八年级数学上学期第三次月考（北师大版2024，高效培优·强化卷）

2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点关于x轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点关于x轴对称的点，掌握知识点是解题的关键． 关于x轴对称的点，x坐标不变，y坐标取相反数． 【详解】解：点对关于x轴对称的点是． 故选C． 2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程是指只含两个未知数，且含未知数的项的次数是1的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； B、项的次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； C、是分式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除运算．根据二次根式的性质以及二次根式的乘除运算，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 4．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．3 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 把代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入可得： ，解得：． 故选B． 5．如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D．2.3 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴．根据勾股定理求出，进而即可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． 以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示的实数是． 故选：B． 6．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图像过点 B．图像与y轴的交点坐标是 C．y随x的增大而增大 D．图像经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．将和分别代入解析式，即可判断A和B选项，根据一次函数图象与性质，即可判断C和D选项． 【详解】解：A、当时，， ∴一次函数的图象不经过点，选项A不符合题意； B、当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点为，选项B符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，选项C不符合题意； D、∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若点与点之间的距离是1，则x的值是 B．若，则点一定在第四象限 C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个 D．已知点，点，则轴 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中点的坐标特点进行判断即可． 【详解】解：A．若点与点之间的距离是1，则x的值是或，原说法错误； B．若，则，即点一定在第二象限，原说法错误； C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个，原说法正确； D．已知点，点，则轴，原说法错误； 故选：C． 8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何”题目大意是：甲、乙两人各带着若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键．根据题意，甲得到乙一半钱后共有50元，即；乙得到甲三分之二钱后共有50元，即，据此即可解答． 【详解】解：设甲、乙两人持钱的数量分别为，， 依题意得，， 故选：A． 9．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 10．、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一元一次方程的应用，从函数图象正确获取信息是解题关键．设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时，根据题意列方程，即可判断；再求出、间距离即可判断，设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等，列方程 ，即可判断，求出货车由到用的时间即可判断． 【详解】解：设客车的速度为千米时，则货车的速度为千米时， 由题意，得， 解得， 客车的速度为千米时，货车的速度为千米小时， 故正确； 货车2小时到达， 、间距离为千米， 则点的坐标为， 故正确； 客车9小时到达， 、间距离为千米， 设两车在客车出发后y小时相遇，则由图可知两车到距离相等， 则有， 解得， 此时距离为千米， 图中的纵坐标为180， 故正确． 货车由到用时为小时， 则货车一共行驶14小时， 点横坐标为14， 故错误； 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小： 2（填>，<或=）． 【答案】> 【分析】此题考查了实数的大小比较，通过比较 和 2 的平方的大小来判断． 【详解】解：因为 ，，且 ，所以 ． 故答案为 >． 12．已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而得到关于和的方程组，解出和的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 13．在中，，若，则斜边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，在直角三角形中，利用勾股定理求斜边长，再通过等面积法求斜边上的高． 【详解】解：在中，，， ∴ 的面积为：， 设斜边上的高的长为，则， ∴， 解得，， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数交点求方程组的解． 求出b的值，进而判断即可． 【详解】解：将代入得：， 即， ∵可化为，由图可知的解为， ∴关于，的方程组的解为． 故答案为：． 15．将，，，，…，按如图方式排列．若规定表示第排从左往右数第个数．若在，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，由题中规定，找出规律求解是解决问题的关键． 由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第排有个数，从而对于第排，若为奇数排从左到右最后一个数为；若为偶数排从左到右第一个数为；再由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】解：由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第排有个数， 对于第排，若为奇数排从左到右最后一个数为；若为偶数排从左到右第一个数为； ，且为奇数， 是第排从左往右数第个数，即， 则， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当时，如图， 在中，，， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵轴与轴互相垂直，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）解方程：   （2）计算：； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用加减消元法解答，即可求解； （2）先计算乘法，根据积的乘方公式逆用去括号，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为． （2） ． 18．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象性质． （1）利用待定系数法，将已知点坐标代入函数式得到方程组，解出系数即可得到函数表达式； （2）对于点在该函数图像上，将其坐标代入表达式解方程即可求出参数值． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为 （2）解：将点代入， 得： 解得： 19．已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，且直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，求出a的值，进而求出的值，即可得到答案； （2）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合第二象限横坐标为负，纵坐标为正，列出方程求出a的值，然后代入值计算即可． 【详解】（1）解：直线轴，的坐标为， 点的横坐标为3， ， ， ，即点的纵坐标为， 点的坐标为． （2）解：点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等， ， 解得， ． 20．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？ 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)一辆货车从处经过点到处的路程是 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用等知识． （1）利用勾股定理逆定理判断即可． （2）先根据三角形面积计算出，再根据勾股定理求出，再计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∵， ∴，， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ． 在中，， 一辆货车从处经过点到处的路程． 故一辆货车从处经过点到处的路程是． 21．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 【答案】(1)1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨，根据“用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨； （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车． 22．定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 23．项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤： ①取一桶桶装水，打开置于空气中； ②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； ③数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数/天 0 1 2 3 4 … 菌落总数/ 15 20 25 30 35 … 问题解决： (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线； (2)观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式； (3)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)7天 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则， ∴， ∴； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵桶装水菌落总数超过时就要停止饮用， ∴， ∴， ∴， 答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7天． 24．已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_________； ②该方程组的解为___________（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，计算即可得解； （3）由（1）可得，求出，结合无论取何值，代数式的值都是定值，即可得出，从而得解． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得：； （3）解：由（1）可得， ∴ ， ∵无论取何值，代数式的值都是定值， ∴， ∴． 25．例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； (1)直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； (2)若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 【答案】(1)①6，；② (2)见解析 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，弄懂定义是解题的关键． （1）将代入，求的值，将代入中，可得； 作于，则，由等积法可得，求出，得到点，将点代入中，求出的值即可求解析式； （2）由题意可得，，将点代入中，求得，则直线的解析式为：，设，求出，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接，证明，得到，可知轴． 【详解】（1）解：将代入， ， 将代入中， ， ， ， 故答案为：6，； ，， ， 作于， 点恰好为的关联点， ， ，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得， ； （2）证明：， ， 为的中点， ， 将点代入中，， 解得， 直线的解析式为：， 设， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接， ，， 绕点逆时针旋转至， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 轴． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第五章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．点关于x轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 2．下列四个方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．3 C．9 D．11 5．如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（   ） A．2 B． C． D．2.3 6．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图像过点 B．图像与y轴的交点坐标是 C．y随x的增大而增大 D．图像经过第一、二、三象限 7．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若点与点之间的距离是1，则x的值是 B．若，则点一定在第四象限 C．若点P到x轴和y轴的距离均为2，则符合条件的点P有4个 D．已知点，点，则轴 8．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问：甲、乙持钱各几何”题目大意是：甲、乙两人各带着若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 10．、两地相距630千米，客车、货车分别从、两地同时出发，匀速相向行驶．货车两小时可到达途中站，客车需9小时到达站．货车的速度是客车的，客、货车到站的距离分别为、（千米），它们与行驶时间（小时）之间的函数关系如图．下列说法错误的是（   ） A．客、货两车的速度分别为60千米小时，45千米小时 B．点的坐标为 C．函数、的图象相交于点，则点的纵坐标为180 D．点横坐标为12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小： 2（填>，<或=）． 12．已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ． 13．在中，，若，则斜边上的高的长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 15．将，，，，…，按如图方式排列．若规定表示第排从左往右数第个数．若在，则的值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）解方程：   （2）计算：； 18．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若点也在该函数图象上，求的值． 19．已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，且直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 20．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，且． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？ 21．某生态柑橘园现有柑橘，计划租用，两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用1辆型车和1辆型车一次可运柑橘；用4辆型车和3辆型车一次可运柑橘． (1)1辆型车和1辆型车满载时可一次分别运柑橘多少吨？ (2)若计划租用型货车辆，型货车辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载，请帮柑橘园设计租车方案（要求、型货车都要有）． 22．定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 23．项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤： ①取一桶桶装水，打开置于空气中； ②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； ③数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数/天 0 1 2 3 4 … 菌落总数/ 15 20 25 30 35 … 问题解决： (1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线； (2)观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式； (3)根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 24．已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_________； ②该方程组的解为___________（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 25．例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； (1)直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； (2)若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B B B C A B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．> 12． 13． 14． 15．1 16．或或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为．.........................3分 （2） ．.........................6分 18． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得： 解得： 所以一次函数的表达式为.........................3分 （2）解：将点代入， 得： 解得：.........................6分 19． 【详解】（1）解：直线轴，的坐标为， 点的横坐标为3， ， ， ，即点的纵坐标为， 点的坐标为．.........................3分 （2）解：点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等， ， 解得， ．.........................6分 20． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∵， ∴，， ∴是直角三角形．.........................3分 （2）解：∵， ． 在中，， 一辆货车从处经过点到处的路程． 故一辆货车从处经过点到处的路程是．.........................6分 21． 【详解】（1）解：设1辆型车满载时一次可运柑橘吨，1辆型车满载时一次可运柑橘吨， 由题意可得：， 解得：， ∴1辆型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆型车满载时一次可运柑橘2吨；.........................4分 （2）解：由题意可得：， ∴， ∵、均为正整数， ∴或或， 故共有3种租车方案，方案1：租用2辆型车，9辆型车；方案2：租用4辆型车，6辆型车；方案3：租用6辆型车，3辆型车．.........................8分 22． 【详解】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：．.........................2分 （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为．.........................5分 （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得．.........................8分 23． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； .........................2分 （2）解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则， ∴， ∴；.........................5分 （3）解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵桶装水菌落总数超过时就要停止饮用， ∴， ∴， ∴， 答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7天．.........................8分 24． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为；.........................4分 （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得：；.........................7分 （3）解：由（1）可得， ∴ ， ∵无论取何值，代数式的值都是定值， ∴， ∴．.........................12分 25． 【详解】（1）解：将代入， ， 将代入中， ， ， ， 故答案为：6，；.........................4分 ，， ， 作于， 点恰好为的关联点， ， ，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得， ；.........................8分 （2）证明：， ， 为的中点， ， 将点代入中，， 解得， 直线的解析式为：， 设， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接， ，， 绕点逆时针旋转至， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 轴．.........................12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $