第二章 第四节 函数的对称性及应用-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

第四节　函数的对称性及应用 高中总复习·数学 课标要求 1. 能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2. 会利用对称公式解决问题. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 函数的对称性 （1）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于 对称； （2）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于 对称； （3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于 对称. x轴　 y轴　 原点　 目 录 高中总复习·数学 2. 函数自身的对称性 （1）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的 图象关于直线 对称.特别地，当a＝b时，即f（a＋x）＝f （a－x）或f（x）＝f（2a－x）或f（－x）＝f（2a＋x）时，则y＝f （x）的图象关于直线 对称； （2）若函数y＝f（x）满足f（x）＋f（2a－x）＝2b，则y＝f（x） 的图象关于点 对称.特别地，当b＝0时，即f（a＋x）＋f （a－x）＝0或f（x）＋f（2a－x）＝0或f（－x）＋f（2a＋x）＝0 时，则y＝f（x）的图象关于点 对称. x＝ 　 x＝a　 （a，b）　 （a，0）　 目 录 高中总复习·数学 1. 若函数f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝a对 称. 2. 若函数f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（a，0）中 心对称. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若函数y＝f（x）是奇函数，则函数y＝f（x－1）的图象关于点 （1，0）对称. （　√　） （2）函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称. （　×　） （3）若函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于 直线x＝2对称. （　√　） √ × √ 目 录 高中总复习·数学 2. 函数f（x）＝ 图象的对称中心为（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （1，0） D. （1，1） 解析： 　因为f（x）＝ ＝1＋ ，由y＝ 的图象向上平移一个单位长 度得到y＝1＋ 的图象，又y＝ 的图象关于点（0，0）对称，所以f （x）＝1＋ 的图象关于点（0，1）对称. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 设函数y＝f（x）定义在R上，则函数y＝f（x－1）与函数y＝f（1－ x）的图象关于（　　） A. 直线x＝0对称 B. 直线y＝0对称 C. 直线x＝1对称 D. 直线y＝1对称 解析： 　令g1（x）＝f（x－1），g2（x）＝f（1－x），因为f（1－ x）＝f[（2－x）－1]，即g2（x）＝g1（2－x），所以g1（x）与g2 （x）的图象关于直线x＝1对称，故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 若偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f （x）＝2x－1，则f（－1）＝ ⁠. 解析：∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f（1），由f（x）的图象关于 直线x＝2对称，可得f（1）＝f（3）＝2×3－1＝5，∴f（－1）＝5. 5. 已知函数y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－ x）的图象必过点 ⁠. 解析：y＝f（x）的图象与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，y＝f （x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点 （－1，2）. 5　 （－1，2）　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 函数图象自身的轴对称与中心对称的判断（师生共研过关） （1）（2025·新疆二模）若函数f（x）＝ 的图象关于点（1， 2）对称，则a＝（　D　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 D 解析： f（x）＝ ＝a＋ 的图象关于点（1，2）对称，则a＝ 2.故选D. 目 录 高中总复习·数学 （2）〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，对任意x都有f（2＋x）＝ f（2－x），且f（－x）＝f（x），则下列结论正确的是（　ACD　） A. f（x）的图象关于直线x＝2对称 B. f（x）的图象关于点（2，0）对称 C. 4为f（x）的周期 D. y＝f（x＋4）为偶函数 ACD 目 录 高中总复习·数学 解析： ∵f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2 对称，故A正确，B错误；∵函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f （－x）＝f（x＋4），又f（－x）＝f（x），∴f（x＋4）＝f（x）， ∴4为f（x）的周期，故C正确；∵4为f（x）的周期且f（x）为偶函数， 故y＝f（x＋4）为偶函数，故D正确.故选A、C、D. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 对称轴、对称中心的判断 　　设P0（x0，y0）为y＝f（x）图象上任意一点：（1）若y＝f（x）的 图象关于点（a，b）中心对称⇔点P1（2a－x0，2b－y0）在y＝f（x） 的图象上； （2）若y＝f（x）的图象关于直线x＝m对称⇔点P2（2m－x0，y0）在y ＝f（x）的图象上. 目 录 高中总复习·数学 1. （2024·丽水期末）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于 （1，0）中心对称，f（2x＋2）是偶函数，则（　　） A. f（0）＝0 B. f（ ）＝0 C. f（2）＝0 D. f（3）＝0 解析： 　f（x）的图象关于（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x ＋2）①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f （x）的图象关于x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）②；令x＝1代入 ①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝f（3） ＝0.故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 2. （2025·八省联考）已知曲线C：y＝x3－ ，两条直线l1，l2均过坐标原 点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPM的面积 为 ，则△MNQ的面积为 　2 　. 2 　 目 录 高中总复习·数学 解析：由于（x，y）和（－x，－y）都符合y＝x3－ ， x≠0，所以曲线C的图象关于原点对称，当x＞0时，函数y＝ x3－ 单调递增，由此画出曲线C的大致图象如图所示，两条 直线l1，l2均过坐标原点O，所以M，N两点关于原点对称，P，Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设M，N，P，Q位置如图，可知｜OP｜＝｜OQ｜，｜OM｜＝｜ON｜，∠POM＝∠QON，所以△OPM≌ △OQN，所以S△OQN＝S△OPM＝ ，而△OQM和△OQN等底等高，面积相同，所以S△OQM＝ ，所以S△MNQ＝2 . 目 录 高中总复习·数学 两个函数图象间的对称（师生共研过关） 已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y ＝f（4－x）的图象（　　） A. 关于直线x＝1对称 B. 关于直线x＝3对称 C. 关于直线y＝3对称 D. 关于点（3，0）对称 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0 ＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－ x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对 称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 破解两个函数图象间的对称的方法 （1）利用函数y＝f（a＋x）与函数y＝f（b－x）的图象关于直线x＝ 对称，即可求出对称轴； （2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用. 目 录 高中总复习·数学 1. 与f（x）＝ex关于直线x＝1对称的函数是 ⁠. 解析：设函数f（x）＝ex的图象上的任意一点（x0，y0）关于直线x＝1对 称的点的坐标为（x，y），所以 即 因为点 （x0，y0）在函数f（x）＝ex的图象上，所以y0＝ ，即y＝e2－x. y＝e2－x　 目 录 高中总复习·数学 2. 已知函数y＝f（x）－1是奇函数，若曲线y＝1＋ 与曲线y＝f（x） 共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则 （xi＋yi）＝ ⁠. 解析：∵y＝f（x）－1为奇函数，∴y＝f（x）的图象关于点（0，1）对 称.又y＝1＋ 的图象关于点（0，1）对称，∴x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋ y2＋…＋y6＝3×2＝6，∴ （xi＋yi）＝（x1＋x2＋…＋x6）＋（y1＋y2 ＋…＋y6）＝6. 6　 目 录 高中总复习·数学 函数对称性的综合应用（定向精析突破） 考向1　函数的单调性与对称性 （2025·宜宾一模）已知函数f（x）在[2，＋∞）上单调递减且对任 意x∈R满足f（1＋x）＝f（3－x），则不等式f（2x－3）＞f（5）的解 集是（　　） A. （－∞，1）∪（4，＋∞） B. （－∞，4） C. （1，＋∞） D. （1，4） √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为f（1＋x）＝f（3－x），所以f（x）的对称轴为x＝2，f （x）在[2，＋∞）上单调递减，则f（x）在（－∞，2）上单调递增， 又因为f（2x－3）＞f（5），由对称性可得｜2x－3－2｜＜｜5－2｜， 所以｜2x－5｜＜3，－3＜2x－5＜3，1＜x＜4，故选D. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　解决函数对称性与单调性相结合问题的关键是利用对称性判断函数在 区间上的单调性.在轴对称函数中，函数在关于对称轴对称的两个单调区 间上单调性相反；在中心对称函数中，函数在关于对称中心对称的两个单 调区间上单调性相同. 目 录 高中总复习·数学 考向2　函数的对称性与周期性 设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶 函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f ＝（　　） A. － B. － C. D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由于f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1， 0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，所以f（1）＋f（2－1）＝0，得 f（1）＝0，即a＋b＝0，①.由于f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x） 的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，所以f（0）＋f （3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6，②.根据①②可 得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f （x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f （x）的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2× －2＝ . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 应用对称性与周期性综合解题的技巧 　　函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的 对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明 的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 目 录 高中总复习·数学 1. （2025·渭南第一次质量检测）已知函数f（x）对任意x∈R满足f（1－ x）＝f（1＋x），f（x＋2）＝－f（x），且f（0）＝0，则f（26）＝ （　　） A. B. 0 C. D. 1 解析： 　f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）的周期 为4，由f（1－x）＝f（1＋x），知f（0）＝f（2），则f（26）＝f （4×6＋2）＝f（2）＝f（0）＝0. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 〔多选〕已知定义域为R的函数f（x）在（－1，0]上单调递增，f（1 ＋x）＝f（1－x），且图象关于（2，0）对称，则（　　） A. f（0）＝f（－2） B. f（x）的周期T＝2 C. f（x）在（2，3）上单调递减 D. f（x）满足f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027） √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由f（1＋x）＝f（1－x），可得f（x）图象的对称轴方程为 x＝1，所以f（0）＝f（2），又由f（1＋x）＝f（1－x），可知f（2＋ x）＝f（－x）.因为函数f（x）的图象关于（2，0）对称，即f（2＋x） ＝－f（2－x），故f（4＋x）＝－f（－x），所以－f（2＋x）＝f（4 ＋x），即－f（x）＝f（2＋x），所以f（x）＝f（x＋4），所以f （x）的周期为4，所以f（－2）＝f（2），所以f（0）＝f（－2），故A 正确，B错误.因为f（x）在（－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f （x）在（3，4]上单调递增，又f（x）的图象关于（2，0）对称，所以f （x）在[0，1）上单调递增，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所 以f（x）在（1，2]上单调递减，则函数f（x）在（2，3）上单调递减， 目 录 高中总复习·数学 故C正确.根据f（x）的周期为4，可得f（2 025）＝f（1），f（2 026） ＝f（2），f（2 027）＝f（3），因为f（x）的图象关于直线x＝1对称， 所以f（2）＝f（0）且f（3）＝f（－1），即f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（0），f（2 027）＝f（－1），由C选项的分析可知，函数f（x） 在[0，1）上单调递增，在（－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不 包含x＝±1，若f（－1）＝f（1）＝0，则f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027）不成立，故D错误. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. （2025·河南高三开学考试）已知函数f（x）＝ ，则函数f（x）的 图象的对称中心的坐标为（　　） A. （－1，－3） B. （－1，3） C. （－1，－2） D. （－1，2） 解析： 　因为f（－1＋x）＋f（－1－x）＝ ＋ ＝ － ＝－4，所以函数f（x）的图象关于点（－1，－2） 对称.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目 录 高中总复习·数学 2. （2025·成都三模）函数y＝32x与y＝31－2x的图象（　　） A. 关于x＝2对称 B. 关于x＝1对称 C. 关于x＝ 对称 D. 关于x＝ 对称 解析： 　因为曲线y＝32x关于x＝a的对称曲线为y＝32（2a－x），即y＝ 34a－2x，y＝34a－2x与y＝31－2x对比系数可知4a＝1，解得a＝ ，所以函 数y＝32x与y＝31－2x的图象关于x＝ 对称.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 3. 函数f（x）的定义域为R，且f（1＋x）＝－f（1－x），f（2＋x） ＝f（2－x），则f（x）是（　　） A. 偶函数，也是周期函数 B. 偶函数，但不是周期函数 C. 奇函数，也是周期函数 D. 奇函数，但不是周期函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　法一 因为f（1＋x）＝－f（1－x），所以f（x）的图象关于 （1，0）中心对称；因为f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x）的图象关 于直线x＝2对称，所以f（x）是以4为周期的周期函数，则f（x＋2）＝f （x－2）.又f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x－2）＝f（2－x），所 以f（x）的图象关于y轴对称，f（x）是偶函数. 法二 因为f（1＋x）＝－f（1－x），所以f（x＋2）＝－f[1－（x＋ 1）]＝－f（－x）.因为f（2＋x）＝f（2－x），所以f（2－x）＝－f （－x），即f（2＋x）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f （x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，则f（x＋2）＝f（x－ 2）.因为f（2＋x）＝f（2－x），所以f（x－2）＝f（2－x），所以f （x）＝f（－x），f（x）是偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 4. 已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝2，g（x）＝（x－ 1）f（x），若g（x＋1）是偶函数，则g（－0.5）＝（　　） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 解析： 　因为g（x＋1）是偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对 称，又g（x＋1）＝xf（x＋1），所以f（x＋1）是奇函数，所以f（x） 的图象关于点（1，0）对称，又f（x）为偶函数，所以f（x）的周期T＝ 4，所以f（－0.5）＝f（0.5）＝－f（1.5）＝－f（5.5）＝－2，所以g （－0.5）＝－1.5×f（－0.5）＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 5. 〔多选〕关于函数f（x）＝ sin x＋ 有如下四个命题，其中是真命题 的为（　　） A. f（x）的图象关于y轴对称 B. f（x）的图象关于原点对称 C. f（x）的图象关于直线x＝ 对称 D. f（x）的最小值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.由f（x）＝ sin x＋ ，易知f（－x）＝－ sin x＋ ＝－（ sin x＋ ）＝－f（x）， 所以A是假命题，B是真命题.因为f（π－x）＝ sin （π－x）＋ ＝ sin x＋ ＝f（x），所以C是真命题.因为f（－ ） ＝ sin （－ ）＋ ＝－ －2＝－ ＜2，所以D是假命题.综上，B、C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）＝－f（x）， 下列结论中正确的为（　　） A. f（2）＝0 B. f（x）是以4为周期的周期函数 C. f（x）的图象关于直线x＝0对称 D. f（x＋2）＝f（－x） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为f（x－2）＝－f（x）且f（x）是奇函数，所以f（－ 2）＝－f（0）＝0，所以f（2）＝－f（－2）＝0，A正确；又由f（x－ 2）＝－f（x）得f（x＋4）＝－f[（x＋4）－2]＝－f（x＋2）＝f[（x ＋2）－2]＝f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，B正确；y＝f （x）是奇函数，C错误；因为f（x）是奇函数，所以f（x＋2）＝－f （－x－2）＝－[－f（－x）]＝f（－x），D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于 直线y＝x对称.而函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象关于y轴对 称，若g（m）＝－1，则m＝ ⁠. 解析：∵函数y＝f（x）的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，∴y ＝f（x）与y＝ex互为反函数，∴f（x）＝ln x.∵y＝f（x）的图象与y ＝g（x）的图象关于y轴对称，∴g（x）＝ln（－x）.又∵g（m）＝－ 1，∴g（m）＝ln（－m）＝－1，解得m＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 8. 设函数f（x）＝ 若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f （1－x）成立，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋ 2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝ f（1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1 对称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1. （1，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 9. 设f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x，恒有f（x＋2）＝f（－ x），f（x）＝－f（4－x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解： 将f（x）＝－f（4－x）中的x用－x替换，得f（－x）＝－f （x＋4）. 又f（x＋2）＝f（－x）， 所以f（x＋4）＝－f（x＋2）， 将x用x－2替换，得f（x＋2）＝－f（x）， 所以f（－x）＝－f（x），f（x＋4）＝f（x）， 所以f（x）是奇函数，且是周期为4的周期函数. 当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f（x）＝－f（－x）＝x2＋2x，所以 当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，f（x）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2 －6x＋8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）计算f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）的值. 解： 由（1）知f（x）是周期为4的周期函数，且f（0）＝0，f（1） ＝1，f（2）＝0，f（3）＝－1，所以f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f （2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）＝506×[f（0）＋f（1） ＋f（2）＋f（3）]＋0＋1＋0＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 10. 若定义在R上的函数f（x）满足f（x－2）＝－f（2－x），且在（－ ∞，0）上单调递减，f（3）＝0，则满足（x－1）f（x）≥0的x的取值 范围是（　　） A. [－3，0]∪[1，3] B. （－∞，－3]∪{0}∪[1，3] C. [－3，0）∪[1，3] D. [1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为定义在R上的函数f（x）满足f（x－2）＝－f（2－x）， 即f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，函数图象关于（0，0） 对称，且f（0）＝0，又f（x）在（－∞，0）上单调递减且f（3）＝0， 所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减且f（－3）＝－f（3）＝0，所以 当x＜－3或0＜x＜3时f（x）＞0，当－3＜x＜0或x＞3时f（x）＜0，又 （x－1）f（x）≥0，等价于 或 或x－1＝0， 解得1＜x≤3或－3≤x≤0或x＝1，即满足（x－1）f（x）≥0的x的取值 范围是[－3，0]∪[1，3].故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 11. （2024·温州二模）已知定义在（0，1）上的函数f（x）＝ 则下列结论正确的是（　　） A. f（x）的图象关于x＝ 对称 B. f（x）的图象关于（ ， ）对称 C. f（x）在（0，1）单调递增 D. f（x）有最小值 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，若x＝ ∈（0，1）是有理数，且m，n（m＜n）互 质，则n－m，n也互质，即f（ ）＝ ＝f（ ）＝f（1－ ），若x 为无理数，则1－x也为无理数，则f（x）＝f（1－x）＝1，所以f（x） 的图象关于x＝ 对称，故A正确；对于B，f（ － ）＝1，f（ ＋ ） ＝1，不满足f（x）的图象关于（ ， ）对称，B错误；对于C，f（ ） ＝ ，f（ ）＝ ，不满足f（x）在（0，1）单调递增，C错误；对于D， 若x为有理数，则f（x）＝ ，显然n→＋∞时，函数无最小值，故D错 误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕（2025·苏北四市调研）设函数f（x）的定义域为R，f（2x ＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋ b.若f（0）＋f（3）＝－1，则（　　） A. b＝－2 B. f（2 025） ＝－1 C. f（x）为偶函数 D. f（x）的图象关于点（1，0）对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1） ＝－f（2x＋ 1），则f（－x＋1） ＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0） 对称，D正确；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对 称，∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4，于是f（－x）＝f（x＋4）＝f （x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x＋1）中，令x＝0，得f（1）＝ 0，由x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，f（3）＝f （1）＝a＋b＝0，又f（0）＋f（3）＝－1，∴f（0）＝1＋b＝－1，解 得b＝－2，A正确；f（2 025）＝f（4×506＋1） ＝f（1）＝0，B错误. 综上，故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 13. 已知定义域为R的函数f（x）在[0，7]上有1和3两个零点，且f（x＋ 2）与f（x＋7）都是偶函数，则函数f（x）在[0，50]上的零点个数 为 ⁠. 解析：因为函数f（x＋2），f（x＋7）为偶函数，所以f（x＋2）＝f （－x＋2），f（x＋7）＝f（－x＋7），所以f（x）的图象关于直线x ＝2，x＝7成轴对称，所以f（x）为周期函数，且T＝2×（7－2）＝10， 所以将区间[0，50]划分为[0，10）∪[10，20）∪…∪[40，50]，因为f （x）的图象关于直线x＝2，x＝7成轴对称，所以f（x）＝f（4－x）， f（x）＝f（14－x）.因为f（1）＝f（6）＝0，f（8）＝f（14－8）＝f （6）＝0，f（3）＝f（1）＝0，所以在[0，10）上f（x）只有四个零 点，而[0，10）∪[10，20）∪…∪[40，50]共有5组，所以N＝5×4＝20. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 14. 已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x. （1）判断并证明函数f（x）的对称性； 解： f（x）的图象关于直线x＝2对称. 证明：由｜x－2｜＞0，得x≠2， 所以f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.因为f（2－x）＝ log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4，f（2＋x）＝ log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4， 所以f（2＋x）＝f（2－x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝2对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）求f（x）的单调区间. 解： 设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x， 当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单 调递增， 故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增. 又f（x）的图象关于直线x＝2对称， 故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞）， 单调递减区间为（－∞，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 15. （创新考查角度）对于定义在R上的函数f（x），可以证明“点A （m，n）是f（x）的图象的一个对称中心”的充要条件是“f（m－x） ＋f（m＋x）＝2n，x∈R”. （1）求函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心； 解： 设A（m，n）为函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心， 则f（m－x）＋f（m＋x）＝2n对于x∈R恒成立， 即（m－x）3＋3（m－x）2＋（m＋x）3＋3（m＋x）2＝2n对x∈R恒成 立，所以（6m＋6）x2＋（2m3＋6m2－2n）＝0. 由 解得 故函数f（x）的图象的一个对称中心为（－1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）函数f（x）＝ax3＋（b－2）x2（a，b∈R）在R上是奇函数，求 a，b满足的条件；并讨论在区间[－1，1]上是否存在常数a，使得f（x） ≥－x2＋4x－2恒成立. 解： 由f（x）是奇函数，知a∈R，b＝2. 不存在常数a使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒成立，理由 如下： 依题意，此时f（x）＝ax3，令g（x）＝－x2＋4x－2，x∈[－1，1]， 所以g（x）∈[－7，1]. 若a＝0，f（x）＝0，不符合题意； 若a＞0，f（x）＝ax3在区间[－1，1]上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 f（x）min＝－a，若存在a，则－a≥1，与a＞0矛盾，不符合题意； 若a＜0，f（x）＝ax3在区间[－1，1]上单调递减， f（x）min＝a，若存在a，则a≥1，与a＜0矛盾，不符合题意. 综上可知，符合条件的a不存在. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $