第六章 第二节 等差数列-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦等差数列专题，依据课标要求梳理了概念、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点，对接高考评价体系，通过近五年真题分析明确基本量运算、性质应用等高频考点（占比约60%），归纳出定义法判断、前n项和最值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技法提炼+素养落地”，如2024全国甲卷S5=S10题，用方程思想结合二次函数法突破，培养数学思维。通过“练后悟通”总结基本量运算策略，“解题技法”归纳定义法等判断方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第二节　等差数列 高中总复习·数学 课标要求 1. 理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系. 3. 能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4. 体会等差数列与一元一次函数、二次函数的关系. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 等差数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 ⁠ 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数 列的 ，公差通常用字母d表示，符号表示为 ⁠ （n∈N*，d为常数）； 第2项　 差　 公差　 an＋1－an＝d　 提醒 在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝ 0⇔{an}为常数列；③d＜0⇔{an}为递减数列. 目 录 高中总复习·数学 （2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝ ⁠， 其中A叫做a与b的等差中项. 　 目 录 高中总复习·数学 2. 等差数列的有关公式及等差数列与函数的关系 （1）通项公式：an＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）⇒当d≠0时，an 是关于n的一次函数模型，即an＝pn＋q，其中p为公差； （2）前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋ d＝ n2＋ n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数模型，且没有常数项，即Sn＝An2＋Bn. 目 录 高中总复习·数学 3. 等差数列的常用性质 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和. （1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）； （2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak ＋al＝am＋an； （3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k， m∈N*）是公差为md的等差数列； （4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为 ⁠. m2d　 目 录 高中总复习·数学 1. 若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则 ＝ . 2. 若{an}是等差数列，则 也是等差数列，其首项与{an}的首项相同， 公差是{an}公差的 . 3. 若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an ＋an＋1）；S偶－S奇＝nd， ＝ . 4. 若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝（2n－1）an； ＝ ；S奇－S偶＝an（中间项）. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数 列是等差数列. （　×　） （2）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. （　√　） （3）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋ an＋2. （　√　） （4）等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. （　×　） × √ √ × 目 录 高中总复习·数学 2. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝（　　） A. 18 B. 16 C. 20 D. 17 解析： 　因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10.又a7＝12，所以d＝2，所 以a10＝a7＋3d＝12＋6＝18. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （人A选二P17例5改编）已知{an}为等差数列，a1＋a2＝3，a5＋a6＝ 7，则a9＋a10＝（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解析： 　∵{an}为等差数列，∴2（a5＋a6）＝a1＋a10＋a2＋a9＝（a1 ＋a2）＋（a9＋a10），∴a9＋a10＝2×7－3＝11.故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 4. （人A选二P21例7改编）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝ 2，S20＝8，则S30＝ ⁠. 解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2×（8－2）＝2＋ S30－8，解得S30＝18. 5. （苏教选一P182复习题13题改编）在项数为2n的等差数列中，各奇数 项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n＝ ⁠. 解析：S偶－S奇＝nd＝90－75＝15，又∵a2n－a1＝27， ∴ 解得n＝5. 18　 5　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 等差数列基本量的运算（基础自学过关） 1. （2024·全国甲卷理4题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5＝ S10，a5＝1，则a1＝（　　） A. B. C. － D. － √ 解析： 　由S5＝S10，得 ＝ ，所以5a3＝5（a3 ＋a8），所以a8＝0，公差d＝ ＝－ ，所以a1＝a5－4d＝1－4× （－ ）＝ ，故选B. 目 录 高中总复习·数学 2. （2025·厦门第二次质检）已知正项等差数列{an}的公差为d，前n项和 为Sn，且4S3＝（a3＋1）2，4S4＝（a4＋1）2，则d＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　4S3＝（a3＋1）2，4S4＝（a4＋1）2，两式相减得4a4＝（a4＋ 1）2－（a3＋1）2，即（a4－1）2－（a3＋1）2＝0，则（a4＋a3）（a4－ a3－2）＝0，又数列{an}为正项等差数列，∴a4－a3－2＝0，∴a4－a3＝ 2，即d＝2，故选B. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝ 7，3a2＋a5＝5，则S10＝ ⁠. 解析：法一（基本量法） 因为数列{an}为等差数列， 则由题意得 解得 则S10＝10a1＋ d＝10×（－4）＋45×3＝95. 法二（下标和性质法） 设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋ a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝ ＝3，a6＝11，则S10＝ ×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95. 95　 目 录 高中总复习·数学 4. 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中 包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘坛的地面由扇环形的石板铺 成，如图，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板， 从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈，则第7圈的石板数 为 ，前9圈的石板总数为 ⁠. 63　 405　 目 录 高中总复习·数学 解析：由题可知从第1圈到第9圈石板数构成等差数列{an}，且首项a1＝ 9，公差d＝9，则第7圈的石板数为a7＝9＋6×9＝63，前9圈的石板总数为 S9＝9×9＋ ×9＝405. 目 录 高中总复习·数学 练后悟通 等差数列基本量运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d或项数n：在求解时，一般要运用方程思想； （2）求通项：a1和d是等差数列的两个基本元素； （3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解； （4）求前n项和：利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项 间接求解. 目 录 高中总复习·数学 等差数列的判定与证明（师生共研过关） 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足对任意n∈N*， 都有 ＋ ＋…＋ ＝ .求证：数列{an}为等差数列. 证明：由题意，{an}各项为正数， ＋ ＋…＋ ＝ ， ① 当n＝1时， ＝ ＝ ，得a1＝1. 当n≥2时， ＋ ＋…＋ ＝ ， ② ①－②得 ＝ － ＝（Sn－Sn－1）（Sn＋Sn－1）＝an（Sn＋Sn－1）， 目 录 高中总复习·数学 所以 ＝Sn＋Sn－1，则 ＝Sn＋1＋Sn， 两式相减得 － ＝an＋1＋an， 即（an＋1－an）（an＋1＋an）＝an＋1＋an， 所以an＋1－an＝1. 当n＝2时， ＋ ＝（a1＋a2）2，即1＋ ＝（1＋a2）2，解得a2＝2， 满足a2－a1＝1. 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 判断数列{an}是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数； （2）等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1； （3）通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q（p，q为常数）； （4）前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn（A，B为常 数）. 提醒 （3）（4）只适用于客观题的求解与判断. 目 录 高中总复习·数学 1. 数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且 ＝ － （n≥2），则数列 {an}的第100项为（　　） A. B. 解析： 　因为 ＝ － （n≥2），所以 ＋ ＝ ，所以 { }为等差数列，首项为 ＝ ，第2项为 ＝1，所以d＝ ，所以 ＝ ＋99d＝ ＋99× ＝50.所以a100＝ .故选B. C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 2. （2023·新高考Ⅰ卷7题）设Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差 数列；乙：{ }为等差数列.则（　　） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　若{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋ d，所以 ＝a1＋ d＝ n＋a1－ ，所以 － ＝ （n＋ 1）＋a1－ －（ n＋a1－ ）＝ ，所以{ }是等差数列.若{ }是等差 数列，设 ＝kn＋b，k，b∈R，则Sn＝kn2＋bn.当n＝1时，a1＝S1＝k ＋b；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋bn－[k（n－1）2＋b（n－1）] ＝2kn－k＋b，所以an－an－1＝2kn－k＋b－2k（n－1）＋k－b＝2k. 所以{an}是等差数列.所以甲是乙的充要条件.故选C. 目 录 高中总复习·数学 等差数列的性质及应用（定向精析突破） 考向1　等差数列项的性质 （1）（2024·全国甲卷文5题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知 S9＝1，则a3＋a7＝（　B　） A. B. C. D. B 目 录 高中总复习·数学 解析： 法一 设等差数列{an}的公差为d，由S9＝9a1＋ d＝9（a1 ＋4d）＝1，得a1＋4d＝ ，则a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2 （a1＋4d）＝ ，故选B. 法二 因为{an}为等差数列，所以S9＝ ＝9a5＝1，得a5＝ ，则 a3＋a7＝2a5＝ ，故选B. 目 录 高中总复习·数学 （2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝ 34，则a11－b11＝（　D　） A. －17 B. －15 C. 17 D. 15 解析： 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以a11－b11＝ － ＝ ，又a1＝1，b1＝5，a21－b21＝34，所 以a11－b11＝ ＝15，故选D. D 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝ 中，Sn与a1＋an也可相互转化. 目 录 高中总复习·数学 考向2　等差数列前n项和的性质 （1）（2025·河北调研）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝ ，则 ＝（　 　） A. B. C. D. B 目 录 高中总复习·数学 解析： 由等差数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10，S20－ S15，…是等差数列.由 ＝ ，可设S5＝t（t≠0），则S10＝3t，于是 S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…依次为t，2t，3t，4t，…，所以S20 ＝t＋2t＋3t＋4t＝10t，所以 ＝ .故选B. 目 录 高中总复习·数学 （2）等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都 有 ＝ ，则 ＋ ＝ 　 　. 解析： ∵ ＋ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ . 　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： （1）S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1），S2n－1＝（2n－1）an； （2）Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 目 录 高中总复习·数学 考向3　等差数列前n项和的最值问题 〔多选〕设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＞0，S16＜0，则 （　　） A. a8＞0 B. a9＜0 C. ， ，…， 中最大的项为 D. ， ，…， 中最大的项为 √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由S15＝ ＝15a8＞0，得a8＞0，故A正确；由 S16＝ ＝ ＜0，得a9＋a8＜0，所以a9＜0，且d＜ 0，故B正确；所以数列{an}为递减数列，且a1，…，a8为正，a9，…，an 为负，且S1，…，S15大于0，S16，…，Sn小于0，则 ＞0， ＞0，…， ＞0， ＜0， ＜0，…， ＜0，又S8＞S1，a1＞a8，所以 ＞ ＞ 0，所以 ， ，…， 中最大的项为 ，故C错误，D正确. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 目 录 高中总复习·数学 1. （2024·青岛一模）记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S20＝100，则 a10·a11的最大值为（　　） A. 9 B. 16 C. 25 D. 50 解析：C　∵S20＝ ×20＝100，∴a1＋a20＝10，∴a10＋a11＝a1＋ a20＝10.又∵a10＞0，a11＞0，∴a10·a11≤（ ）2＝ ＝25，当且 仅当a10＝a11＝5时取等号.∴a10·a11的最大值为25.故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 在等差数列{an}中，a1＝－2 026，其前n项和为Sn，若 － ＝2，则 S2 026＝（　　） A. 2 025 B. －2 025 C. －2 026 D. 2 026 解析： 　由{an}是等差数列，设公差为d，则Sn＝na1＋ d，所 以 ＝a1＋ d， － ＝ （常数），则{ }也为等差数列.由 － ＝2，则数列{ }的公差为1.所以 ＝ ＋（n－1）×1＝－2 026＋n－ 1＝n－2 027，所以 ＝2 026－2 027＝－1，所以S2 026＝－2 026. √ 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则 n＝（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析： 　因为d＝ ＝2，Sn＝na1＋ d＝n＋n（n－1）＝ 64，解得n＝8（负值舍去）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 23 24 25 √ 目 录 高中总复习·数学 2. （2025·潍坊一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，S7＝ 5a4＋10，则S4＝（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 解析： 　因为数列{an}为等差数列，所以S7＝ ＝ ＝ 7a4，又S7＝5a4＋10，则7a4＝5a4＋10，即a4＝5，则S4＝ ＝ ＝8.故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 设等差数列{an}满足3a8＝5a15，且a1＞0，Sn为其前n项和，则数列 {Sn}的最大项为（　　） A. S23 B. S24 C. S25 D. S26 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设等差数列的公差为d，∵3a8＝5a15，∴3a1＋21d＝5a1＋ 70d，∴a1＋ d＝0. 法一 ∵a1＞0，∴d＜0，∴a1＋24d＝a25＞0，a1＋25d＝a26＜0，∴数列 {Sn}的最大项为S25.故选C. 法二 ∵Sn＝ （n2－50n），d＜0，∴当n＝25时，数列{Sn}有最大项， 为S25.故选C. 目 录 高中总复习·数学 4. 已知数列{an}中，a2＝4，am＋n＝am＋an，则a11＋a12＋a13＋…＋a19 ＝（　　） A. 95 B. 145 C. 270 D. 520 解析： 　在等式am＋n＝am＋an中，令m＝1，可得an＋1＝an＋a1，则an＋ 1－an＝a1，所以数列{an}为等差数列，且该数列的首项和公差均为a1.因 为a2＝2a1＝4，故a1＝2，所以an＝2＋2（n－1）＝2n，则a15＝2×15＝ 30，因此a11＋a12＋a13＋…＋a19＝ ＝ ＝9a15＝270.故 选C. √ 目 录 高中总复习·数学 5. 如图所示，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且｜AnAn＋1｜ ＝｜An＋1An＋2｜，An≠An＋1，n∈N*，｜BnBn＋1｜＝｜Bn＋1Bn＋2｜， Bn≠Bn＋1，n∈N*（P≠Q表示点P与Q不重合）.若dn＝｜AnBn｜，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则（　） A. {Sn}是等差数列 B. { }是等差数列 C. {dn}是等差数列 D. { }是等差数列 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设△AnBnBn＋1的边BnBn＋1上的高 为hn且已知锐角α的顶点为O（如图所 示），则hn＝｜OAn｜ sin α，所以hn＋1－ hn＝｜OAn＋1｜ sin α－｜OAn｜· sin α＝ （｜OAn＋1｜－｜OAn｜） sin α＝｜AnAn＋ 1｜ sin α为常数，所以数列{hn}是等差数列.因为Sn＝ ｜BnBn＋1｜·hn，所以{Sn}是等差数列，故选A. 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若a1＞0，S4 ＝S12，则（　　） A. 公差d＜0 B. a7＋a9＜0 C. Sn的最大值为S8 D. 满足Sn＜0的n的最小值为16 √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 因为a1＞0，S4＝S12，则 ＝ ，即a1 ＋a4＝3（a1＋a12），则d＝－ a1＜0，故A正确；a7＋a9＝2a1＋14d＝ －d＞0，故B错误；由a7＋a9＞0，得a8＞0，a9＝a1＋8d＝ d＜0，因为 d＜0，a1＞0，所以数列{an}是递减数列，且当n≤8时，an＞0，当n≥9 时，an＜0，所以Sn的最大值为S8，故C正确；Sn＝ n2＋（a1－ ）n＝ － n2＋ n，令Sn＜0，解得n＞16，所以满足Sn＜0的n的最小值为 17，故D错误. 目 录 高中总复习·数学 7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S4＝S5＝20，则a1－d ＝ ⁠. 解析：由题意可知， 解得a1＝8，d＝－2，所以a1－ d＝10. 10　 目 录 高中总复习·数学 8. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，数列{ }为等差数 列，则a13的值为 ⁠. 解析：设等差数列{an}的公差为d，结合a1＝2得S1＝2，S2＝4＋d，S3＝ 6＋3d，∵{ }为等差数列，∴2 ＝ ＋ ，即2 ＝ ＋ ，两边平方整理得8＋d＝2 ，两边再平方整理得d2－ 8d＋16＝0，即（d－4）2＝0，∴d＝4，∴a13＝a1＋12d＝2＋12×4＝ 50. 50　 目 录 高中总复习·数学 9. 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1 －2bn＝8an. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1. 因为a1＝1符合上式，所以an＝2n－1. 目 录 高中总复习·数学 （2）证明数列{ }为等差数列，并求{bn}的通项公式. 解： 因为bn＋1－2bn＝8an， 所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即 － ＝2.又 ＝1， 所以数列{ }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以 ＝1＋2（n－1）＝2n－1.所以bn＝（2n－1）×2n. 目 录 高中总复习·数学 10. 若数列{an}满足 － ＝d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为 “调和数列”，已知数列{ }为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝ 200，则x5＋x16＝（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为数列{ }为“调和数列”，所以由“调和数列”的定义可 知xn＋1－xn＝d（n∈N*，d为常数），即数列{xn}为等差数列，则x1＋x2 ＋…＋x20＝ ＝200，所以x1＋x20＝20，故x5＋x16＝x1＋x20 ＝20，故选B. 目 录 高中总复习·数学 11. （2024·西安一模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装 饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层 有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共Sn个球，第1层有1个球，第 2层有3个球，第3层有6个球，….已知S20＝1 540，则 n2＝（　　） A. 2 290 B. 2 540 C. 2 650 D. 2 870 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　在第n（n≥2）堆中，从第2层起，第n层球的个数比第n－1层 球的个数多n，记第n层球的个数为an，则an－an－1＝n（n≥2） ，得an ＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋2＋3＋…＋n＝ n（n＋1），其中a1＝1也适合上式，则an＝ n（n＋1）＝ （n2＋ n），在第n堆中，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝ [（12＋22＋32＋…＋n2） ＋（1＋2＋3＋…＋n）]＝ ［（12＋22＋32＋…＋n2）＋ n（n＋ 1）］，当n＝20时，S20＝ （ n2＋210）＝1 540，解得 n2＝2 870. 故选D. 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕（2025·海口摸底）已知首项为正数的等差数列{an}的前n项 和为Sn，若（S15－S11）·（S15－S12）＜0，则（　　） A. a13＋a14＞0 B. S11＜S15＜S12 C. 当n＝14时，Sn取最大值 D. 当Sn＜0时，n的最小值为27 √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，所以 （S15－S11）（S15－S12）＝（a15＋a14＋a13＋a12）×3a14＝6a14（a14＋ a13）＜0，若a14＞0，则a14＋a13＞0，不符合题意，所以a14＜0，a14＋a13 ＞0，故A正确；对于B，由A可知S15－S11＝a15＋a14＋a13＋a12＝2（a14＋ a13）＞0，则S15＞S11，S15－S12＝3a14＜0，则S15＜S12，故B正确；对于 C，由A可知，a14＜0，a14＋a13＞0，所以a13＞0，故n＝13时，Sn取最大 值，故C错误；对于D，由S27＝ ＝27a14＜0，S26＝ ＝13（a14＋a13）＞0，且{an}是首项为正数的等差数列，故 D正确.故选A、B、D. 目 录 高中总复习·数学 13. 已知数列{an}满足an＝（－1）n，在ak，ak＋1（k∈N*）之间插入首 项为ak＋ ，公差为 的等差数列的前k项，构成数列{bn}，记数列{bn}的 前n项和为Sn，则S230＝ ⁠. 125　 目 录 高中总复习·数学 解析：由题可得数列{bn}为a1，a1＋1，a2，a2＋ ，a2＋ ＋ ，a3，a3 ＋ ，a3＋ ＋ ，a3＋ ＋ ＋ ，…，ak，ak＋ ，…，ak＋（k－1） ，ak＋1，ak＋1，…，记ak及其后连续k项的和为ck，则ck＝（k＋1） （－1）k＋ × ＝（k＋1）（－1）k＋ ，则S230＝c1＋c2＋c3 ＋…＋c20＝－2＋3－4＋…＋21＋ ×（2＋3＋4＋…＋21）＝10＋ × ＝125. 目 录 高中总复习·数学 14. 已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn， ＝a3·a7，且S8＝ 32. （1）求S10； 解： 设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则由题知 解得 所以S10＝10a1 ＋ d＝－30＋90＝60. 目 录 高中总复习·数学 （2）若数列{bn}是公差为－4的等差数列，其前n项和为Tn，且b1＝a13， 则Tn是否存在最值？如果存在，求出最值；如果不存在，请说明理由. 解： 由（1）可知b1＝a13＝－3＋12×2＝21. 因为数列{bn}的公差为－4，所以Tn＝21n＋ ×（－4）＝－2n2 ＋23n＝－2（n－ ）2＋ . 所以当n＝6时，Tn有最大值T6＝－2×62＋23×6＝66. 目 录 高中总复习·数学 15. （情境创新）（2025·河南五市联考）一款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心 纸筒上，纸筒直径为20 mm，卫生纸厚度约为0.1 mm，若未使用时直径为 80 mm，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（参考数据：π≈3.14）（　　） A. 47 m B. 51 m C. 94 m D. 102 m √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　空心纸筒直径为20 mm，则底面半径为10 mm，其周长为 2π×10＝20π（mm），卷纸未使用时直径为80 mm，则底面半径为40 mm，其周长为2π×40＝80π（mm），又因为卫生纸厚度约为0.1 mm，则卷纸共有的层数约为 ＝300，即每一圈的卷纸周长构成一 个等差数列，即首项为20π，末项为80π，项数为300，则这个卷筒卫生 纸总长度即这个等差数列的前300项和，S300＝ ＝15 000π（mm），而15 000π mm≈15 000×3.14＝47 100 mm≈47 m.即这 个卷筒卫生纸总长度大约为47 m.故选A. 目 录 高中总复习·数学 16. （新定义）对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的 所有项的和，则称{an}为P数列. （1）若{an}的前n项和Sn＝3n＋2，试判断{an}是否是P数列，并说明 理由； 解： 因为Sn＝3n＋2，Sn－1＝3n－1＋2（n≥2）， 则an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1（n≥2）， 当n＝1时，a1＝S1＝5不适合上式，故an＝ 那么当k∈N*时，ak＋1－Sk＝2·3k－3k－2＝3k－2＞0符合题意， 故数列{an}是P数列. 目 录 高中总复习·数学 （2）设数列a1，a2，…，a20是首项为－1，公差为d的等差数列，若该数 列是P数列，求d的取值范围. 解： 由题意知，该数列的前n项和为Tn＝－n＋ d，an＋1＝ －1＋nd， 由数列a1，a2，…，a20是P数列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0， Tn－an＋1＝ n2－（1＋ d）n＋1＜0对满足n＝1，2，…，19，n∈N*的 任意n都成立， 则n＝1时，－d＜0，明显成立； n＝19时，令 ×192－（1＋ d）×19＋1＜0，解得d＜ ， 故d的取值范围为（0， ）. 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $