第六章 第七节 数列中的创新性问题-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦数列中的创新性问题，覆盖新定义数列、新情境问题等高考核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳证明、计算等常考题型，通过考点分类突破和师生共研实现针对性备考。 课件亮点在于“真题训练+技法指导”，如以数列新情境问题为例，通过符号化证明bₙ₊₁ - bₙ=-1培养数学思维与语言表达能力，总结“读懂题意—特殊分析—规律转化”的解题流程，助力学生掌握技巧，为教师复习教学提供系统指导。

第七节　数列中的创新性问题 高中总复习·数学 重点解读 　　数列中的创新性问题，往往是通过给出一个新的数列的定义，或约定 一种新的运算或性质，或给出几个新模型来创设新问题的情境，要求在阅 读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信 息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新 定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条 分析、运算、验证，使问题得以解决. 目 录 CONTENTS 考点·分类突破 01. 课时·跟踪检测 02. PART 01 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 数列的新情境问题（师生共研过关） 已知数列{an}（n∈N*）满足a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝ 5，当n≥5时，an＋1＝a1a2…an－1.若数列{bn}（n∈N*）满足bn＝ a1a2…an－（ ＋ ＋…＋ ）， （1）求b5； 解： b5＝1×2×3×4×5－（12＋22＋32＋42＋52）＝65. 目 录 高中总复习·数学 （2）求证：当n≥5时，bn＋1－bn＝－1； 解： 证明：bn＋1－bn＝[a1a2…anan＋1－（ ＋ ＋…＋ ）]－ [a1a2…an－（ ＋ ＋…＋ ）] ＝（a1a2…an）（an＋1－1）－ ＝an＋1（a1a2…an－an＋1）－a1a2…an ＝an＋1－a1a2…an ＝－1（n≥5）. 目 录 高中总复习·数学 （3）求证：仅存在两个正整数m，使得bm＝0. 解： 证明：b1＝a1－ ＝1－1＝0，b2＝a1a2－（ ＋ ）＝2－5 ＝－3，b3＝a1a2a3－（ ＋ ＋ ）＝6－14＝－8，b4＝24－30＝－ 6，b5＝65. 当n≥5时，bn是以b5＝65为首项、－1为公差的等差数列.由bm＝b5＋（m －5）×（－1）＝0，解得m＝70. 所以只有m＝1或m＝70时，满足bm＝0. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　对于新情境问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究 对象的本质特征、数量关系（数量化的特征）等，建立数学模型求解. 目 录 高中总复习·数学 　几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学 习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软 件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2， 4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21， 再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N： N＞55且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 （　　） A. 95 B. 105 C. 115 D. 125 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　将数列排成行的形式 1 1，2 1，2，4 1，2，4，8 …… 目 录 高中总复习·数学 第n行为20，21，…，2n－1，第n行和为an＝ ＝2n－1，前n行 共有 个数，前 项和为Sn＝ －n＝2n＋1－2－ n，假设从第1行第1个数到第n＋1行第m（1≤m≤n＋1）个数共有N个 数，则N＝ ＋m，前N项和为TN＝Sn＋am＝2n＋1－2－n＋2m－ 1，若TN为2的整数幂，则有2＋n＝2m－1，∵N＞55，∴n＞10，且n为 奇数，当n＝11时，m无整数解，当n＝13时，m＝4，此时N＝ ＋4 ＝95. 目 录 高中总复习·数学 数列的新定义问题（师生共研过关） 若有穷数列{am}（m＝1，2，3，4，…，n；n＝2，3，4，…）满 足条件① ai＝0，② ｜ai｜＝1，则称数列{am}为n阶“单位数列”. （1）写出两个递增的3阶“单位数列”； 解： 数列1：－ ，－ ， ， 数列2：－ ，0， . 以上两个数列均为递增的3阶“单位数列”（答案不唯一，合理即可）. 目 录 高中总复习·数学 （2）若等差数列{an}是一个2k＋1（k∈N*）阶“单位数列”，且是递增 数列，求该数列的通项公式（用含k的代数式表示）； 解： 设等差数列{an}的公差为d， 因为该数列为递增数列，所以d＞0. 由已知得a1＋a2＋a3＋…＋a2k＋1＝0， 所以（2k＋1）a1＋ ＝0， 所以a1＋kd＝0，即ak＋1＝0，所以ak＋2＝d， 由递增“单位数列”的定义可得ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k＋1＝ ， 目 录 高中总复习·数学 所以kd＋ d＝ ，即d＝ . 由ak＋1＝0得a1＋k· ＝0，即a1＝－ ， 所以an＝－ ＋（n－1） ＝ － （n∈N*，n≤2k＋ 1）. 目 录 高中总复习·数学 （3）记n阶“单位数列”{am}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n）， 试比较｜Sk｜与 的大小. 解： ｜Sk｜≤ ，理由如下： （ⅰ）当k＝n时，由定义可知｜Sn｜＝0，｜Sk｜≤ 成立. （ⅱ）当k＜n时，由 ai＝0，得Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝－（ak＋1＋ak＋2 ＋…＋an）， 即｜Sk｜＝｜a1＋a2＋…＋ak｜＝｜ak＋1＋ak＋2＋…＋an｜， 目 录 高中总复习·数学 由 ｜ai｜＝1，得｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜＝1， 所以2｜Sk｜＝｜a1＋a2＋…＋ak｜＋｜ak＋1＋ak＋2＋…＋an｜≤｜a1｜ ＋｜a2｜＋…＋｜ak｜＋｜ak＋1｜＋｜ak＋2｜＋…＋｜an｜＝1，即｜Sk｜ ≤ . 综上，｜Sk｜≤ （k＝1，2，3，…，n）. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 解决数列新定义问题的方案及流程 （1）读懂题意，理解研究的对象，理解新定义数列的含义； （2）特殊分析，例如先对n＝1，2，3，…的情况讨论； （3）通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与 已知数列（如等差与等比数列）的关系，仔细观察，探求规律，注重转 化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列的有关知识来求解. 目 录 高中总复习·数学 　若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap＋1＝aq＋1， 则称数列{an}具有性质p. （1）若数列{an}具有性质p，且a1＝3，a2＝2，a4＝3，a5＋a6＋a7＝4， 求a3； 解： 数列{an}具有性质p， 则由a1＝a4＝3，可得a2＝a5＝2，进而a3＝a6，a4＝a7＝3， 所以由a5＋a6＋a7＝4，可得a3＝a6＝4－a5－a7＝4－2－3＝－1. 故a3＝－1. 目 录 高中总复习·数学 （2）若数列{an}具有性质p，且a1＝am＋1＝x，a2＝am＋3＝y（m≥2， m∈N*），求证：x＝y. 解： 证明：法一 因为a1＝am＋1＝x，a2＝am＋3＝y，且数列{an}具有 性质p， 所以a2＝am＋2＝y，进而a3＝am＋3＝y， 因此a2＝a3＝y，依此类推可得，a3＝a4＝y，a4＝a5＝y，…， 所以有任意n∈N*，n≥2，都有an＝y， 又由已知m≥2，m∈N*，得m＋1≥3，且m＋1∈N*，故am＋1＝y＝x， 所以x＝y得证. 目 录 高中总复习·数学 法二 由数列{an}具有性质p，只要ap＝aq，则ap＋1＝aq＋1，ap＋2＝aq＋ 2，…， 即∀k∈N*，ap＋k＝aq＋k， 则有a1＝am＋1＝a2m＋1＝…＝apm＋1＝x（m≥2，m∈N*，p∈N）， a2＝am＋3＝a（m＋1）＋2＝a2（m＋1）＋2＝a3（m＋1）＋2＝…＝aq（m＋1）＋2＝y （m≥2，m∈N*，q∈N）， 令p＝m，q＝m－1，则有 ＝x＝y， 故x＝y得证. 目 录 高中总复习·数学 PART 02 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代 的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图 案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图为正方 形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所 成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长 为（　　） A. B. C. 4 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 23 24 25 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设第n个正方形的边长为an，则由已知可得an＝an＋1 sin 15°＋ an＋1 cos 15°，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴{an}是以9 为首项， 为公比的等比数列，∴a5＝a1q4＝9×（ ）4＝4. 目 录 高中总复习·数学 2. 科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数 列”，其定义是：对于函数f（x），若数列{xn}满足xn＋1＝xn－ ，则称数列{xn}为牛顿数列，若函数f（x）＝x2，数列{xn}为牛 顿数列且x1＝2，an＝log2xn，则a8＝（　　） A. 8 B. 2 C. －6 D. －4 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　根据题意，xn＋1＝xn－ ＝xn－ ＝xn－ ＝ ，所以 ＝ ，又x1＝2，所以{xn}为首项是2，公比是 的等比数列，所以xn＝ 2×（ ）n－1＝（ ）n－2＝22－n，所以an＝log2xn＝log222－n＝2－n，所 以a8＝2－8＝－6. 目 录 高中总复习·数学 3. 〔多选〕（2025·河南五市联考）对于数列{an}（n∈N*，an∈N*）， 定义bk为a1，a2，…，ak（k＝1，2，…，n）（n∈N*）中的最大值，把 数列{bn}称为数列{an}的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数 列”为2，2，3，7，7，则（　　） A. 若数列{an}是递减数列，则{bn}为常数列 B. 若数列{an}是递增数列，则有an＝bn C. 满足{bn}为2，3，3，5，5的所有数列{an}的个数为8 D. 若an＝（－2）n－1（n∈N*），记Sn为{bn}的前n项和，则S100＝ （2100－1） √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　若数列{an}是递减数列，则a1是a1，a2，…，ak（k＝1， 2，…，n）中的最大值，所以bn＝a1，{bn}为常数列，A正确；若数列 {an}是递增数列，则ak是a1，a2，…，ak（k＝1，2，…，n）中的最大 值，所以bk＝ak，即an＝bn，B正确；若{bn}为2，3，3，5，5，则a1＝ 2，a2＝3，a3可以取1，2，3，a4＝5，a5可以取1，2，3，4，5，故符合要 求的数列{an}的个数为3×5＝15，C错误；若an＝（－2）n－1 （n∈N*），则数列{an}中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负 数，则有b2k－1＝b2k＝（－2）2k－2＝22k－2（k∈N*），所以S100＝2（1＋ 22＋24＋…＋298）＝ （2100－1），D正确.故选A、B、D. 目 录 高中总复习·数学 4. 〔多选〕已知数列{an}满足：对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得Sn ＝am，则称{an}为“回旋数列”.以下结论中正确的是（　　） A. 若an＝2 026n，则{an}为“回旋数列” B. 设{an}为等比数列，且公比q为有理数，则{an}为“回旋数列” C. 设{an}为等差数列，当a1＝1，公差d＜0时，若{an}为“回旋数列”， 则d＝－1 D. 若{an}为“回旋数列”，则对任意n∈N*，总存在m∈N*，使得an＝ Sm √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 对于A，由an＝2 026n可得Sn＝2 026×（1＋2＋3＋…＋n） ＝2 026× ，由Sn＝am可得2 026× ＝2 026m，取m＝ 即可，则{an}为“回旋数列”，故A正确；对于B，当q＝1时， Sn＝na1，am＝a1，由Sn＝am可得na1＝a1，故当n＝2时，很明显na1＝a1 不成立，故{an}不是“回旋数列”，故B错误； 目 录 高中总复习·数学 对于C，{an}是等差数列，故am＝1＋（m－1）d，Sn＝n＋ d， 因为数列{an}是“回旋数列”，所以1＋（m－1）d＝n＋ d， 即m＝ ＋ ＋1，其中 为非负整数，所以要保证 恒 为整数，故d为所有非负整数的公约数，且d＜0，所以d＝－1，故C正确； 对于D，由A可知，当an＝2 026n时，{an}为“回旋数列”，取a2＝2 026×2，Sm＝2 026× ，显然不存在m，使得Sm＝a2＝2 026×2， 故D错误. 目 录 高中总复习·数学 5. 已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝ 若a6＝1，则m所有可能的取值为 ⁠. 4，5，32　 目 录 高中总复习·数学 解析：∵数列{an}满足a1＝m（m为正整数），an＋1＝ 由a6＝1和上式知，a5一定为偶数且 ＝1，即a5＝ 2，由题意知an∈N*，若3a4＋1＝2，解得a4＝ ∉N*，故a4为偶数，且 ＝2，∴a4＝4.由此可按上述分析得到a3＝8或a3＝1，若a3＝8，则a2＝ 16，a1＝32或a1＝5；若a3＝1，则a2＝2，a1＝4，故m所有可能的值为4， 5，32. 目 录 高中总复习·数学 6. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位 同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手 一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲 同学拍手的总次数为 ⁠. 5　 目 录 高中总复习·数学 解析：由题意可知，将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数 列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610， 987，…，该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…，4n项均是3的倍 数，甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m－4.问题可化为求数列 {4n}与{5m－4}的公共项，易知，当m＝4k，n＝5k－1时，5m－4＝ 20k－4＝4n，又1＜4n≤100，∴20k－4≤100.∴k≤5，∴甲拍手的总次 数为5次.即第16，36，56，76，96次报数时拍手. 目 录 高中总复习·数学 7. （2024·咸阳三模）数列{an}的前n项的最大值记为Mn，即Mn＝ max{a1，a2，…，an}；前n项的最小值记为mn，即mn＝min{a1， a2，…，an}，令pn＝Mn－mn，并将数列{pn}称为{an}的“生成数列”. （1）设数列{pn}的“生成数列”为{qn}，求证：pn＝qn； 解： 证明：由题意可知Mn＋1≥Mn，mn＋1≤mn， ∴Mn＋1－mn＋1≥Mn－mn，因此pn＋1≥pn， 即{pn}是递增数列，且p1＝M1－m1＝0， 由“生成数列”的定义可得pn＝qn. 目 录 高中总复习·数学 （2）若an＝2n－3n，求其生成数列{pn}的前n项和. 解： 当n≥3时，an－an－1＝2n－3n－[2n－1－3（n－1）]＝2n－1－3 ＞0，∴an＞an－1. ∴a1＞a2＜a3＜a4＜…＜an＜…， 又a1＝－1，a2＝－2，a3＝－1， ∴p1＝0，p2＝－1－（－2）＝1， 当n≥3时，pn＝an－a2＝2n－3n－（－2）＝2n－（3n－2）. 设数列{pn}的前n项和为Sn.则S1＝0，S2＝1. 目 录 高中总复习·数学 当n≥3时，Sn＝0＋1＋p3＋p4＋…＋pn＝1＋（23－7）＋（24－10）＋… ＋[2n－（3n－2）] ＝1＋（23＋24＋…＋2n）－[7＋10＋…＋（3n－2）] ＝1＋ － ＝2n＋1－ ， 又S2＝1符合上式， ∴Sn＝ 目 录 高中总复习·数学 8. （2024·北京顺义模拟）将平面直角坐标系中的一列点A1（1，a1），A2 （2，a2），…，An（n，an），…记为{An}.设f（n）＝ ·j，其 中j为与y轴方向相同的单位向量，若对任意的正整数n，都有f（n＋1） ＞f（n），则称{An}为T点列. （1）判断A1（1，1），A2（2， ），A3（3， ），…，An（n， ），…是否为T点列，并说明理由； 目 录 高中总复习·数学 解： {An}为T点列，理由如下： 由题意可知， ＝（1， － ），j＝（0，1），所以f（n）＝ ·j＝ － ， f（n＋1）－f（n）＝ － －（ － ）＝ ＞0，即f （n＋1）＞f（n），n∈N*， 所以A1（1，1），A2（2， ），A3（3， ），…，An（n， ），…为T 点列. 目 录 高中总复习·数学 （2）若{An}为T点列，且a2＞a1.任取其中连续三点Ak，Ak＋1，AAk＋2， 证明△AkAk＋1AAk＋2为钝角三角形. 解： 证明：由题意可知， ＝（1，an＋1－an），j＝（0， 1），所以f（n）＝ ·j＝an＋1－an， 因为{An}为T点列，所以f（n＋1）－f（n）＝an＋2－an＋1－（an＋1－ an）＞0，n∈N*， 又因为a2＞a1，所以a2－a1＞0. 所以对{An}中连续三点Ak，Ak＋1，Ak＋2，都有ak＋2－ak＋1＞ak＋1－ak＞ 0，ak＋2＞ak＋1＞ak. 目 录 高中总复习·数学 因为 ＝（1，ak＋1－ak）， ＝（1，ak＋2－ak＋1），ak＋2 －ak＋1＞ak＋1－ak＞0，故 与 不共线，即Ak，Ak＋1，Ak＋ 2不共线， 因为 · ＝－1＋（ak－ak＋1）·（ak＋2－ak＋1）＜0， 所以 cos ∠AkAk＋1Ak＋2＝ ＜0，则∠AkAk＋1Ak＋2为 钝角， 所以△AkAk＋1Ak＋2为钝角三角形. 目 录 高中总复习·数学 9. （2024·九江二模）已知无穷数列{an}中，an≥0，记An＝max{a1， a2，…，an}，Bn＝min{an＋1，an＋2，…}，dn＝An－Bn. （1）若{an}为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即 ∀n∈N*，an＋4＝an），直接写出d1，d2，d3，d4的值； 解： d1＝2，d2＝2，d3＝2，d4＝4. （2）若{an}为周期数列，证明：∃n0∈N*，使得当n＞n0时，dn是常数； 解： 证明：不妨设{an}的周期为T（T∈N*）， 记AT＝max{a1，a2，…，aT}，BT＝min{aT＋1，aT＋2，…}， 则当n＞T时，dn＝AT－BT是常数， 即∃n0＝T，使得当n＞n0时，dn是常数. 目 录 高中总复习·数学 （3）设d是非负整数，证明：dn＝－d（n＝1，2，3，…）的充要条件为 {an}是公差为d的等差数列. 解： 证明：充分性：若{an}是公差为d的等差数列，则an＝a1＋（n －1）d， 于是An＝an＝a1＋（n－1）d，Bn＝an＋1＝a1＋nd. 因此dn＝An－Bn＝－d（n＝1，2，3，…）， 必要性：∵dn＝－d≤0，∴An＝Bn＋dn≤Bn， ∵an≤An，an＋1≥Bn，∴an≤an＋1，于是An＝an，Bn＝an＋1. 因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d. 故数列{an}是公差为d的等差数列. 目 录 高中总复习·数学 10. （2025·重庆一中模拟）对于数列{an}，定义Δan＝an＋1－an （n∈N*），数列{an}满足a1＝a2＝1，Δ（Δan）＝m（m∈R），记f （m，n）＝a1m＋a2m2＋…＋anmn，称f（m，n）为由数列{an}生成的 “m-函数”. （1）试写出“2-函数”f（2，n），并求f（2，3）的值； 解： 由定义及Δ（Δan）＝m知Δ（Δan）＝Δan＋1－Δan＝m， 所以{Δan}是公差为m的等差数列，所以Δan＝Δa1＋（n－1）m. 因为a1＝a2＝1，所以Δa1＝a2－a1＝0，所以Δan＝（n－1）m，即an＋1 －an＝（n－1）m. 目 录 高中总复习·数学 当n≥2时，有a3－a2＝m，a4－a3＝2m，…，an－an－1＝（n－2）m， 所以an－a2＝m＋2m＋…＋（n－2）m＝ ， 即an＝1＋ （n≥2）， 当n＝1时，a1＝1，满足上式，所以an＝1＋ . 当m＝2时，an＝1＋（n－1）（n－2）＝n2－3n＋3，所以“2-函数”f （2，n）＝1×2＋1×22＋…＋（n2－3n＋3）×2n. 当n＝3时，f（2，3）＝1×2＋1×22＋3×23＝30. 目 录 高中总复习·数学 （2）若“1-函数”f（1，n）的值小于等于15，求n的最大值； 解： 当m＝1时，an＝1＋ ＝ . 故“1-函数”f（1，n）＝a1＋a2＋…＋an＝ ＋ ＋…＋ ＝ （12＋22＋…＋n2）－ （1＋2＋…＋n）＋2n＝ － ＋2n＝ . 由f（1，n）≤15，得n3－3n2＋8n－90≤0. 令g（x）＝x3－3x2＋8x－90（x≥1），则g'（x）＝3x2－6x＋8＝3（x －1）2＋5＞0， 目 录 高中总复习·数学 所以g（x）＝x3－3x2＋8x－90在[1，＋∞）上单调递增， 因为g（5）＝0，所以当1≤n≤5时，f（1，n）≤15，当n＞5时，f （1，n）＞15， 故n的最大值为5. 目 录 高中总复习·数学 解： 证明：由题意得f（m，n）＝a1m＋a2m2＋…＋anmn＝m＋m2 ＋…＋［1＋ ×m］mn＝m＋m2＋…＋［ ×m＋（m＋ 1）］mn＝ i2mi－ imi＋（m＋1） mi， 由S（x）＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，得S'（x）＝1＋22x＋32x2＋…＋ n2xn－1， （3）记函数S（x）＝x＋2x2＋…＋nxn，其导函数为S'（x）.证明： “m-函数”f（m，n）＝ S'（m）－ S（m）＋（m＋1） mi. 目 录 高中总复习·数学 所以xS'（x）＝x＋22x2＋32x3＋…＋n2xn＝ i2xi，所以 i2mi＝mS' （m）， imi＝S（m）， 所以f（m，n）＝ S'（m）－ S（m）＋（m＋1） mi. 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $