九年级数学上学期第三次月考（北师大版，高效培优·强化卷）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 答案 B C D B C A B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.1 12.18元 13.13 14.4.5 15.x2-31x+40=0 16.3y5或22或V万+5 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】解：(1)3x2+6x-4=0, 4 则x2+2x+1=4+1, 3 则x+1=3 解得x=1+②， 3 3 ;3分 (2):∠ACD=∠B,∠A=∠A, △ACD∽△ABC, 则AD、AC AC AB 将AD=4,AB=9代入得- .AC2=36, 由于AC>0,则AC=6.6分 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18. 【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为y=人k≠0， x-2 :当x=1时，y=-3, k -3= 1-2’ k=3, 与的医数关系式为=弓：3分 3 -=-2 代、、在y三2中，222 .6分 19. 【详解】(1)解：中心对称图形的卡片是C,所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的 餐率为好 1 故答案为： 4·2分 (2)解：轴对称图形的卡片有B和C, 根据题意画树状图如下： 开始 B 6 CDACDA RD个 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果， 则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为2=. 126·6分 20. 【详解】(1)如图1，作射线MA,C,两线相交于点O,则点O就是路灯的位置； 作射线OE交直线FM于点G,则FG就是小明位于F处时，在路灯灯光下的影子. O A. C E …2分 77 7777 777 B ND 图1 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，过点O作0H⊥MG于点H, 设DH=xm,则MH=(3.6+x)m,NH=(0.6+x)m, :AB∥OH, △ABM∽△OHM, MB AB 7 MH OH 同理D、CD NH OH' AB=CD, MB ND MH NH' 即，1.6=0.6 3.6+x0.6+x 解得x=1.2, .FH=2-1.2=0.8m,NH=0.6+1.2=1.8m, 设FG=ym,则HG=(0.8+y)m, 同理可知FC-EF-CD_ND HG OHOH NH' 即。y=0.6 0.8+y1.8 解得y=0.4, 所以小明位于F处的影长为0.4m. 0 C 6分 B 图2 21. 【详解】(1)解：设年平均增长率为， 则6001+r)2=726, 解得：方=合刻，5=10%， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为10%；4分 (2)解：设降价x元， 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 售价：20-x元， 销量：200+25x杯， 单杯利润：售价-成本=(20-x)-5=15-x元， 总利润：利润=(15-x(200+25x元， 则(15-x)(200+25x)=3250, 解得：x=2,x2=5, 售价20-x元： 当x=2时，售价18元； 当x=5时，售价15元， 当每杯售价定为15元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的利润 额。8分 22. 【详解】解：（1)将反比例函数y=8与直线1：y=-2x+10联立得 -8 y=-2x+10 8-2x+10, x2-5x+4=0, x=1,x2=4, :另一个交点坐标为(4,2)， :AB为xm,BC为ym, AB=4,BC=2. 故答案为：(4,2)；4；2；3分 (2)不能围出； 当1=6米时，直线的解析式为y=-2x+6, 当x=0时，y=6;当y=0时，x=3; 描点(0,6)，3,0， 直线y=-2x+6的图象，如图中所示： 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :与函数y=8图象没有交点， 不能围出面积为8m的矩形.6分 (x>0) (3)令y=-2x+1=8 整理得，2x2-x+8=0, :一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， :△=(-1)2-4×2×8=0， 1>0, 1=8 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，1的值为8.8分 23. 【详解】(1)解：根据题意可知，图中线段AC的投影是AD,线段BC的投影是BD, 故答案为：AD、BD; (2)证明：：CD⊥AB, .∠ADC=90°， .∠ADC=∠ACB, :∠BAC=∠CAD, .△ABCn△ACD, ..AC_AB AD AC AC2=AD×AB;2分 (3)①证明：：四边形ABCD是正方形， AC⊥BD,∠BCD=90°， .BC2 BO.BD, :CF⊥BE, 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC2=BF.BE, BO·BD=BF·BE, .BO BF BE BD' :∠OBF=∠EBD, △B0Fn△BED;5分 ②解：：正方形ABCD的边长为15， :.BC=CD=15,OB=-BD, 在RtaBCD中，BD=√BC2+CD2=V1S2+152=15V2, 8o=15 2 DE=CE, .DE-CE=1CD=15 2 2 在Rt△BCE中，BE=VBC2+CE2 :△BOFn△BED, BO OF BE DE 15V215 OF=B0.DE2X2_3 BE 15V5 2 2 0 E 8分 C 24. 【详解】(1)解：：点D(2,3)在反比例函数y=m(x>0)的图象上， 3=m , .m=3×2=6, 6 .该反比例函数的表达式为y=巴(x>0).…4分 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：：四边形OABC是矩形， .A0=BC,AB=0C,∠0CB=∠A0C=90°， 点D2,3在AB上， A0=BC=3, 设B(2n,3), .OF=BF, 点F是OB的中点， 0+2n 0+33 ..XE= 2 -=n,yF= 22' :点F在反比例函数y=6(x>0)的图象上， .36 ∴n=4, .2n=4×2=8, B(8,3), :点E在BC上，∠OCB=90°， .xE=8, :点E在反比例函数y=6(x>0)的图象上， 63 yE-84 :点E的坐标为84 3 8分 (3)证明：设直线OB的解析式为y=c, :四边形OABC是矩形，点D(2,3)在AB上， yg=3, 3 :.xp=k' :点E在BC上，∠OCB=90°， 3 :XB=k 6 :点E在反比例函数y=(x>O)的图象上， 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6=2k k :DGly轴，D(2,3), .xG=2, 点G在OB上， i.ya=2k, ∴.yE=yG, :四边形OGEC为梯形， =3-2x2×-2k,=-2+》2kx6-2, S2-S,=(6-2k)-(3-2k)=3, S2-S1为定值.12分 25. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是菱形， .AB=AD,∠B=∠D, 又：AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ·LAEB=LAFD=90°， 在AABE与△ADF中， ∠B=∠D ∠AEB=∠AFD, AB=AD :△ABE≌△ADF(AAS, ·AE=AF;4分 (2)证明：连接AC, A D F :四边形ABCD为菱形， B E 图2 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB=AD=CD=BC,∠B=∠D=60°， :ABC和△ACD均为等边三角形， :AC=AB,∠ACD=60°=∠B=∠BAC, :∠EAF=∠B, ·∠EAF=∠BAC, ·LBAE=∠CAF, ·△BAE≌△CAF(ASA), ·AF=AE, :AD∥BC, .∠DAF=∠H, :∠D=∠B=∠EAF, ·△EAH∽△FDA, …点职 AE·AF=DF·EH, AE2=DF,EH;8分 (3)解：在BC上取点E,使∠EAF=60°，连接EF,AC, A D M F 图3 由(2)知△AEF为等边三角形，△BAE≌aCAF, :BE =CF, BC=CD, :EC DF, :DM∥BC, BF CF BE FM=DF-EC' 斯能 ·LFBE=LMBC, ·△FBEn△MBC, 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BFE=LBMC, ·EF∥CM, ·∠ANC=∠AFE=60°， ·∠ANC=∠ACF=60°， ·△ACN∽aAFC, ·AC2=AF,AN, 设FN=1,则AF=n,AN=n+1, ·AC=Vn(n+1), :CF_AC n(n+1) 12分 CN AN n+1 10/10 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 6．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．在和中，已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 9．如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的周长为，则的周长为（   ） 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4， A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 12．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为 ． 13．一个不透明的袋子中装有黑球和白球共26个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有150次，由此估计袋子中白球的个数为 个． 14．如图，点E、F分别在直线上，，如果，，，那么的长为 ． 15．学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是 ． 16．如图，在边长为8的正方形中，，G是对角线上一点， 点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）解方程：； （2）如图，点在的边上，，求的长． 18．若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 19．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 20．如图，电线杆上有盏路灯，小明从点出发，沿直线运动，当他运动2m到达点处时（即），测得影长，再前进2m到达点处时（即），测得影长．（图中线段、、表示小明的身高，且、、均与垂直） (1)请画出路灯的位置和小明位于处时，在路灯灯光下的影子； (2)求小明位于处的影长． 21．广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． (1)求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； (2)桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 22．为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 24．如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 25．综合与实践 【问题背景】 菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断的意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动． 【基础训练】 (1)如图1．在菱形中，于点，于点．求证：； 【类比迁移】 (2)如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段．根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，四条线段成比例，故本选项符合题意； C、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．有下列函数：①：②；③；④；⑤；⑥是的反比例函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例函数或，解答即可． 【详解】解：①是反比例函数； ②不是反比例函数； ③是反比例函数； ④是反比例函数； ⑤不是反比例函数； ⑥不是反比例函数； 故是的反比例函数的有3个， 故选：C． 3．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图． 根据三视图进行求解即可． 【详解】解：A.该选项为几何体的正视图，不符合题意； B. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； C. 该选项不是几何体的俯视图，不符合题意； D. 该选项为几何体的俯视图，符合题意； 故选：D． 4．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，平分， ∴； 故选B． 5．如图1，边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 6．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算． 【详解】∵ a， b是方程的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 7．在和中，已知，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；根据“两个三角形三边成比例”可知；然后根据“相似三角形面积比等于相似比的平方”可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且相似三角形面积比等于相似比的平方， ∴， ∴； 故选A． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有两个不相等的实数根需满足判别式大于零。结合两者求解k的取值范围。 【详解】解：∵方程 是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴且， 即， ∴，即 ， ∴ 且 。 故选：B． 9．如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的周长为，则的周长为（   ） 如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4， A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似，利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题．解题的关键是理解位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为，， ∴，， ∴与的周长之比为， ∵的周长为， ∴的周长为． 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，涉及了勾股定理，求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质等．设点B的坐标为，则，点，从而得到，再由勾股定理可得，可判定A；当时， ，可判定B；过点F作于点G，则，根据，可得，，从而得到点，进而得到，可判断C；若为边长1的正方形，可得，可判断D． 【详解】解：如图， 设点B的坐标为，则， ∵四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点， ∴点， ∴， ∴， ∴， 当，即时，k越小，的长越大，故A选项错误； 当时， ，， ∴ ， 即的大小与有关，不是定值，故B选项错误； ∵矩形面积为16， ∴， 如图，过点F作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∴点， 把点代入，得： ，故C选项正确； ∵为边长1的正方形， ∴， ∴， 此时当时，取得最小值，为0，故D选项错误． 故选：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了反比例函数的性质，将点A坐标代入反比例函数解析式求出比例系数k，再代入点B横坐标求纵坐标a． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． ∵点在函数图象上， ∴将代入解析式，得． 故答案为：1． 12．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】此题考查由三视图判断几何体，掌握柱体的侧面都是长方形是解决问题的关键．根据主视图和左视图是长方形，俯视图是圆环，可得到此几何体为空心圆柱；再用圆环的面积乘高，即为体积． 【详解】解：由三视图可知这个立体图形为空心圆柱， 所以该几何体的体积， 故答案为∶ ． 13．一个不透明的袋子中装有黑球和白球共26个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有150次，由此估计袋子中白球的个数为 个． 【答案】13 【分析】题目主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，利用概率公式列出方程即可求解． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，摸出白球的频率为， ∴， 解得， 故估计袋子中白球有13个， 故答案为：13． 14．如图，点E、F分别在直线上，，如果，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并准确找出对应线段的比例关系． 利用平行线分线段成比例定理，找出线段之间的比例关系，进而计算出的长度． 【详解】解：， ． 已知，则． 又，将代入， ． 解得． 15．学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形，再根据“种植面积达到”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地，小道的宽为， ∴除小路的其余部分可合成长为，宽为的矩形， 由题意可得：， 化为一般式为：， 故答案为：． 16．如图，在边长为8的正方形中，，G是对角线上一点， 点P是上的动点，连接，当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或 或 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，分类讨论等知识，正确分类是解题的关键；由正方形的性质及勾股定理可求得的长，再分；；三种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ， ∴， ， ，． ①如图1，当时，过点 P作 于点 H， ， ， ， ； ②如图2，当 时，过点 E作 于点 M， ， ∴， ， ； ③如图3，当时，过点 F 作 于点 N， ， ∴， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）解方程：； （2）如图，点在的边上，，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程、相似三角形求线段长，熟练掌握一元二次方程的解法、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）先判定，再由相似比得到，将代入得求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 则， ， 则或， 解得，； （2）， ， 则， 将代入得， ， 由于，则． 18．若与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中求出y的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：在中，当时，． 19．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2025蛇年新年，小慧向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到的卡片上的图案是中心对称图形的概率为______； (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式、中心对称图形、轴对称图形等知识点，掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键． （1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案； （2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：中心对称图形的卡片是C，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为． 故答案为：． （2）解：轴对称图形的卡片有B和C， 根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有2种结果， 则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为． 20．如图，电线杆上有盏路灯，小明从点出发，沿直线运动，当他运动2m到达点处时（即），测得影长，再前进2m到达点处时（即），测得影长．（图中线段、、表示小明的身高，且、、均与垂直） (1)请画出路灯的位置和小明位于处时，在路灯灯光下的影子； (2)求小明位于处的影长． 【答案】(1)见解析 (2)0.4m 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，将实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的判定与性质列方程求解是解答本题的关键． （1）根据中心投影的定义，连接，并延长，交点即为点O，连接并延长，交直线于点G，即为所求； （2）过点O作于点H，先证明和，得出，，从而得到，设，列方程求解得出的长，同理可得，进一步列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）如图1，作射线，，两线相交于点O，则点O就是路灯的位置； 作射线交直线于点G，则就是小明位于处时，在路灯灯光下的影子． （2）如图2，过点O作于点H， 设，则，， ， ， ， 同理， ， ， 即， 解得， ，， 设，则， 同理可知， 即， 解得， 所以小明位于F处的影长为． 21．广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． (1)求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； (2)桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)， 营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设年平均增长率为r，根据题意，列出一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据题意，列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设年平均增长率为r， 则， 解得：(舍去)，， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； （2）解：设降价x元， 售价：元， 销量：杯， 单杯利润：售价成本元， 总利润：利润元， 则， 解得：，， 售价元： 当时，售价元； 当时，售价元， 当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额． 22．为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）的值为8． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，一次函数和二次函数图象的交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）联立得，整理得，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得 ， ， ， ，， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）不能围出； 当米时，直线的解析式为， 当时，；当时，； 描点，， 直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）令， 整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， ， ， ． 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8． 23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 【答案】(1)、； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）①利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明； ②根据正方形的性质和勾股定理，求得，，再利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：根据题意可知，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：、； （2）证明：， ， ， ， ， ， ； （3）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②解：正方形的边长为15， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ．    【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 24．如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 【答案】(1)该反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，矩形的性质，反比例函数与几何综合． （1）把代入，可得，即可得反比例函数的表达式； （2）由矩形的性质，结合点，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，即可得点的坐标； （3）设直线的解析式为，由矩形的性质，反比例函数的解析式，结合已知可得，，，可得四边形为梯形，代入对应的面积公式，可得，，计算，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点在上， ∴， 设， ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． （3）证明：设直线的解析式为， ∵四边形是矩形，点在上， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴，， ∴， ∴为定值． 25．综合与实践 【问题背景】 菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断的意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动． 【基础训练】 (1)如图1．在菱形中，于点，于点．求证：； 【类比迁移】 (2)如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）欲证明，只需要证得即可； （2）连接，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，由全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）在上取点，使，连接，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， 又于点，于点， ， 在与中， ， ， ； （2）证明：连接， 四边形为菱形， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在上取点，使，连接，， 由（2）知为等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $