第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

第三节　函数的奇偶性与周期性 高中总复习·数学 课标要求 1. 了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2. 会依据函数的性质进行简单的应用. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都 有 ∈D 且f（－x）＝ ⁠ ，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝ ，那 么函数f（x）就叫做奇函数 图象 特征 关于 ⁠对称 关于 ⁠对称 －x　 f （x） －f（x）　 y轴　 原点　 提醒 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 目 录 高中总复习·数学 2. 函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ⁠， 那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 ⁠ 的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. f（x＋T）＝f（x）　 最 小　 目 录 高中总复习·数学 1. 函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝ 0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性. 目 录 高中总复习·数学 2. 函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝ ，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－ ，则T＝2a（a＞0）. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数. （　×　） （2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0. （　×　） （3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期. （　√　） × × √ 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修一P84例6改编）下列函数是奇函数的是（　　） A. y＝x2 sin x B. y＝x2 cos x C. y＝ln ｜x｜ D. y＝2－x 解析： 　根据奇函数的定义知奇函数满足f（－x）＝－f（x），且定义 域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （苏教必修一P127习题5题改编）已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－ 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　） A. － B. C. D. － 解析： 　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝ ，∴a＋b＝ . √ 目 录 高中总复习·数学 4. （人A必修一P203练习4题改编）已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f （x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋4，则f（2 026）＝ ⁠. 解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数， 所以f（2 026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5. 5. 已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f （－3）＝ ⁠. 解析：由结论知f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f （x）＝2x－1（x≥0），则f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7. 5　 －7　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 函数奇偶性的判断（师生共研过关） 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝ ＋ ； 解： f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称. 又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0， 所以f（x）既是奇函数又是偶函数. 目 录 高中总复习·数学 （2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜； 解： f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜ ＝｜x－1｜－｜x＋1｜＝－f（x）， 所以函数f（x）为奇函数. 目 录 高中总复习·数学 （3）f（x）＝ . 解： 由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0， 所以f（x）＝ ，定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称. 又f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x）， 所以函数f（x）是奇函数. 目 录 高中总复习·数学 （4）f（x）＝ 解： 法一（图象法） 画出函数f（x）＝ 的图象如图所示，图象关于y轴对称， 故f（x）为偶函数. 法二（定义法） 易知函数f（x）的定义域为（－∞，0） ∪（0，＋∞），关于原点对称，当x＞0时，f（x）＝x2 －x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数. 法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 目 录 高中总复习·数学 （2）图象法 （3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们 的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇. 提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f （x0），不能判定函数f（x）是奇函数. 目 录 高中总复习·数学 1. （2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝ C. f（x）＝ D. f（x）＝ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　法一 对于A，f（－x）＝ ＝ ≠f（x），故f （x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝ ＝ ＝f （x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}， 不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝ ＝ ＝－ ＝－f（x），故f（x）是奇函数. 故选B. 目 录 高中总复习·数学 法二（特殊值法） 对于A，f（1）＝ ＝ ，f（－1）＝ ＝ ，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f （x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函 数；对于D，f（π）＝ ＝ ，f（－π）＝ ＝ ，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 目 录 高中总复习·数学 法三（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A， 由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B， y＝ cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定 义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝ sin x＋ 4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 目 录 高中总复习·数学 2. 设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（　　） A. 是偶函数，且在（ ，＋∞）上单调递增 B. 是奇函数，且在（－ ， ）上单调递减 C. 是偶函数，且在（－∞，－ ）上单调递增 D. 是奇函数，且在（－∞，－ ）上单调递减 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　f（x）的定义域为{x｜x≠± }，f（－x）＝ln｜－2x＋1｜ －ln｜－2x－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），则f（x）为 奇函数.当x∈（－ ， ）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x）单调 递增；当x∈（－∞，－ ）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（－2x＋ 1）＝ln（ ）＝ln（1＋ ）单调递减.故选D. 目 录 高中总复习·数学 函数奇偶性的应用（定向精析突破） 考向1　利用函数奇偶性求值（解析式） （1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2 sin x，当 x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－ ）＋f（4）＝（　C　） A. － ＋2 B. 1 C. ＋2 D. 3 C 目 录 高中总复习·数学 解析： 因为函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2 sin x，所以f（－ ）＝f（ ）＝2 sin ＝ .又因为当x∈[2，＋∞） 时，f（x）＝log2x，所以f（4）＝log24＝2，所以f（－ ）＋f（4）＝ ＋2. 目 录 高中总复习·数学 （2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－ 2x＋a，则a＝ ；当x＜0时，f（x）＝ ⁠. 解析： 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即 1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－ x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇 函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1. －1　 －2－x－2x＋1　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 函数奇偶性的应用类型及解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇 偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式 （组），从而得到f（x）的解析式； （2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函 数值求解； （3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到 关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处 有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解. 目 录 高中总复习·数学 考向2　利用函数奇偶性解不等式 （2025·朔州高三阶段练习）已知函数f（x）是定义域为R的奇函 数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0， 则m的取值范围为（　　） A. （－∞，0） B. （0，＋∞） C. （－∞，1） D. （1，＋∞） √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 当x≥0时，f（x）的对称轴为x＝－1，故f（x）在[0，＋ ∞）上单调递增.函数在x＝0处连续，又f（x）是定义域为R的奇函数， 故f（x）在R上是增函数.因为f（－x）＝－f（x），由f（3＋m）＋f （3m－7）＞0，可得f（3＋m）＞f（7－3m），又因为f（x）在R上是 增函数，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故选D. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 利用函数的奇偶性解不等式的解题策略 　　利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一 致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求 解，涉及偶函数时常用f（x）＝f（｜x｜），将问题转化到区间[0，＋ ∞）上求解. 目 录 高中总复习·数学 1. （2024·开封第二次质量检测）若函数f（x）＝ 是奇 函数，则实数a＝（　　） A. 0 B. －1 C. 1 D. ±1 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 法一（定义法） 因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝ －f（x），当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x －a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C. 法二（特殊值法） 因为函数f（x）是奇函数，所以f（－1）＝－f （1），即－a2－1＝－（1＋a），解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题 意，故选C. 目 录 高中总复习·数学 2. 已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等式 xf（x－2）＞0的解集为（　　） A. （1，3） B. （3，＋∞） C. （－3，－1）∪（3，＋∞） D. （0，1）∪（3，＋∞） 解析： 　偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上 单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－ 2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以 x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜ 0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所 以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）. √ 目 录 高中总复习·数学 函数的周期性（师生共研过关） （1）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x都有f（x＋2）＝ ，且f（2）＝2，则f（2 026）＝ ⁠； 解析： 因为f（x＋2）＝ ，所以f（x＋4）＝ ＝ ＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f（2 026）＝f（4×506＋ 2）＝f（2）＝2. 2　 目 录 高中总复习·数学 （2）已知偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f （x）＝ cos x，则x∈[2 025，2 026]时，f（x）＝ 　－ cos x　. 解析： 因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期为2.设x∈[2 025，2 026]，则x－2 026∈[－1，0]，因此2 026－x∈[0，1]，因为当 x∈[0，1]时，f（x）＝ cos x，所以f（2 026－x）＝ cos ［ （2 026－ x）］＝ cos （1 013π－ x）＝－ cos x，又因为函数f（x）的周期为2， 且为偶函数，所以f（2 026－x）＝f（－x）＝f（x），故当x∈[2 025，2 026]时，f（x）＝－ cos x. － cos x　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 函数周期性的判定与应用 （1）判定：判断函数为周期函数只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0） 即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； （2）应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体 性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的 功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z 且k≠0）也是函数的周期. 目 录 高中总复习·数学 1. 定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，则下列是周期 函数的是（　　） A. y＝f（x）－x B. y＝f（x）＋x C. y＝f（x）－2x D. y＝f（x）＋2x 解析： 　依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－ 2，所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是 周期为1的周期函数. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f （x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点 有 个. 解析：当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f （x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时， 0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所 以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f （x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2） ＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点. 5　 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f（x＋3）＝ ，且 f（3）＝ ，则f（2 025）＝（　　） A. － B. C. －1 D. 1 解析：B　由f（x＋3）＝ 得f（x）的周期T＝6，f（2 025）＝f （337×6＋3）＝f（3）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 2. 已知函数f（x）＝x3－ ，则f（x）（　　） A. 是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增 B. 是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增 C. 是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减 D. 是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减 解析： 　f（x）的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－（x3－ ）＝－ f（x），即函数f（x）为奇函数，当x＞0时，y＝x3单调递增，y＝－ 单调递增.故函数f（x）＝x3－ 在x＞0时单调递增.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 3. （2025·湛江一模）已知函数f（x）＝（2x－ ）· cos x是偶函数，则 实数a＝（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析： ∵f（x）的定义域为R，f（－x）＝（2－x－ ）· cos （－ x）＝（－a·2x＋ ） cos x，f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x）， 则－a＝1，解得a＝－1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 4. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f（x＋2）＝ －f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋ax＋b，则a＋b＝（　　） A. 0 B. －1 C. －2 D. 2 解析： 　因为f（x）是定义在R上的奇函数，且x∈[0，2]时，f（x） ＝x2＋ax＋b，所以f（0）＝b＝0，f（－x）＝－f（x）.又对任意的 x∈R，都有f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋2）＝f（－x），所以函 数图象关于直线x＝1对称，所以－ ＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2. 故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 5. 〔多选〕函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 且f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，则（　　） A. f（－1）＝－1 B. g（－1）＝－2 C. f（1）＋g（1）＝1 D. f（1）＋g（1）＝2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　法一 由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1得f（－x）－g（－x） ＝－x3＋x2－1，又f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函 数，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1.由 得f（x）＝x3，g（x）＝－x2＋1. 对于A，f（－1）＝（－1）3＝－1，故A正确；对于B，g（－1）＝－ （－1）2＋1＝0，故B错误；对于C和D，f（1）＋g（1）＝1－1＋1＝1， C正确，D错误. 法二 因为f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，且f（x）为奇函数，g（x）为 偶函数，将x＝－1代入得f（－1）－g（－1）＝－1，所以－f（1）－g （1）＝－1，即f（1）＋g（1）＝1，故C正确，D错误；将x＝1代入得f （1）－g（1）＝1，又f（1）＋g（1）＝1，所以f（1）＝1，g（1）＝ 0，所以f（－1）＝－1，g（－1）＝0，故A正确，B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕函数f（x）的定义域为R，且f（x）与f（x＋1）都为奇函 数，则（　　） A. f（x－1）为奇函数 B. f（x）为周期函数 C. f（x＋3）为奇函数 D. f（x＋2）为偶函数 解析： 　由题意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f （x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋ 1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期为2的函数，且f（x－ 1），f（x＋2）为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f（x＋1）＝ f（x＋3），即f（x＋3）为奇函数，C正确.故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 7. 已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f （3）＝ ⁠. 解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3 ＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函数，依题意，g（x）＝f （x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，则 f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0， 又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21. －21　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 8. （2025·中山模拟预测）已知函数f（x）＝2x－ sin 2x，则不等式f （x2）＋f（3x－4）＜0的解集为 ⁠. 解析：由f（x）＝2x－ sin 2x得f'（x）＝2－2 cos 2x＝2（1－ cos 2x） ≥0，所以函数f（x）＝2x－ sin 2x是R上的增函数，又由f（－x）＝－ 2x－ sin （－2x）＝－（2x－ sin 2x）＝－f（x）得函数f（x）是奇函 数，则由f（x2）＋f（3x－4）＜0得f（x2）＜－f（3x－4）＝f（4－ 3x），所以x2＜4－3x⇒x2＋3x－4＜0⇒（x－1）（x＋4）＜0，解得－4 ＜x＜1. （－4，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 9. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝ －f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）求证：f（x）是周期函数； 解： 证明：因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x ＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期为4的周期函数. （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式. 解： 因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]， 所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8. 因为f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8， 即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 10. 已知函数f（x）（x∈R，且x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有 f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），则f（x）为（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既为奇函数也为偶函数 解析： 　令x1＝x2＝1得f（1）＝f（1）＋f（1），即f（1）＝0，令x1 ＝x2＝－1得f（1）＝f（－1）＋f（－1），即f（－1）＝0，令x1＝－ 1，x2＝x得f（－x）＝f（－1）＋f（x），即f（－x）＝f（x），所以 f（x）是偶函数，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 11. 已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f （x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为（　　） A. e B. 2 C. 2 D. 2e √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f （x）＋ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f （x）－3ex是奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x） ＋f（－x）＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本 不等式可得f（x）＝ex＋2e－x≥2 ＝2 ，当且仅当ex＝2e－x， 即x＝ ln 2时，等号成立，故函数f（x）的最小值为2 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕（2024·九省联考）已知函数f（x）的定义域为R，且f（ ） ≠0，若f（x＋y）＋f（x）f（y）＝4xy，则（　　） A. f（－ ）＝0 B. f（ ）＝－2 C. 函数f（x－ ）是偶函数 D. 函数f（x＋ ）是减函数 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　当x＝0，y＝ 时，f（ ）＋f（0）f（ ）＝0，f（ ） （1＋f（0））＝0，而f（ ）≠0，所以f（0）＝－1，当x＝－ ，y＝ 时，f（0）＋f（－ ）f（ ）＝－1，f（－ ）f（ ）＝0，所以f（－ ）＝0，故A正确；f（x）过（0，－1），（－ ，0），令f（x）＝kx ＋b，则 解得 所以f（x）＝－2x－1，f（x＋ y）＋f（x）f（y）＝－2（x＋y）－1＋（－2x－1）（－2y－1）＝ 4xy，符合题意，所以f（ ）＝－2，故B正确；f（x－ ）＝－2（x－ ）－1＝－2x为奇函数，故C错误；f（x＋ ）＝－2（x＋ ）－1＝－2x－2为减函数，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 13. 已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f （x＋1）＝ ；②函数y＝f（x）是偶函数；③当x∈（0，1]时，f （x）＝x＋ex，则f（－ ），f（ ），f（ ）从小到大的排列是 ⁠ ⁠. ： f（－ ）＜f（ ）＜f（ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析：由f（x＋1）＝ ，得f（x＋2）＝ ＝f（x），故函 数y＝f（x）的周期为2，f（－ ）＝f（ ），f（ ）＝f（8－ ）＝f （－ ）＝f（ ），f（ ）＝f（6－ ）＝f（ ），∵当x∈（0，1] 时，f（x）＝x＋ex单调递增，∴f（ ）＜f（ ）＜f（ ），故f（－ ）＜f（ ）＜f（ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 14. 已知函数f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，f （x）＝ x2＋x. （1）求当－3≤x＜0时，函数f（x）的解析式； 解： 设－3≤x＜0，则0＜－x≤3， 所以f（－x）＝ （－x）2－x＝ x2－x， 因为f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数， 所以f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝ x2－x，所以f（x）＝－ x2＋x， 即当－3≤x＜0时，函数f（x）的解析式为f（x）＝－ x2＋x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）若f（a＋1）＋f（2a－1）＞0，求实数a的取值范围. 解： 由f（a＋1）＋f（2a－1）＞0，得f（a＋1）＞－f（2a－ 1）， 因为f（x）为奇函数，所以f（a＋1）＞f（1－2a）， 当0＜x≤3时，f（x）＝ x2＋x＝ （x＋1）2－ ，所以f（x）在（0， 3]上单调递增， 因为函数f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，所以f（x）在[－3，3] 上单调递增， 所以 解得0＜a≤2， 故实数a的取值范围是（0，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 15. （创新设问方式）定义在R上的不恒为零的偶函数f（x）满足xf（x＋ 2）＝（x＋2）f（x），且f（2）＝4.则 [f（2k）＋f（－2k）]＝ （　　） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意可知， ＝ ，且 ＝2，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2，所以f（2）＋f（4）＋f（6） ＋f（8）＋f（10）＝2（2＋4＋6＋8＋10）＝60，因为函数f（x）为偶函 数，所以f（－2）＋f（－4）＋f（－6）＋f（－8）＋f（－10）＝60， 则 [f（2k）＋f（－2k）]＝60＋60＝120.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 16. （定义新性质）设函数f（x）的定义域为R. 若存在常数T，A（T＞ 0，A＞0），使得对任意x∈R，f（x＋T）＝Af（x）都成立，则称函数 f（x）具有性质P. （1）判断函数y＝x和y＝ cos x是否具有性质P；（结论不要求证明） 解： 因为函数y＝x是增函数， 所以函数y＝x不具有性质P. 当A＝1，T＝2π时， 函数y＝ cos x对于任意x∈R，f（x＋T）＝Af（x）都成立， 所以y＝ cos x具有性质P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）若函数f（x）具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈（0，π] 时，f（x）＝ sin x，求函数f（x）在区间[－π，0]上的最大值. 解： 设x∈（－π，0]，则x＋π∈（0，π]， 由题意得f（x＋π）＝2f（x）＝ sin （x＋π）， 所以f（x）＝－ sin x，x∈（－π，0]. 由f（－π＋π）＝2f（－π），f（0＋π）＝2f（0）， 得f（－π）＝ f（π）＝0， 所以当x∈[－π，0]时，f（x）＝－ sin x， 所以当x＝－ 时，f（x）在[－π，0]上有最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $