七年级数学上学期第三次月考（北师大版2024，高效培优·强化卷）

2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D D D D C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．2 13．1 14．1 15． 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：原式 ；...............3分 （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：．...............6分 18． 【详解】（1） 解：...............2分 （2）见（1）...............4分 （3）在线段上找一点P，使得最小，其依据是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短．...............6分 19． 【详解】（1）解：...............2分 （2）解：， ， ， ， ， ， ．...............6分 20． 【详解】（1）解： ．...............2分 （2）解：∵不含三次项， ∴三次项系数， ∴．...............5分 （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴原式．...............6分 21． 【详解】（1）解：由数轴可知，且，且， ∴，； 故答案为：，；...............2分 （2）解：，， ∴； 故答案为：；...............5分 （3）解：∵，，，， ∴，， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，， ∴．...............8分 22． 【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元；...............2分 （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠；...............5分 （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．...............8分 23． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：；...............2分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴；...............4分 （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即；...............6分 （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或．...............8分 24． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是．...............2分 （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：．...............7分 （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ．...............12分 25． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“倍距点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“倍距点” ∵ ∴点不是点A，B的“倍距点” 故答案为：；...............3分 （2）解：设点P在数轴上表示的数为 ①当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故点P表示的数为；...............5分 ②（i）当点为点的“倍距点”时， 则，即： 解得：...............8分 （ii）当点为点的“倍距点”时， 则，即： 解得： 或，即： 解得：...............10分 （iii）当点为点的“倍距点”时， 则，即： 解得： 故点P表示的数为...............12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024七年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程． A. 含有两个未知数，不符合条件； B. 不是方程（无等号），不符合条件； C. 只含一个未知数，且未知数次数为1，是整式方程，符合条件； D. 分母含未知数，不是整式方程，不符合条件． ∴ 只有C是一元一次方程． 故选C． 2．如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看立体几何．根据立体几何图形的特点结合选项分析即可求解． 【详解】 解：根据题意，从左面看到的形状图是 故选：D． 3．我国三峡大坝是世界上规模最大的水电站，也是中国有史以来建设最大型的工程项目、最伟大的工程之一，2024年一季度，三峡枢纽通航安全有序，通过货运量万吨，客运量达万人次，创下2016年通航以来首季客运量新高．将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：万． 故选：C． 4．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，合并同类项，去括号． 通过直接计算验证各选项即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．不能进一步合并，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 5．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，包括等式的对称性和移项法则．需逐一判断各选项是否符合等式性质． 【详解】解：∵ 等式性质：若，则，或， 选项A：若，当时，b可为任意值，不一定成立，∴ A错误． 选项B：若，则，但时分母为零，无意义，∴ B错误． 选项C：若，则，选项错误，不符合题意； 选项D：若，移项得，即，∴ D正确， 故选：D 6．如图，点D是线段上一点，点C是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点平分线段，熟练找到线段间的关系是解题的关键． 根据点D是线段上一点，得到、，再根据点C是线段的中点，得到，由点D不一定是线段的中点，所以不一定成立，据此逐项判断即可． 【详解】解： 点D是线段上一点 、 因此A、B不符合题意； 点C是线段的中点 因此C不符合题意； 点D不一定是线段的中点 不一定成立 因此D符合题意． 故选：D． 7．《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【详解】解：设井深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 8．如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的和差运算，方向角的含义，根据方向角的含义，结合角的和差运算逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为补角，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故B不符合题意； ∵以为边的角为：，，，，，，共6个， ∴C符合题意； ∵，，， ∴．故D不符合题意． 故选：C 9．现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”，它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如，明文是3，对应的密文是9．若收到的密文是2025，则通过解密，它对应的明文（明文是之间的数字）是（   ） A．8681 B．6469 C．6468 D．7578 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律，有理数的加减．根据“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”，找到密文是2025，各个数位对应的数字即可求解． 【详解】解：∵“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”， ， ， ， ． 故它对应的明文是6469． 故选：B． 10．如图，长方形的边长，．在长方形内，将一张边长为a和两张边长为b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为L，若要知道L的值，只要测量图中哪条线段的长（   ） A．a B．b C．x D．y 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减应用，根据平移的知识和周长的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的周长， 图2中阴影部分的周长， ． 故若要知道L的值，只要测量图中线段的长． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升记作，则下降记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示相反意义的量，上升为正，则下降为负即可得解，熟练掌握正负数的意义是解此题的关键． 【详解】解：若水位上升记作，则下降记作； 故答案为． 12．已知与互为相反数，那么 ． 【答案】 2 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 【详解】解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 13．如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解m和n，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴ ，且， 解得，， ∴ ， 故答案为：1． 14．一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是解决问题的关键．由正方体表面展开图的特征判断出对面，邻面，进而得出答案． 【详解】解：由前两个正方体所标注的数据可知， “1”的邻面有“2”，“3”，“4”，“5”， ∴“1”的对面是“6”， 再由第一个和第三个正方体所标注的数据可知， “5”的对面是“2”， 则“3”的对面是“4”， 则由第一个和第三个正方体数据的位置可知， “？”所表示的数“1”． 故答案为：1． 15．已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 16．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，解一元一次方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 18．如图，已知四个点A，B，C，D，按下列要求画图． (1)画直线； (2)画射线，交直线于点； (3)在线段上找一点P，使得最小，其依据是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)两点之间，线段最短． 【分析】本题考查射线，直线，线段，掌握定义、定理是解决问题的关键． （1）根据题目要求做出图形即可； （2）根据题目要求做出图形即可； （3）在线段上找一点P，使得最小，其依据是两点之间，线段最短． 【详解】（1） 解： （2）见（1） （3）在线段上找一点P，使得最小，其依据是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 19．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查新定义题型，理解新定义题型的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义计算即可得到的值； （2）根据新定义进行计算，解一元一次方程即可求得的值． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ， ， ． 20．已知，（其中，为常数，且表示系数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； (3)若，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减中无关型问题，非负数的性质； （1）去括号，合并同类项即可； （2）由不含三次项可得三次项系数为0，即可求出的值； （3）由非负数的性质可求出x、y的值，代入即可求值. 【详解】（1）解： ． （2）解：∵不含三次项， ∴三次项系数， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴原式． 21．点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)用“＞”或“＜”填空：____0，____0； (2)化简：____． (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的运算、数轴、相反数、倒数、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据数轴解题即可； （2）根据绝对值的意义进行解题； （3）根据绝对值的意义、相反数和倒数的定义解题即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，且，且， ∴，； 故答案为：，； （2）解：，， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，，，， ∴，， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，， ∴． 22．企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1) (2)方案一更优惠 (3)60 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答． （2）把分别代入，再比较结果，即可作答． （3）理解题意，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠； （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 23．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（）根据角的和差关系即可求解； （）先求出的度数，再根据角的和差关系即可求解； （）分两种情况分别画出图形，再根据角平分线的定义及角的和差关系即可求解； 本题考查了三角板中的角度运算问题，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （4）解：当三角板旋转到如图①位置时，直线平分， ∵， ∴， 当三角板旋转到如图②位置时，直线平分， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 24．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． （2）解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． （3）解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 25．【学习材料】 数轴上有A，B，C三点，作如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍距点”．例如，如图1所示，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，因为，，所以，所以点B是点A，C的“倍距点”． 【活学活用】 (1)如图2所示，点A表示数，点B表示数1，若，0，5这三个数所对应的点分别是，，，则其中是点A，B的“倍距点”的有哪一个？请依照例题说明理由； (2)如图3所示，点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点； ①若点P在点A的左侧，且P是点A，B的“倍距点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，且点P，A，B中有一个点恰好是其它两个点的“倍距点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)，理由见详解 (2)①点P表示的数为；②点P表示的数为 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． （1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①按照“倍距点”定义列出点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的、点为点的“倍距点”、点为点的“倍距点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“倍距点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“倍距点” ∵ ∴点不是点A，B的“倍距点” 故答案为：； （2）解：设点P在数轴上表示的数为 ①当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故点P表示的数为； ②（i）当点为点的“倍距点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“倍距点”时， 则，即： 解得： 或，即： 解得： （iii）当点为点的“倍距点”时， 则，即： 解得： 故点P表示的数为 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024七年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 3．我国三峡大坝是世界上规模最大的水电站，也是中国有史以来建设最大型的工程项目、最伟大的工程之一，2024年一季度，三峡枢纽通航安全有序，通过货运量万吨，客运量达万人次，创下2016年通航以来首季客运量新高．将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 5．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图，点D是线段上一点，点C是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 8．如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 9．现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”，它代表把明文换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如，明文是3，对应的密文是9．若收到的密文是2025，则通过解密，它对应的明文（明文是之间的数字）是（   ） A．8681 B．6469 C．6468 D．7578 10．如图，长方形的边长，．在长方形内，将一张边长为a和两张边长为b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为L，若要知道L的值，只要测量图中哪条线段的长（   ） A．a B．b C．x D．y 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升记作，则下降记作 ． 12．已知与互为相反数，那么 ． 13．如果单项式与是同类项，那么 ． 14．一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是 ． 15．已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 16．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1)计算： (2)解方程： 18．如图，已知四个点A，B，C，D，按下列要求画图． (1)画直线； (2)画射线，交直线于点； (3)在线段上找一点P，使得最小，其依据是__________________． 19．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如． (1)求的值； (2)若，求的值． 20．已知，（其中，为常数，且表示系数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； (3)若，，且，求的值． 21．点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b． (1)用“＞”或“＜”填空：____0，____0； (2)化简：____． (3)若，，c、d互为相反数，m、n互为倒数，求． 22．企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 23．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)_____（填“”、“”或“”）； (2)当时，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由； (4)将三角板绕点逆时针旋转一周，当直线平分时，的度数为_______（注：不写过程，直接写出结果，只填写小于平角的结果）． 24．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 25．【学习材料】 数轴上有A，B，C三点，作如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍距点”．例如，如图1所示，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，因为，，所以，所以点B是点A，C的“倍距点”． 【活学活用】 (1)如图2所示，点A表示数，点B表示数1，若，0，5这三个数所对应的点分别是，，，则其中是点A，B的“倍距点”的有哪一个？请依照例题说明理由； (2)如图3所示，点A表示数，点B表示数15，P为数轴上一个动点； ①若点P在点A的左侧，且P是点A，B的“倍距点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，且点P，A，B中有一个点恰好是其它两个点的“倍距点”，求此时点P表示的数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $