第二章 第十节 函数的零点与方程的解-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的零点与方程的解”专题，依据课标要求和高考评价体系，系统梳理了函数零点定义、存在定理、二分法等核心考点，通过考点分类突破明确了零点个数判定、参数范围求解等高频题型的考查权重，构建了针对性强的备考知识体系。 课件亮点在于“真题训练+技法指导”的复习模式，如结合分段函数零点个数分析实例，运用定理法和图象法培养学生的数学思维和几何直观素养，总结零点区间判定、参数求解等应试技巧，帮助学生高效掌握答题方法，同时为教师提供清晰的复习教学路径，助力高考冲刺。

第十节　函数的零点与方程的解 高中总复习·数学 课标要求 1. 结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系. 2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二 分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方 程的近似解，了解用二分法求方程的近似解具有一般性. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 函数的零点 （1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使 的实数x 叫做函数y＝f（x）的零点； （2）几个等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）的图象 与 ⇔函数y＝f（x）有 ⁠. 提醒 函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的 根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标. f（x）＝0　 x轴有公共点　 零点　 目 录 高中总复习·数学 2. 函数零点存在定理 （1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的 曲线；② ＜0； （2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在 c∈（a，b），使得 ，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒 函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数. 3. 二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f （x），通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两 个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f（a）f（b）　 f（c）＝0　 一分为二　 目 录 高中总复习·数学 　有关函数零点的结论 （1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有 一个零点； （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； （3）周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）＝x3的零点为0. （　√　） （2）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. （　×　） （3）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断）， 则f（a）·f（b）＜0. （　×　） （4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值. （　×　） √ × × × 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修一 P143例1改编）函数f（x）＝ 的零 点个数为（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析： 　由 或 解得x＝－2或x＝e，故f （x）有2个零点. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 函数f（x）＝ln x－ 的零点所在的区间是（　　） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，e） D. （e，3） 解析： 因为函数f（x）＝ln x－ 在定义域（0，＋∞）内是一条连续 不断的曲线，且f（2）＝ln 2－1＜0，f（e）＝ln e－ ＝1－ ＞0，所以必 存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函数f（x）＝ln x－ 的零点所 在的区间是（2，e），故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 若函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近的函数值 用二分法逐次计算，如表所示. x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f（x） －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似根（精确度为0.1）可以为（　　） A. 1.3 B. 1.32 C. 1.437 5 D. 1.25 解析： 因为f（1.375）＞0，f（1.312 5）＜0，且1.375－1.312 5＜ 0.1，所以该方程的一个近似根（精确度为0.1）在区间（1.312 5， 1.375）内，结合选项知，选B. √ 目 录 高中总复习·数学 5. （苏教必修一P235习题9、10题改编）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在 区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（　　） A. （ ，＋∞） B. （－1， ） C. （－∞，－1） D. （－∞，－1）∪（ ，＋∞） 解析： 　当a＝0时，f（x）＝1，函数y＝f（x）的图象与x轴无交点， 不符合题意，所以a≠0，所以函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1， 1）上单调，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得 a＜－1或a＞ . √ 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 函数零点区间的判定（师生共研过关） 函数f（x）＝log3x＋x－2的零点所在的区间为（　　） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　法一 函数f（x）＝log3x＋x－2的定义域为 （0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，图 象是一条连续曲线.由题意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝ log32＞0，根据函数零点存在定理可知，函数f（x）＝ log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间（1，2）内. 法二 函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log3x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选B. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 函数零点所在区间的判断方法 （1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端 点值所对应函数值的正负的情形； （2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交 点来判断，适用于容易画出函数图象的情形. 目 录 高中总复习·数学 1. 函数f（x）＝3x＋x的零点所在的区间是（　　） A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2） 解析： 　∵f（x）是增函数，f（－2）＜0，f（－1）＜0，f（0）＞ 0，f（1）＞0，f（2）＞0，∴f（－1）f（0）＜0.由函数零点存在定理 可知，选B. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 已知函数f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4 时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝ ⁠. 解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得 y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一 坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的 图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐 标在（2，3）内，∴函数f（x）的零点x0∈ （n，n＋1）时，n＝2. 2　 目 录 高中总复习·数学 函数零点个数的判定（师生共研过关） （1）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点 个数是（　A　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 令f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜ 2x－3｜＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f（x）在区间[－2，2] 上的零点个数为3，故选A. A 目 录 高中总复习·数学 （2）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是 　1 　. 解析： 法一 ∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜ 0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f（x） 在区间（0，1）内有且只有1个零点. 法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点. 1 目 录 高中总复习·数学 解题技法 判断函数零点个数的3种方法 （1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，则f（x）就有多少个零 点； （2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交 点个数得出函数的零点个数. 目 录 高中总复习·数学 1. （2024·高三全国专题练习）函数f（x）＝ex＋3x零点的个数为 （　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解析： 　f（x）＝ex＋3x为增函数且连续，又f（－1）＝e－1－3＜0，f （0）＝e0＝1＞0，故f（x）＝ex＋3x在R上有唯一的零点.故选B. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 函数f（x）＝ln x＋x2－3的零点个数为 ⁠. 解析：令f（x）＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2，故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y ＝3－x2图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中作 出两个函数的大致图象（如图）.由图可知，函数y＝ 3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，故函数f（x）＝ln x＋x2－3只有一个零点. 1　 目 录 高中总复习·数学 函数零点的应用（定向精析突破） 考向1　根据函数零点个数求参数 已知函数f（x）＝ 若函数f（x）的图 象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是 ⁠ ⁠. （－5， 0）　 目 录 高中总复习·数学 解析：易知函数y＝2x3＋3x2＋m在[0，1]上单调递增，函数y＝mx＋5在 （1，＋∞）上单调，因为函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的 交点，所以f（x）在区间[0，1]和（1，＋∞）上与x轴分别有一个交 点，则f（0）＝m＜0，f（1）＝5＋m＞0，得－5＜m＜0.故实数m的取 值范围是（－5，0）. 目 录 高中总复习·数学 考向2　根据函数零点所在区间求参数 已知函数f（x）＝log2（x＋1）－ ＋m在区间（1，3]上有零点， 则实数m的取值范围为（　　） A. （－ ，0） B. （－∞，－ ）∪（0，＋∞） C. （－∞，－ ］∪（0，＋∞） D. √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－ 在区间（1，3]上单调递 增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋ 1）－ ＋m在区间（1，3]上有零点，则 即 解 得－ ≤m＜0.因此实数m的取值范围是 .故选D. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 利用函数零点求参数的方法 目 录 高中总复习·数学 1. 已知函数f（x）＝ （a∈R），若函数f（x）在R上 有两个零点，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，－1） B. （－∞，1） C. （－1，0） D. [－1，0） 解析： 　当x＞0时，f（x）＝3x－1有一个零点x＝ .因此当x≤0时， f（x）＝ex＋a＝0只有一个实根，所以a＝－ex（x≤0），则－1≤a＜ 0. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 已知函数f（x）＝ 若函数F（x）＝f（x）－a的两个 零点分别在区间（－1，0）和（ ，1）内，则实数a的取值范围为 （　　） A. （ ，ln 2） B. （0，1） C. （ln 2，1） D. （ ，1） √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　先作出f（x）＝ 的图象，令f（x）＝a，在区间 （－1，0）内时，ex＝a，x＝ln a，得到－1＜ln a＜0，所以 ＜a＜1； 在区间（ ，1）内时，ln 2x＝a，x＝ ，得到 ＜ ＜1，解得1＜ea＜ 2，所以0＜a＜ln 2；综上，得a∈（ ，ln 2）.故选A. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　） A. 2 B. （2，0） C. －2 D. 2或－1 解析： 　由题意令y＝（x－2）（2x＋1）＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以 x－2＝0，即x＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 目 录 高中总复习·数学 2. 设函数f（x）＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过 程中，计算得到f（1）＜0，f（3）＞0，则方程的近似解落在区间 （　　） A. （1， ） B. （ ，2） C. （2， ） D. （ ，3） 解析： 　取x1＝2，因为f（2）＝4×8＋2－8＝26＞0，所以方程近似解 x0∈（1，2），取x2＝ ，因为f（ ）＝4× ＋ －8＝7＞0，所以方程近 似解x0∈（1， ）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 3. 已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f（x）＝ax＋x－b的零点所在的区 间是（　　） A. （－2，－1） B. （－1，0） C. （0，1） D. （1，2） 解析： 　因为a＞1，0＜b＜1，所以f（x）＝ax＋x－b在R上是增函 数，所以f（－1）＝ －1－b＜0，f（0）＝1－b＞0.由函数零点存在定 理可知，f（x）在区间（－1，0）上存在零点. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 4. “a≤0”是“函数f（x）＝ 有且只有一个零点”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　当x＞0时，令f（x）＝0，则ln x＝0，∴x＝1，∴当x＞0时， f（x）有一个零点为1，∵函数f（x）只有一个零点，∴当x≤0时，f （x）＝－2x＋a无零点，即a＞2x或a＜2x，∵当x≤0时，2x∈（0， 1]，∴a＞1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）＝ 有 且只有一个零点”的充分不必要条件.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 5. 已知函数f（x）＝ 若函数g（x）＝f（x）－m 有三个零点，则实数m的取值范围是（　　） A. （1，2] B. （1，2） C. （0，1） D. [1，＋∞） 解析： 　因为函数g（x）＝f（x）－m有三个零点， 所以函数f（x）的图象与直线y＝m有三个不同的交 点，作出函数f（x）的图象，如图所示，由图可知，1 ＜m≤2，即m的取值范围是（1，2]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕设函数f（x）＝ 则以下结论正确的为 （　　） A. f（x）为R上的增函数 B. f（x）有唯一零点x0，且1＜x0＜2 C. 若f（m）＝5，则m＝33 D. f（x）的值域为R √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　作出f（x）的图象如图所示.由图可知A错 误；对于B，由图象可知，f（x）有唯一零点x0，f （x）在（－∞，2]上单调递增，且f（1）＜0，f（2） ＞0，B正确；对于C，当x≤2时，2x－3≤1，故log2（m－1）＝5，解得m＝33，C正确；对于D，f（x）的值域为（0，＋∞）∪（－3，1]，即（－3，＋∞），D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 7. 已知函数f（x）＝ 则f（x）的零点为 ⁠ ⁠. 解析：令f（x）＝0，得 或 解得x＝1或x＝－ 1，所以f（x）的零点为－1和1. －1和 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 8. 方程2x＋3x＝k的解在[1，2）内，则k的取值范围是 ⁠. 解析：令函数f（x）＝2x＋3x－k，则f（x）在R上为增函数.当方程2x ＋3x＝k的解在（1，2）内时，f（1）·f（2）＜0，即（5－k）（10－ k）＜0，解得5＜k＜10，又f（1）＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围 是[5，10）. [5，10）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 9. 函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； 解： 由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴ ∴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2）， （2，4）内，求m的取值范围. 解： 由（1）知f（x）＝x2－5x＋6. ∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6， 依题意得 解得－ ＜m＜0， 故实数m的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 10. 设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），若0＜2f（2）＝3f （3）＝4f（4）＜1，则f（1）＋f（5）的取值范围是（　　） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 解析： 令t＝2f（2）＝3f（3）＝4f（4），则t∈（0，1），令g （x）＝xf（x）－t＝a（x－2）·（x－3）（x－4）（x－n），令x＝0 得－t＝24na①.令x＝1得f（1）－t＝－6a（1－n）②.令x＝5得5f （5）－t＝6a（5－n）③.由5×②＋③得5f（1）＋5f（5）－6t＝ 24na，结合①得，f（1）＋f（5）＝t∈（0，1）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 11. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－ 3，3]上的零点个数至少为（　　） A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f （x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f （－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f（ ）＝f（－ ）， f（ ）＝－f（－ ），因此f（ ）＝f（－ ）＝0，则f（－ ）＝f（－ ）＝f（－ ）＝f（ ）＝f（ ）＝f（ ）＝0，故f（x）在[－3，3]上 至少有13个零点.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝｜lg x｜－kx－2，给出下列四个结论，其 中正确的是（　　） A. 当k＝0时，f（x）恰有2个零点 B. 存在负数k，使得f（x）恰有1个零点 C. 存在负数k，使得f（x）恰有3个零点 D. 存在正数k，使得f（x）恰有3个零点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　令f（x）＝｜lg x｜－kx－2＝0，得｜lg x｜＝kx＋2，令g（x）＝｜lg x｜，h（x）＝kx＋2，所以f（x）的零点个数即函数g（x）与h（x）图象的交点个数.当k＝0时，如图1，g（x）与h（x）的图象有2个交点，则f（x）有2个零点，故A正确；当k＞0时，如图2，存在h（x）＝k0x＋2的图象与函数g（x）＝｜lg x｜（x＞1）的图象相切的情况，此时h（x）与g（x）的图象有2个交点，当0＜k＜k0时，g（x）与h（x）的图象有3个交点，则f（x）有3个零点，故D正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 当k＜0时，如图3，g（x）与h（x）的图象最多有2个交点，g（x）与h（x）的图象相切时有1个交点，如图4，故B正确，C不正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 13. 函数f（x）＝ 有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2 ＜x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是 ⁠. [－4，－2）　 解析：函数f（x）＝ 有三个零点x1，x2，x3，且x1 ＜x2＜x3，设g（x）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 则函数g（x）的图象与直线y＝t的三个交点的横 坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，作出函数 g（x）的图象，如图所示.由图可知1≤t＜4，且 x1，x2是关于x的方程－x2－4x－t＝0的两个不等 实根，所以x1＋x2＝－ ＝－4，x3满足 －t＝ 0，即x3＝log2t，因为1≤t＜4，所以log21≤log2t＜log24，即0≤x3＜2.所以－4≤x1＋x2＋x3＜－2，即x1＋x2＋x3的取值范围是[－4，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 14. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，且f（1）＝－ ，3a＞2c＞2b.求 证： （1）当a＞0时－3＜ ＜－ ； 证明： ∵f（1）＝a＋b＋c＝－ ，∴c＝－ a－b. ∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b. ∵2c＞2b，∴－3a＞4b. ∵a＞0，∴－3＜ ＜－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点. 证明： ∵f（0）＝c，f（2）＝4a＋2b＋c，f（1）＝－ ， Δ＝b2－4ac＝b2＋4ab＋6a2＝（b＋2a）2＋2a2＞0. 当c＞0时，f（0）＞0，f（1）＜0， ∴f（x）在（0，2）内至少有一个零点； 当c＝0时，f（0）＝0，f（1）＜0，f（2）＝4a＋2b＝a＞0，∴f（x） 在（0，2）内有一个零点； 当c＜0时，f（0）＜0，f（1）＜0，b＝－ a－c，f（2）＝4a－3a－ 2c＋c＝a－c＞0，∴f（x）在（0，2）内有一个零点. 综上，f（x）在（0，2）内至少有一个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 15. （创新设问方式）〔多选〕已知函数f（x）＝ 若在区间（1，＋∞）内存在n（n≥2）个 不同的数x1，x2，…，xn，使得 ＝ ＝…＝ ，则n的 取值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　 的几何意义为点（xn，f （xn））与原点连线的斜率， ＝ ＝… ＝ 的几何意义为连线斜率相等，作出f（x） ＝ 的大致图象，如图所示，在区间（1，＋∞）上与y＝kx的交点个数为1或2或3，又n≥2，故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $