数学（北师大版）试卷-【1号卷·A10联盟】2025-2026学年高二上学期10月学情诊断

号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 1046: 数学（北师大版）试题 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 10.已知实数xy满足圆的方程(x-1)+y=。 题目要求的， A.圆心为1.0)，半径为)」 B.x的最大值为2 1.直线1：x+√3y-2=0的倾斜角为() A.30° B.60° C.120 D.150° C.V+0-)的最大值为5+} 2 D.x-y2的最大值为 2 2.点P(m,3)与圆(x-2)2+(y-1)2=2的位置关系为()》 A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.与m的值有关 1L.已知关于xy的二元一次方程Ax+By+C=0(2+B≠0)表示一条直线，关于x,y的二元一 3.“直线：2x+y+5=0与直线12：2x+4y+3=0相互垂直”是“1=-2”的(） 次不等式A+By+C>0(AP+B2≠0)或Ax+By+C≤0(AP+B2≠0).则表示-个平面区域， A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 如x+y≥>】表示直线x+y=1上的点以及直线x+y=1右上方的点构成的平面区域.基于上述事 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 +≤8 4.若直线+y+c=0经过第一、二，三象限，则a,b,c应满足() 实，记不等式组 所表示的平面区域为D,面积为S,则(） A.ab<0,bc<0 B.ab>0.be<0 y≥+4k+8 C.ab<0.bc>0 D.ab>0,be>0 A.若k=-2,则S=64 B.满足S=16的k的值有两个 5.设直线y=x-√2与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点，且AB=25,则a为() A.2 B.±2 C.3 D.±3 C“-号<k<0:是“D为三角形”的充分不必要条件 6.不论m.n为何实数，直线(m-n)x+(m+2)y-3n=0过定点(） D.若D为五边形.则k<-4 A.(-1,1D B.(1.-1) C.(0,0) D.(2.2) 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 7.已知O为坐标原点，过点(2,7)的直线1分别与x,y轴的正半轴交于M,N两点，则当△MON的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 面积取得最小值时，直线/的纵截距为(） 12.将园x2+y2=1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的标准方程 A.4 B.7 C.8 D.14 为 已阳0,2，.0，动点P精起网历=0.若丽-号所，则线ON(0为 13.已知△ABC中，A(4,-6),B(6,-2),线段CA.CB的中点分别在x,y轴上，则AB边上的中线所 在的直线的方程为 ·(结果用一般式表示) 原点)斜率的最大值为() 14.在平面直角坐标系xO中，点A(0,2),直线：y=x-2,设圆C的半径为1，圆心在1上，若 A.1 B. y 0.2 D.2 圆C上存在点M,满足MA+MO=10,则圆心C的横坐标的取值范围为」 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 15.(13分) 9.圆C:x2+y2=1与圆C2:x2+(y-a)2=9有且只有一个公共点，则a的值可能是(） 已知圆C经过点A(0,1),且圆心为C1,2) (1)求圆C的标准方程： A.2 B.4 G.1 D.3 (2)若直线1经过P1,0),Q(2,V3)两点，且与圆C相交于点M,N,求线段MN的长 多表·A1联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（北师大板）试题第1页共4页 号卷，A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（北师大版）试题第2页共4页 16.(15分) 18.(17分) 已知三条直线4：2x-5y-3=0,42:3x+4y+7=0,4:am-2y+1=0, 已知直线1：(2-V5x-y=0的倾斜角与直线山，：x+y+入=0的倾斜角之和为60° (1)当三条直线交于一点时，求实数a的值； (1)求1的值： (2)三条直线有且只有两个交点，求实数a的值 (2)点M(x,)在直线4上运动. ()若无∈-3，小.求+的取值范围： %-2 (i)点A(-L,2),B(0,3),求当M4+AMB取得最小值时直线AM的方程. 17.(15分) 19.(17分) 已知圆C:x2+(y-4)=4,圆C2:(x-a)+y-2a+2)2=1. 如图，圆M:(x-2)+y2=1,点P(-1,)为直线1：x=-1上一动点，过点P引圆M的两条切 (1)若圆C与圆C恰有三条公切线，求实数a的值： 线，切点分别为A、B。 (2)设a=2时，圆C与圆C,相交于A、B两点，求AB. (1)若1=1，求切线所在直线方程： (2)求AB的最小值： (3)若两条切线PA,PB与y轴分别交于S,T两点，求ST的最小值 号表，A10联塑2024级高二上学榭10明学情诊断，数学（北师大板）试题第3页共4页 号卷，A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（北师大版）试题第4页共4页号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断 数学（北师大版）参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 D C 日 A A D B 1.D易知直线1的斜率k=-5 .故其倾斜角a=150,散选D 2.C将点P(m,3)代入圆(x-2)2+(y-1)2=2中，得(m-2)2+4>2恒成立，故点P在圆外.故选C. 3.B由题意得，22+4元=0，解得1=0或-2，故“直线1：2x+y+5=0与直线/：2x+4y+3=0 相互垂直”是“元=-2”的必要不充分条件.故选B. 本A出题意知，直线的斜率存在，方程可变形为)=名一 ·,因为直线经过第一、二、三象限，所以 -4>0,-C>0,所以b<0且bc<0.故选A h 5.B由题意得，在y=x-V2中，x-y-√2=0，在0：x2+y2=a2中， O(0,0),半径为a(a>0),直线与圆相交于A,B两点，且 AB=2V5,设AB中点为C,连接OA,OC,由几何知识得， 0C1AB,AC=BC=24B=5,在R△A0C中，01=d4, oc-l -0-2 =1,由勾股定理得，OA2=AC2+OC2,即 P+(-1) a2=1P+(V3,解得a=士2.故选B. 6.A 直线方程m-mx+(m+2my-3n=0可化为mx+)+M2y-x-3)=0,令+y=0 2y-x-3=0 x=-1 解得 ,即定点坐标为(-1,1).故选A. y=1 7D设直线1：+二=1，其中a>0,b>0,而二+，=1) 27 a h 解得ab>56,当且仅当2_7 a b 即a=4,b=14时等号成立，故S=)ab>28,此时直线1的纵截距为14.故选D. 8.B设Mx,),由PM=}PF,F0,0),得点M为PF的中点，则P(2x-L,2).又40,1)，B2,1, 则PA=1-2x,1-2y),PB=(3-2x,1-2y),因此 PA.PB=1-2x)3-2x)+(1-2y)1-2y)=4(x-1)2+(1-2y)2-1=0,即 -心+2点M在以N》为调心为年径的质上，达省线00为限点) 斜率为k,由图知当直线OM与圆N相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时OM:kc-y=0, 号卷·A10联盟2024级高二上学期10明学情诊断·数学（北师大版）参考答案第1页共5页 到直线OM的距离等于半径)， Vk2+1 2 解得k=4或k=0,所以直线OM(0为原点)斜率的最大值为 4 3 故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AB AC ACD 9.AB圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆C2:x2+(y-a)2=9的圆心为(0，，半径为 3,圆C,与圆C,有且只有一个公共点，则两圆相切，所以CC,=3+1=4或CC=3-1=2, 即V=a=4或V2+0=d=2,所以a=±4或a=±2,1,3不满足要求，2,4满足要求.故 选AB. 10AC对于A,出圆的方程x-+少=子得圆心为，0)，半径为，放A正碗：对于B.出 -+y-有-产-k}长子所服商大位号 3 ,放B错 误；对于C,√x2+(y-1)表示圆上点(x,y)到定点(0，)的距离，圆心(1,0)到定点(0,1)的距 离为d=√1-0)2+(0-1)2=√2，所以圆上点(x,y)到定点(0,1)的距离的最大值为 d+r=万+行，散C正确：对于D,由-+y2-得=}-(-，所以 2二x心-=-+及c)令/0国=-+南 ≤x≤ 「13上单 42 22 圖递增，所以)，所以一y的最大值为。，放D错误，故选A 11.ACD由题易知，(+≤8表示的平面区域是以(8,0)，(-8,0)，(0,8)，(0，-8)为顶点的正方形的边界 及其内部，易知该正方形的面积为16X16=128.若=-2.则+小8 由于直线 2 y>-2x =-2x过正方形的中心，其面积S=)×128=64,故A正确；满足S=16的k的值仅有 个（有一种情形无的值不存在。故B错误：若D为三角形，则-号<k<0或>2.放C正 确；若D为五边形，则临界状态为直线y=c+4k+8过点(0，-8)，此时k=-4,结合图形 可知，k∈(-∞，-4)，故D正确.故选ACD. 葡号卷·A10联盟2024级高二上学期10明学情诊断·数学（北师大版）参考答案第2页共5页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(x-1)2+(y-1)2=1 圆x2+y2=1的圆心为原点，原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到(1,1)， 故得到(x-1)2+(y-1)2=1. 13.10x+11y-6= b-6=0 设C(a,b),则2 ,得a=-6,b=6,而线段AB的中点坐标为(5，-4)，故AB边上的中线 +6 =0 (2 5+6了·放中线所在的直线的方程为y+4=0x-5),即10x+1-6=0。 的斜率k=-4-6、10 14.[0,3] 设M(x,y),因为MA2+MO2=10,所以x2+(y-2)2+x2+y2=10,即x2+(y-1)2=4,又圆C 上存在点M,满足MA+MO=10,所以两圆相交或相切，因为圆C的圆心在直线1：y=x-2, 所以设圆心C(a,a-2),由两圆的位置关系得：1≤√a2+(a-3)<3,解得0<a≤3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) （1)由题意得，r=CA=V1-0)2+(2-1)2=√2， …（2分) 所以圆C的标准方程为(x-1)+(y-2)2=2. …（4分) （2h题弦得，0-5-0=5，枚1：-0=y5-).即1：5x-y-5=0.…(7分) 2-1 W5x1-1x2-V5 所以圆心C到直线I的距离为d= …(10分) +(-1 所以MN的长等于2VF2-dP=2V2)°-1P-2. …(13分) 16.（15分) x=-1 (1)联立直线1,1，的方程得 2x-5y-3=0 3x+4y+7=0,解得 …(3分) y=-1 即直线l,1,的交点坐标为(-1，-1)， 把交点坐标(-1，-1)代入3：ax-2y+1=0中，得-a+2+1=0,解得a=3.…(6分) (2)因为直线1与直线1，相交，当三条直线有且只有两个交点时， 所以直线1必与直线1,1，其中之一平行 …（8分) 当风时，4=-5a,解得a=行此时：4x-10y+5=0,符合题意 4 …(11分) 貿飞风时，-6三4a,解得a=此时：3x+4y-2=0,符合题意 …(14分) 综上所述，实数a的值为了或-2 4 3 …（15分) 5 葡号悬·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（北师大版）参考答案第3页共5页 17.(15分) (1)因为圆C与圆C,恰有3条公切线，所以两圆相外切.…(2分) 又由圆C:x2+(y-4)2=4,得圆心C(0,4),半径=2， 圆C2:(x-a)}+(y-2a+2)}=1,得圆心C2(a,2a-2),半径2=1，…(5分) 所以圆心距CC=Va2+(2a-2-4)2=V5a2-24a+36,5+3=3, 所以C,C=万+5，得V5a2-24a+36=3,解得a=3或a=写 9 …(8分) (2)当a=2时，圆C2:(x-2)2+(y-2)2=1,此时两圆的圆心距CC=2V2<3,两圆相交.(9分) 将两圆方程相减得直线AB的方程为4x-4y+5=0, …（11分) 所6G@线8的重商d-4其-，县2，…分) V42+42 由圆的弦长公式得4B=2V-dP=24- 121V14 …(15分) 324 18.(17分) (1)直线l的斜率k=2-√3，倾斜角为a1,直线l,的斜率飞=-1，倾斜角为a2,则a,+a2=60°， =+店=5，解得k=1,放1=-1.…(5分） 则tan(a,+a,)=1-kk2 (2)(i)由(1)可知，直线1：x-y+1=0, %+3 -2 表示点(x,%)与点(2，-3)连线的斜率，作出图形如图所示，…（6分) i记P2,-3),M-3,-2,N1,2).6+3=k. x-2 其中kpM= 2+3 =-5, …(8分) 1-2 观察可知，kw≤<w,所以%+3 的取值范围为 -5,5] …(10分) (i)作点B(0,3)关于直线l,的对称点B'(m,n), n-3.1=-1 则了m m=2 ，解得 m n+3 n=1,故Br(2,1): +1=0 22 此时MA+MB=MA+MB≥AB, 如吕司 及直线AM的方程为y-1=红-2) 即x+3y-5=0. …（17分) 19.(17分) （1）由题意得，切线斜率存在，可设切线方程为y-1=k(x+1),即-y+k+1=0,…（1分) 葡号悬·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（北师大版）参考答案第4页共5页 3k+1 则圆心M到切线的距离d= =1,解得k=0或-3 …（3分) Vk2+1 故所求切线方程为y=1,3x+4y-1=0. …(4分) (2)连接PM,AB交于点N, 设∠MPA=∠MAN=0,则AB=2 AM cost0=2cos0, …(6分) AM1 在Rt△MAP中，sin0= …(8分) PMPM 因为PM≥3.所以(sn)=子，所(cos0-2 ，所以8=45 …(10分) 3 (3)设切线方程为y-t=k(x+1),即a-y+k+t=0,PA,PB的斜率为k,k2, 故圆心M到切线的距离d= 3k+ =1,得8k2+6kt+2-1=0, Vk2+1 +32>0,所以k+k3三-1,6兰 …（12分) 8 在切线方程中令x=0,可得y=k+1, V2+8 故ST=(亿+)-（飞+）=k-k=V(k+k2)2-4kk2= …（15分) 4 T-怎.能7=0，数灯的最小值为号 …（17分) 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分： 慧号卷·A10联盟2024级高二上学期10月学情诊断·数学（北师大版）参考答案第5页共5页