题，明确“基本量运算”占35%、“性质应用”占30%的高频考点分布，归纳出选择填空及解答题三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+技法提炼+素养提升”，如以2023全国甲卷等比数列求和题为例，详解“方程思想+整体代换”解题步骤，培养学生运算能力与推理意识。特设“易错警示”模块，强调等比中项符号、公比q=1分类讨论等陷阱，通过每周高仿真训练让学生熟练答题节奏。教师可据此精准定位学情，助力学生高考冲刺提分，实现高效复习教学。

第三节　等比数列 高中总复习·数学 课标要求 1. 理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2. 探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 3. 体会等比数列与指数函数的关系. 4. 能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等 于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的 ，公比通常用字母q表示（显然q≠0），符号表示为 ＝ （n∈N*）； 同一个　 公比　 q　 目 录 高中总复习·数学 （2）等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中 项.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 提醒 只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个， 它们互为相反数. 目 录 高中总复习·数学 2. 等比数列的有关公式 （1）通项公式：an＝a1qn－1 an＝am·qn－m； （2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝ 目 录 高中总复习·数学 3. 等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和： （1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝ ⁠； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，… 仍是等比数列，公比为 ⁠； （3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍 成等比数列，其公比为 ⁠. am·an　 qm　 qn　 目 录 高中总复习·数学 1. 等比数列的单调性 （1）当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； （2）当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； （3）当q＝1时，{an}是常数列. 目 录 高中总复习·数学 2. 等比数列的常用结论 （1）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0）， ，{ }，{an·bn}， 仍是等比数列； （2）当q＝1时， ＝ ；当q≠±1时， ＝ ； （3）Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn； （4）若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn， ， ，…成等比数列； 目 录 高中总复习·数学 （5）若等比数列{an}的项数为2n，则 ＝q；若项数为2n＋1，则 ＝q； （6）三个数成等比数列，通常设为 ，x，xq；四个符号相同的数成等比 数列，通常设为 ， ，xq，xq3. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）等比数列{an}的公比q＞1，则该数列为递增数列. （　×　） （2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac. （　×　） （3）如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列. （　×　） （4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝ . （　×　） × × × × 目 录 高中总复习·数学 2. 若a是1和3的等差中项，b是1和4的等比中项，则 ＝（　　） A. ± B. C. 1 D. ±1 解析： 　由题知2a＝1＋3，所以a＝2.由b2＝4得b＝±2，所以 ＝±1. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （人A选二P37练习1（3）题改编）在等比数列{an}中，若a3＝ ，S3＝ ，则a2的值为（　　） A. B. －3 C. － D. －3或 解析： 　由S3＝a1＋a2＋a3＝a3（q－2＋q－1＋1），得q－2＋q－1＋1＝ 3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－ ，所以a2＝ ＝ 或－3. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a5＝8a2，若Sn＝31，则n ＝ ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a5＝8a2，所以1×q4＝ 8×1×q，解得q＝2，又Sn＝ ＝31，即2n＝32，解得n＝5. 5. （人A选二P40习题2（2）题改编）已知等比数列{an}共有2n项，其和 为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝ ⁠. 解析：由题意，得 解得 所以q＝ ＝ ＝2. 5　 2　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 等比数列基本量的运算（基础自学过关） 1. （2024·天津部分区期末）已知等比数列{an}的前n项和是Sn，且a1＝ 2，a3＝6a2－18，则S5＝（　　） A. 30 B. 80 C. 240 D. 242 解析： 　设{an}的公比为q，所以a3＝2q2，又a3＝6a2－18＝12q－18， 所以q2－6q＋9＝0，解得q＝3，所以S5＝ ＝242.故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8 ＝（　　） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 解析： 　设等比数列{an}的公比为q，则q＝ ＝ ＝2，所以a6 ＋a7＋a8＝（a1＋a2＋a3）·q5＝1×25＝32.故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （2023·全国甲卷文13题）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝ 7S3，则{an}的公比为 ⁠. 解析：设等比数列{an}的公比为q（q≠1）.由8S6＝7S3，得 8× ＝7× .整理，得8q6－7q3－1＝0，解得q＝－ . 4. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则a1＝ ⁠. 解析：由已知得 ＝a1a2a3＝8，∴a2＝2.设等比数列{an}的公比为q， ∵a1＋a2＋a3＝7，∴ ＋a2＋a2q＝7，即 ＋2q－5＝0，∴2q2－5q＋2 ＝0，解得q＝2或q＝ ，当q＝2时，得a1＝1.当q＝ 时，得a1＝4. － 　 1或4　 目 录 高中总复习·数学 练后悟通 等比数列基本量运算的解题策略 （1）方程思想：等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件 及通项公式或前n项和公式列方程（组）求解，等比数列中包含a1，q， n，an，Sn五个量，可“知三求二”； （2）分类讨论思想：若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式 时要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论； （3）整体思想：挖掘局部与整体的联系，有目的的整体代换求解. 目 录 高中总复习·数学 等比数列的判定与证明（师生共研过关） 已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. （1）证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； 解： 证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3（an＋1＋an）， 因为{an}中各项均为正数， 所以an＋1＋an＞0，所以 ＝3， 所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列. 目 录 高中总复习·数学 （2）若a1＝ ，a2＝ ，求{an}的通项公式. 解： 由（1）知an＋an＋1＝（a1＋a2）3n－1＝2×3n－1， 因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2－3an＋1＝－（an＋1－3an），因为a2＝3a1， 所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an， 所以4an＝2×3n－1，an＝ ×3n－1. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 目 录 高中总复习·数学 提醒 （1）在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法；（2） 如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比 数列即可. 目 录 高中总复习·数学 1. 已知数列{an}满足 ＝anan＋2（n∈N*），若a3＝1，a7＝4，则a5＝ （　　） A. ±2 B. －2 C. 2 D. 8 解析： 　由 ＝an·an＋2可知，数列{an}为等比数列，则 ＝a3·a7＝ 4，设{an}的公比为q，因为a5＝a3·q2，且a3＝1＞0，所以a5＞0，所以a5 ＝2，故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 2. （2024·皖江名校联盟月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋ 1.证明数列{ － }为等比数列，并求数列{an}的通项公式. 解：由已知an＋an＋1＝2n＋1得 ＋ × ＝1， 因此 － ＝－ （ － ），又 － ＝－ ， 所以数列{ － }是首项为－ ，公比为－ 的等比数列， 因此 － ＝－ （－ ）n－1，所以an＝ . 目 录 高中总复习·数学 等比数列的性质及应用（定向精析突破） 考向1　等比数列项的性质 （1）（2025·江门一模）已知{an}是等比数列，a3a5＝8a4，且a2， a6是方程x2－34x＋m＝0两根，则m＝（　C　） A. 8 B. －8 C. 64 D. －64 C 目 录 高中总复习·数学 解析： 因为{an}是等比数列，所以a3a5＝ ，a2a6＝ ，又a3a5＝ 8a4，所以a4＝8，又a2，a6是方程x2－34x＋m＝0两根，所以m＝a2a6＝ ＝64.故选C. 目 录 高中总复习·数学 （2）〔多选〕已知正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），前n项积为 Tn，且满足a7＞1，a7a8＜1，则下列说法正确的是（　ACD　） A. 0＜q＜1 B. q＞1 C. T14＜1＜T13 D. {Tn}存在最大值 解析： 由已知a7a8＝a7a7q＝q ＜1，又a7＞1，q＞0，所以0＜a8 ＜1，0＜q＜1，A正确，B错误；T13＝（a1a13）（a2a12）（a3a11）… （a6a8）·a7＝（ ）6·a7＝ ＞1，T14＝（a1a14）（a2a13）（a3a12）… （a6a9）·（a7a8）＝（a7a8）7＜1，所以T14＜1＜T13，C正确；因为0＜q ＜1且a1＞0，所以等比数列{an}为递减数列，于是a1＞a2＞…＞a7＞1＞a8 ＞a9＞…，则Tn的最大值为T7，D正确. ACD 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特 别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高 解题速度. 目 录 高中总复习·数学 考向2　等比数列前n项和的性质 （1）等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ， 偶数项之和为 ，则这个等比数列的公比q＝（　C　） A. 2 B. 3 C. D. 解析： 设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1 ＝ ，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝ ，则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q （a2＋a4＋…＋a2m）＝2＋ q＝ ，解得q＝ . C 目 录 高中总复习·数学 （2）设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 ＝ ⁠. 解析： 由题意得S6－S3＝8，S6＝S3＋8＝4＋8＝12，因为S3，S6－ S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，故 ＝ ＝ ，即82＝4（S9 －12），解得S9＝28，则S9－S6＝28－12＝16，所以162＝8（S12－28）， S12＝60，故 ＝ ＝5. 5　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　恰当地使用等比数列前n项和的性质，如当q≠－1，或q＝－1且n为 奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列等，可以避繁就简， 运算简便的同时避免了对公比q的讨论.但须注意性质的使用条件，并结合 题设寻找使用性质的切入点. 目 录 高中总复习·数学 1. 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5 ，则 a7a8a9＝（　　） A. 25 B. 20 C. 10 D. 10 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　法一 因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3＝ ＝5， a4a5a6＝ ＝5 ，a7a8a9＝ ，又a2a8＝ ，所以（a2a8）3＝（ ）3 ＝50，得a7a8a9＝ ＝ ＝10.故选D. 法二 因为数列{an}为正项等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比 数列，所以（a4a5a6）2＝（a1a2a3）·（a7a8a9）＝50，又a1a2a3＝5，所 以a7a8a9＝10，故选D. 目 录 高中总复习·数学 2. （2023·新高考Ⅱ卷8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5， S6＝21S2，则S8＝（　　） A. 120 B. 85 C. －85 D. －120 解析： 　法一 设等比数列{an}的公比为q.若q＝1，则Sn＝na1，不满 足S6＝21S2，∴q≠1.由S6＝21S2，得 ＝21a1（1＋q）.整 理，得1－q6＝21（1－q2），即（1－q2）（q4＋q2－20）＝0.显然 q≠±1，∴q4＋q2－20＝0，解得q2＝－5（舍去）或q2＝4.∴S8＝ ＝ ＝（1＋q4）S4＝（1＋42）×（－5）＝ －85.故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 法二 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，∴（S4－S2）2 ＝S2·（S6－S4），解得S2＝ －1或S2＝ .当S2＝－1时，由（S6－S4）2 ＝（S4－S2）·（S8－S6），解得S8＝－85；当S2＝ 时，结合S4＝－5得 化简可得q2＝－5，不成立，舍去.∴S8＝－85， 故选C. 目 录 高中总复习·数学 3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则a＝ ，数列 { }的前n项和为 ⁠. 解析：设数列{ }的前n项和为Tn，因为Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n－1＋ a（n≥2），所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1（n≥2），且a1＝S1＝3＋a.又 数列{an}为等比数列，所以an＝2·3n－1，且2＝3＋a，所以a＝－1.因为 ＝（ ）2＝9，且 ＝4，所以{ }是首项为4，公比为9的等比数 列，所以{ }的前n项和Tn＝ ＝ . －1　 　 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，则公比q＝（　　） A. － B. －2 C. 2 D. 解析： 　由题意，知q3＝ ＝ ，即q＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 23 24 25 √ 目 录 高中总复习·数学 2. （2025·蚌埠教学质量检查）已知各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5＝9，则log3a4＋log3a6＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 解析： 　因为{an}是等比数列，所以 ＝a4a6，所以a4a6＝81，所以 log3a4＋log3a6＝log381＝log334＝4.故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （2025·扬州模拟）各项均不相等的等比数列{an}的前n项和为Sn，若 a1a5＝ ，S3＝ ，则公比q＝（　　） A. －2 B. －1 C. － D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意知，数列{an}为各项均不相等的等比数列，设其公比为 q（q≠1），则S3＝a1＋a2＋a3＝a1（1＋q＋q2）＝ ，由a1a5＝ ＝ ，得a3＝± .当a3＝ 时，由 得2q2－q－1＝ 0，解得q＝－ 或q＝1（舍）； 当a3＝－ 时，由 得4q2＋q＋1＝0，Δ＝1－16＝ －15＜0，无解.综上，q＝－ ，故C正确. 目 录 高中总复习·数学 4. （2025·襄阳模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S8＋S24＝ 140，且S24＝13S8，则S16＝（　　） A. 40 B. －30 C. 30 D. －30或40 解析： 　因为S8＋S24＝140，且S24＝13S8，所以S8＝10，S24＝130，故 q≠±1，所以 ＝ ＝（q8）2＋q8＋1＝13，即（q8）2＋q8－12＝ 0，解得q8＝3或q8＝－4（舍去），由等比数列性质可知，S8，S16－S8， S24－S16成等比数列，公比为q8＝3，所以S16－10＝10×q8＝30，解得S16 ＝40. √ 目 录 高中总复习·数学 5. 〔多选〕已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝3，a2a4＝144，其 前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式bn＝ ，设{bn}的前n项和为 Tn，则下列说法中正确的是（　　） A. 数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1 B. Sn＝3×2n－1 C. Tn随n的增大而增大 D. ≤Tn＜ √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意得a2a4＝ ＝144，因为各项均为正数，所以a3＝ 12，q2＝ ＝4，q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1，故选项 A正确；Sn＝ ＝3×2n－3，故选项B错误；bn＝ ＝ － ，累加得Tn＝ － ＜ ，且Tn随n的增大而增 大，所以Tn≥T1＝ ，故 ≤Tn＜ ，故选项C、D正确.故选A、C、D. 目 录 高中总复习·数学 6. 在正项等比数列{an}中，若a3a5a7＝27，则 log3ai＝ ⁠. 解析：因为a3a5a7＝27，所以 ＝27，解得a5＝3，所以 log3ai＝log3a1 ＋log3a2＋…＋log3a9＝log3（a1a2…a8a9）＝log3 ＝log339＝9. 9　 目 录 高中总复习·数学 7. （2024·成都七校期中）数列{an}满足a1＝a2＝1，a2n＋1－a2n－1＝2， ＝2，数列{an}的前n项和记为Sn，则S23＝ ⁠. 解析：∵a1＝1，a2n＋1－a2n－1＝2，∴数列{a2n－1}是以1为首项，2为公差 的等差数列，∴a2n－1＝1＋（n－1）×2＝2n－1.∵a2＝1， ＝2， ∴数列{a2n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a2n＝2n－1.∴S23＝ （a1＋a3＋…＋a23）＋（a2＋a4＋…＋a22）＝ ＋ ＝ 2 191. 2 191　 目 录 高中总复习·数学 8. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连 接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若 某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为 ，则其最小正 方形的边长为 ⁠. 　 目 录 高中总复习·数学 解析：由题意，得正方形的边长构成以 为首项， 为公比的等比数列， 现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10， 所以最小正方形的边长为（ ）10＝ . 目 录 高中总复习·数学 9. （2024·全国甲卷文17题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知2Sn＝ 3an＋1－3. （1）求{an}的通项公式； 解： 因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn＋1＝3an＋2－3， 两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1， 即an＋2＝ an＋1，所以等比数列{an}的公比为 . 因为2S1＝3a2－3＝5a1－3， 所以a1＝1，故an＝（ ）n－1. 目 录 高中总复习·数学 （2）求数列{Sn}的前n项和. 解： 因为2Sn＝3an＋1－3， 所以Sn＝ （an＋1－1）＝ ［（ ）n－1］， 设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝ × － n＝ ×（ ） n－ n－ . 目 录 高中总复习·数学 10. 已知等差数列{an}的公差不为0，正项等比数列{bn}，a2＝b2，a10＝ b10，则以下命题中正确的是（　　） A. a1＞b1 B. a5＞b5 解析： 由题意可知：点（n，an） 在一次函数图象上，点（n，bn）在 指数型函数图象上，两图象交点横坐 标为2和10，两图象只有同增或同减时 才有两个交点，如图， 由图可知：a1＜b1，a5＞b5，a6＞b6，a17＜b17.故选B. C. a6＜b6 D. a17＞b17 √ 目 录 高中总复习·数学 11. 若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知数列 为“梦想数列”，且b1＝2，则b4＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　若 为“梦想数列”，则有 －1＝3 ＋2，即 －1＝ －1，即 ＝ ，且b1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，以 为公比的等比数列.则b4＝2× ＝ ，故选B. √ 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕（2025·南充部分学校联考）各项均为正数的等比数列{an}的 前n项积为Tn，若a1＞1，公比q≠1，则下列说法正确的是（　　） A. 若T6＝T10，则必有T16＝1 B. 若T6＝T10，则必有T8是数列{Tn}的最大项 C. 若T7＞T8，则必有T6＞T7 D. 若T7＞T8，则必有T8＞T9 √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，若T6＝T10，则a7a8a9a10＝1，即有a7a10＝a8a9＝1， 根据等比数列的性质，得a6a11＝a5a12＝a4a13＝a3a14＝a2a15＝a1a16＝1， 即T16＝1，A正确；对于B，若0＜q＜1，则等比数列{an}递减，结合A选 项分析知，{an}的前8项均大于1，从第9项开始小于1，则T8是数列{Tn}的 最大项；若q＞1，则等比数列{an}递增，因为a1a16＝1，所以a1＜1，a16 ＞1，与a1＞1矛盾，B正确；对于C，若T7＞T8，则 ＝a8＜1，而a1＞1， 此时数列{an}递减，若a7＞1，则 ＞1，此时T7＞T6；若a7＜1，则 ＜ 1，此时T7＜T6，故C错误；对于D， ＝a8＜1，而a1＞1，所以数列{an}递减，所以a9＜1，所以 ＜1，即T8＞T9，D正确. 目 录 高中总复习·数学 13. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＋an＝2n，Sn＝1 365，则n ＝ ⁠. 解析：an＋1＋an＝2n，即数列{an}的任意相邻两项之和是偶数，而Sn＝1 365和a1＝1都是奇数，则n必为奇数，故Sn＝a1＋（a2＋a3）＋（a4＋ a5）＋…＋（an－1＋an）＝1＋22＋24＋…＋2n－1＝ ＝ ，于是 由 ＝1 365得2n＋1＝4 096＝212，故n＋1＝12，从而n＝11. 11　 目 录 高中总复习·数学 14. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2. （1）证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； 解： 由an＋1＝2an＋2， 得an＋1＋2＝2（an＋2）， 又a1＋2＝3， 所以 ＝2， 所以{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以an＋2＝3×2n－1， an＝3×2n－1－2. 目 录 高中总复习·数学 （2）求数列{an}落入区间（10，2 026）的所有项的和. 解： 由10＜an＜2 026， 得10＜3×2n－1－2＜2 026， 即4＜2n－1＜676，即4≤n≤10， 故{an}落入区间（10，2 026）的项为a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10， 所以其和S＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10 ＝3×（23＋24＋…＋29）－2×7 ＝3× －14 ＝3 034. 目 录 高中总复习·数学 15. （创新知识交汇）如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与 △ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn＋1与圆Dn相 切且与AB，AC相切，依次得到圆D1，D2，…，Dn，….设圆D1， D2，…，Dn的面积之和为Xn（n∈N*），则Xn＝（　　） A. πa2（ ）n－1 B. πa2［1－（ ）n］ C. πa2［1－（ ）n］ D. πa2［（ ）n－1－（ ）n－1＋1］ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设rn为圆Dn的半径，则r1＝ tan 30°＝ a.设圆Dn与AC切于 点F，连接DnDn＋1，DnF，过Dn＋1作Dn＋1E⊥DnF于点E，则DnDn＋1＝rn ＋rn＋1，DnE＝rn－rn＋1，所以 ＝ ＝ sin 30°＝ ，整理， 得rn＋1＝ rn.设Sn为圆Dn的面积，则S1＝π ＝ a2， ＝ ＝ （ ）2＝ （n∈N*），所以数列{Sn}是首项为 a2，公比为 的等比数 列，所以Xn＝ ＝ πa2［1－（ ）n］，故选B. 目 录 高中总复习·数学 16. （新定义）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列， 则称{an}为“等比源数列”. （1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断 {an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由； 解： {an}是“等比源数列”，{bn}不是“等比源数列”. {an}中“1，2，4”构成等比数列，所以{an}是“等比源数列”； {bn}中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不 能构成等比数列，且这四者的其他次序也不构成等比数列， 所以{bn}不是“等比源数列”. 目 录 高中总复习·数学 （2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n－1＋1，判断{cn}是否为“等比源 数列”，并说明理由. 解： {cn}不是“等比源数列”.理由如下： 假设{cn}是“等比源数列”，因为{cn}是单调递增数列， 即{cn}中存在的cm，cn，ck（m＜n＜k）三项成等比数列， 也就是 ＝cmck，即（2n－1＋1）2＝（2m－1＋1）·（2k－1＋1），22n－2＋ 2n＝2m＋k－2＋2m－1＋2k－1，两边同时除以2m－1， 得22n－m－1＋2n－m＋1＝2k－1＋1＋2k－m， 等式左边22n－m－1＋2n－m＋1为偶数， 等式右边2k－1＋1＋2k－m为奇数. 所以原等式不成立，所以cm，cn，ck不成等比数列，所以数列{cn}不是 “等比源数列”. 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $