4.2.2 课时2 等差数列前n项和公式的性质及应用 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 课时2等差数列前n项和公式的性质及应用 【基础巩固】 1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．16 B．18 C．24 D．26 2．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 3．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（ ） A．24 B．22 C．20 D．18 4．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A．49 B．50 C．51 D．52 5．（多选）记为等差数列的前n项和，则（ ） A． B．若的公差不为，，则 C．，，成等差数列 D．是等差数列 6．设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为________ 7．已知等差数列的前n项和为，若，，则_________. 8．已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值； (3)若，求数列的前n项和. 【能力拓展】 9．已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（ ） A．若，则取最小值时的值为 B．若，则的最大值为 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为 10．（多选）已知等差数列的前项和为，，公差，则下列说法正确的是（ ） A．是递增数列 B．1是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 11．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.设数列是项数为（，且）的“对称数列”，且满足，记为数列的前n项和.若，，…，构成单调递增数列，且，则当取得最大值时，________. 【素养提升】 12．设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 课时2等差数列前n项和公式的性质及应用 【基础巩固】 1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【解析】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 2．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在等差数列中，成等差数列， 则，设，则， 故，解得，所以. 故选：A. 3．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（ ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 4．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. （解法2）是等差数列的前n项和，所以数列是等差数列，设公差为，则 ，所以，，所以. 5．（多选）记为等差数列的前n项和，则（ ） A． B．若的公差不为，，则 C．，，成等差数列 D．是等差数列 【答案】ACD 【解析】的首项为，公差为， 对于A：，所以，故正确；对于B：， ， 又因为，所以，解得，故错误； 对于C：， ，，所以 ，， 所以，所以，，成等差数列，故正确； 对于D：因为，所以 ， 所以是公差为的等差数列，故正确. 故选：ACD. 6．设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为________ 【答案】13 【解析】∵等差数列的前n项和是二次函数，且， ∴，即,所以n的最大值为13. 7．已知等差数列的前n项和为，若，，则_________. 【答案】21 【解析】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 8．已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】见解析 【解析】(1)设等差数列的公差为d，因为等差数列的前n项和为，，， 可得，，解得，，所以. (2)根据(1)中所求，， 是关于的二次函数，其对称轴； 又，所以当n为6时取得最大值，的最大值为36. (3)因为，所以，， 当时，； 当时，， 综上. 【能力拓展】 9．已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（ ） A．若，则取最小值时的值为 B．若，则的最大值为 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以， 所以，所以当时，取得最小值，正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以当或时，取得最大值为，正确； 对于C，若，则，又， 所以，所以，正确； 对于D，若，则， 又，所以，所以， 所以等差数列为递减数列，所以， 所以取最大值时的值为，错误. 故选：D. 10．（多选）已知等差数列的前项和为，，公差，则下列说法正确的是（ ） A．是递增数列 B．1是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 【答案】AD 【解析】对于A，因为，公差，则， 所以是递增数列，故A正确；对于B，令，解得，故1不是数列中的项，故B错误；对于C，令，解得，即， 所以数列中的最小项为或，故C错误；对于D，因为，则，所以数列是等差数列，故D正确. 故选：AD. 11．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.设数列是项数为（，且）的“对称数列”，且满足，记为数列的前n项和.若，，…，构成单调递增数列，且，则当取得最大值时，________. 【答案】1012 【解析】由题设知构成公差为2的等差数列，构成公差为-2的等差数列， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：1012. 【素养提升】 12．设是由正数组成的等差数列，是其前项和． (1)若，求的值； (2)若存在互不相等的三个正整数p，q，m，使得，证明：不等式成立． 【答案】见解析 【解析】(1)在等差数列中，成等差数列， ，． (2)是等差数列，且，正整数p，q，m互不相等, ，即. 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $