24.7.2 圆锥的侧面展开图 课件 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件聚焦圆锥的侧面展开图，系统梳理母线、高、底面半径的数量关系，通过图片引入结合观察思考环节，从圆锥结构元素到侧面展开图（扇形）的转化，再到侧面积公式推导，构建“概念理解—关系探究—应用计算”的学习支架。 其亮点在于以数学眼光引导学生发现扇形弧长与底面周长的联系，通过“想一想”“练一练”发展空间观念，结合烟囱帽、蒙古包等实例培养数学思维和应用意识。例题设计由浅入深，当堂练习覆盖基础与综合应用，帮助学生提升抽象能力和推理能力，教师使用可高效落实教学目标，激发学生探究兴趣。

第 1 页：封面页 标题：24.7.2 圆锥的面积 副标题：人教版初中数学九年级上册 | 转化・推导・关联・应用 配图：左侧为 “圆锥实物图（标注母线、高、底面半径）”，右侧为 “圆锥侧面展开动态示意图（扇形→圆锥）” 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标与知识衔接 1. 前置回顾（24.7.1 节核心关联点） 扇形核心公式：面积\(S_{\text{æ��å½¢}}=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)为弧长，\(R\)为扇形半径）； 实践铺垫：上节课作业中 “扇形围成圆锥” 的操作，初步感知两者的转化关系； 基础度量：圆的周长\(C=2\pi r\)（将用于圆锥底面周长计算）。 2. 本课时学习目标 知识目标：掌握圆锥的母线、高、底面半径等概念，理解侧面积与全面积公式的推导逻辑，能灵活运用公式\(S_{\text{侧}}=\pi rl\)和\(S_{\text{å�¨}}=\pi r(l+r)\)解决计算问题。 能力目标：通过展开图推导培养 “立体问题平面化” 的转化能力，通过多量互求提升几何建模与运算能力。 素养目标：深化数形结合思想，体会平面图形与立体图形的度量关联，养成精准辨析概念、规范运算的习惯。 第 3 页：情境导入・生活中的圆锥面积需求 现实场景中的度量需求（配图）： 工艺制作：制作圆锥形漏斗需计算铁皮用料（侧面积 + 底面面积），确保材料精准； 建筑施工：圆锥形屋顶的瓦片铺设面积测算，需统计侧面积大小； 食品加工：圆锥形冰淇淋纸托的表面积设计，影响包装成本与容量匹配； 舞台设计：圆锥形灯罩的布料裁剪，需根据侧面积确定布料尺寸。 思考提问：这些场景中需要计算的 “圆锥表面面积”，如何通过我们熟悉的平面图形（如扇形）来量化？圆锥的侧面展开后是什么形状？ 第 4 页：核心模块 1・圆锥的关键概念与性质 1. 圆锥的定义与构成（配标注图） 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周形成的曲面（侧面）和平面（底面）围成的几何体； 核心元素： 底面：圆形，半径记为\(r\)（对应旋转轴的对边旋转形成）； 顶点：旋转轴的端点，记为\(S\)； 高：顶点到底面圆心的距离，记为\(h\)（即旋转轴的长度）； 母线：顶点与底面圆周上任意一点的连线，长度均相等，记为\(l\)（即直角三角形的斜边）。 2. 圆锥的重要性质 母线长、高、底面半径的勾股关系：\(l^2 = h^2 + r^2\)（轴截面为等腰三角形，可通过勾股定理关联三量）； 平行于底面的截面是圆，且半径与底面半径成比例； 侧面展开图为扇形，扇形的半径 = 圆锥母线长\(l\)，扇形的弧长 = 圆锥底面周长\(2\pi r\)。 第 5 页：核心模块 2・圆锥侧面积与全面积公式推导 1. 推导逻辑：立体→平面的转化 关键突破：圆锥侧面是曲面，无法直接度量，通过 “剪开母线展开为扇形”，将曲面面积转化为平面扇形面积计算； 推导依据（配展开对比图）： 扇形的半径 = 圆锥的母线长\(l\)； 扇形的弧长 = 圆锥底面的周长\(C = 2\pi r\)。 2. 公式推导过程 侧面积公式推导： 由扇形面积公式\(S_{\text{æ��å½¢}} = \frac{1}{2} \times \text{弧é�¿} \times \text{å��å¾�}\)，代入圆锥参数得：\(S_{\text{侧}} = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi rl\)； 全面积公式推导： 全面积 = 侧面积 + 底面面积（圆形面积），即：\(S_{\text{å�¨}} = S_{\text{侧}} + S_{\text{åº�}} = \pi rl + \pi r^2 = \pi r(l + r)\)。 3. 公式注解 \(S_{\text{侧}}\)：圆锥侧面积（仅曲面部分，无单位）； \(S_{\text{å�¨}}\)：圆锥全面积（侧面积 + 底面，无单位）； \(r\)：底面半径（带长度单位），\(l\)：母线长（带长度单位），两者需保持单位一致。 第 6 页：核心模块 3・展开图圆心角与三量互求 1. 展开图扇形圆心角公式推导 推导基础：扇形弧长 = 圆锥底面周长，即\(\frac{n\pi l}{180} = 2\pi r\)（\(n\)为扇形圆心角）； 化简得：\(n = 360^\circ \times \frac{r}{l}\)； 意义：建立圆锥底面半径\(r\)、母线长\(l\)与展开图圆心角\(n\)的关联，三量知二求一。 2. 多量互求示例（\(r=3cm\)，\(h=4cm\)） 已知条件 求解量 计算过程 \(r\)，\(h\) 母线\(l\) 由\(l^2=3^2+4^2=25\)得\(l=5cm\) \(r\)，\(l\) 侧面积\(S_{\text{侧}}\) \(S_{\text{侧}}=\pi\times3\times5=15\pi\approx47.1cm^2\) \(r\)，\(l\) 展开图圆心角\(n\) \(n=360^\circ\times\frac{3}{5}=216^\circ\) \(l\)，\(n=180^\circ\) 底面半径\(r\) 由\(180^\circ=360^\circ\times\frac{r}{5}\)得\(r=2.5cm\) 第 7 页：典例精讲・公式的综合应用 例题 1：基础公式应用 一个圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 5cm，求它的侧面积和全面积（结果保留\(\pi\)）。 解答步骤： 明确已知量：\(r=2cm\)，\(l=5cm\)； 计算侧面积：\(S_{\text{侧}}=\pi\times2\times5=10\pi cm^2\)； 计算全面积：\(S_{\text{å�¨}}=10\pi + \pi\times2^2=14\pi cm^2\)； 关键提醒：全面积需叠加底面圆形面积，勿漏算\(\pi r^2\)部分。 例题 2：实际场景与勾股定理结合 用铁皮制作一个圆锥形漏斗，漏斗的高为 8cm，底面直径为 12cm，求制作这个漏斗至少需要多少铁皮（结果保留整数）。 解答步骤： 拆解需求：求铁皮面积即圆锥侧面积（漏斗无底面）； 求底面半径：\(r=\frac{12}{2}=6cm\)； 求母线长：由\(l^2=8^2+6^2=100\)得\(l=10cm\)； 计算侧面积：\(S_{\text{侧}}=\pi\times6\times10=60\pi\approx188cm^2\)； 方法提炼：已知高和底面直径时，需先通过勾股定理求母线长，再用侧面积公式计算。 第 8 页：易错警示与解题技巧 1. 常见易错点剖析 概念混淆误区： 误将底面半径\(r\)当作母线长\(l\)代入公式（如算侧面积时用\(\pi l^2\)）； 混淆展开图圆心角与圆锥顶角（圆心角是扇形角度，顶角是轴截面等腰三角形的顶角）； 全面积计算漏加底面面积或多算侧面面积。 公式应用误区： 已知高和底面半径时，未求母线长直接用侧面积公式； 单位不统一（如\(r=2cm\)，\(l=0.1m\)未转化单位直接计算）。 2. 深化解题技巧 “四量定位” 法：遇到圆锥面积问题，先明确已知量（\(r\)、\(l\)、\(h\)、\(n\)中的两个），通过勾股定理（\(l^2=h^2+r^2\)）或圆心角公式（\(n=360^\circ\times\frac{r}{l}\)）衔接未知量，再选对应面积公式； “场景辨析” 法：判断实际问题需计算侧面积还是全面积（如灯罩、漏斗无底面，算侧面积；容器、模型有底面，算全面积）； “特殊值验证” 法：若展开图为半圆（\(n=180^\circ\)），则\(l=2r\)，轴截面为等边三角形（底角 60°），可快速验证计算结果。 第 9 页：课堂练习・分层巩固 基础题： （1）圆锥底面半径为 4cm，母线长为 5cm，则侧面积为____cm²，全面积为____cm²。（答案：20π，36π） （2）圆锥高为 3cm，母线长为 5cm，则底面半径为____cm，展开图圆心角为____°。（答案：4，288，提示：由\(r=4\)得\(n=360^\circ\times\frac{4}{5}=288^\circ\)） 中档题： 一个圆锥侧面展开图是半径为 10cm 的半圆，求该圆锥的底面半径和高。（答案：\(r=5cm\)，\(h=5\sqrt{3}cm\)，提示：半圆弧长 = 底面周长，即\(\pi\times10=2\pi r\)得\(r=5\)，再求高） 提升题： 用一个圆心角为 120°、半径为 6cm 的扇形围成一个圆锥，求圆锥的侧面积和高。（答案：侧面积 = 12π cm²，高 = 4√2 cm，提示：侧面积 = 扇形面积\(\frac{120\pi\times6^2}{360}=12\pi\)，由\(120^\circ=360^\circ\times\frac{r}{6}\)得\(r=2\)，再求高） 第 10 页：知识拓展・圆锥与扇形的逆向转化 逆向问题：已知扇形参数，求围成圆锥的相关量（如练习 3），核心是 “扇形弧长 = 圆锥底面周长”“扇形半径 = 圆锥母线长”； 面积关联：扇形面积 = 圆锥侧面积（转化过程中面积不变），可直接用扇形面积公式求圆锥侧面积，无需重复计算； 实践验证：用半径 10cm、圆心角 90° 的扇形（上节课作业）围成圆锥，底面周长 = 扇形弧长\(\frac{90\pi\times10}{180}=5\pi\)，故底面半径\(r=\frac{5\pi}{2\pi}=2.5cm\)，与实际测量结果一致。 第 11 页：课堂小结与作业布置 1. 核心知识梳理 圆锥关键概念：母线\(l\)、底面半径\(r\)、高\(h\)，满足\(l^2=h^2+r^2\)； 面积公式：侧面积\(S_{\text{侧}}=\pi rl\)，全面积\(S_{\text{å�¨}}=\pi r(l+r)\)； 转化关系：扇形（半径\(l\)、弧长\(2\pi r\)）⇌圆锥（母线\(l\)、底面半径\(r\)），圆心角\(n=360^\circ\times\frac{r}{l}\)； 解题思想：立体问题平面化、未知量勾股衔接。 2. 作业布置 基础作业：教材习题 24.7 第 7、9、11 题（圆锥面积基本计算与实际应用）； 拓展作业：测量家中圆锥形物体（如漏斗、圣诞帽）的高和底面直径，计算其侧面积和全面积，写出步骤； 实践作业：用半径 12cm 的圆形纸片剪一个扇形，围成底面半径 3cm 的圆锥，计算需剪掉的扇形圆心角大小。 沪科版数学九年级下册 24.7.2 圆锥的侧面展开图 第24章　圆 图片引入 与圆锥的侧面展开图相关的计算 顶点 母线 底面半径 侧面 高 圆锥的形成 观察与思考 圆锥的高 母线 S A O B r 我们把圆锥的顶点 S 和底面圆上任一点的连线 (如SA，SB 等) 叫做圆锥的母线． 圆锥的母线 圆锥有无数条母线，它们都相等． 圆锥的高 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 知识要点 重要数量关系 如果用 r 表示圆锥底面的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r、h、l 之间数量关系是： r2 + h2 = 2 h O r 根据下列条件求值（其中 r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高、母线长）. (1) 若 l = 2，r =1，则 h =_______. (2) 若 h = 3，r = 4，则 l =_______. (3) 若 l = 10，h = 8，则 r =_______. 5 6 练一练 h O r l O r 1. 圆锥的侧面展开图是什么图形？ 扇形 想一想： 2. 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到 一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么 关系？ 3. 圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥 中的什么线段长相等？ 相等 母线 l o 侧面 展开图 l r 其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 l 侧面展开图扇形的弧长 = 底 面周长 圆锥的侧面积计算公式 知识要点 例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°、弧长为 20π 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长. 解：设该圆锥的底面的半径为 r，母线长为 a，则 解得 r = 10. ∴ a = 30. 又 典例精析 例2 如图是圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为 80 cm，母线为 50 cm. 在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积. 解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图所示. 设该扇形的面积为 S. 由弧长的计算方法，可得 α O h r l α O h r l 答：该侧面展开图的面积为 2000π cm2. 例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 35 m2，高为 3.5 m，外围高为 1.5 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到 1 m2）？ 解：如图是蒙古包的示意图． 根据题意，下面圆柱的底面积为 35 m2，高为 1.5 m；上面圆锥的高为 3.5－1.5 = 2(m). 圆柱的底面积半径为 圆锥的母线长为 侧面积为 2π×3.34×1.5 ≈ 31.46 (m2)， 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 20×(31.46 + 40.81) ≈ 1446 (m2)． 答：至少需要 1446 m2 的毛毡. 如图所示的扇形中，半径 R = 10，圆心角 θ = 144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面. (1) 这个圆锥的底面半径 r = ； (2) 这个圆锥的高 h = . θ R = 10 4 练一练 A O r B C 当堂练习 1. 圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，则这个圆 锥侧面展开图扇形的圆心角度数是_____． 2. 一个扇形，半径为 30 cm，圆心角为 120°，用它做成 一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 . 3. 已知圆锥的底面的半径为 3 cm，高为 4 cm，则它的 侧面积是 ，全面积是 ． 180° 10 cm 15π cm2 24π cm2 4.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角 扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积； A B C ① ② ③ O 解：如图，连接 BC，则 BC = 20. ∵∠BAC = 90°，BO = 10，AB = AC， ∴ S扇形= ∴ AB = AC = （2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求 这个圆锥的底面圆的半径. 解：圆锥侧面展开图的弧长为 ∵ A B C ① ② ③ O （3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底 面？请说明理由． 解：延长 AO 交扇形于点 E，交 ⊙O 于点 F， 则 EF = ∵ 圆锥的底面直径为 ∴ 不能从最大的余料③中剪出一个 圆做该圆锥的底面. A B C ① ② ③ O E F 1．若圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，则圆锥的侧面积是(　　) A．30π cm2 　 　　B．48π cm2 C．60π cm2 　 　　D．80π cm2 B 20 2．[2023·东营]如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是(　　) A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 A 21 C 22 4．数学活动课上老师请同学们分组制作圆锥，并请不同小组同学根据已知数据求解相关量．如已知1组制作的圆锥母线长为60 cm，底面圆的半径为15 cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是(　　) A．90° B．15° C．96° D．180° A 23 B 24 25 【答案】A 27 8．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝a，BC＝b，且a>b，将△ABC 绕边BC所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为S甲，S乙，则S甲 , S乙的大小关系为S甲________S乙．(选填“>”“<”或“＝”) ＞ 30 9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为________． 6 cm 32 10. 蒙古包可以近似地看作由一个圆柱和一个圆锥组成．其中，底面圆半径为3 m，圆锥高为2 m，圆柱高为3 m，门的高和宽分别为2 m和1 m，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛毡(接缝忽略不计)，那么所需要羊毛毡的面积为_____________________． 34 r2 + h2 = l2 S圆锥侧面 = πrl 圆锥的高 母线 r S A O B h l o 侧面 展开图 r 底面 ①其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 l ②侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长 重要图形 重要结论 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 3．[2023·湘潭]如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为(　　) A．4π B．6π C．8π D．16π 5．若一个圆锥的主视图是一个腰长为6，底角为α的等腰三角形，且cos α＝，则圆锥的全面积是(　　) A．9π B．16π C．27π D．36π 【点拨】∵圆锥的主视图是一个腰长为6， 底角为α的等腰三角形，∴圆锥的母线长为6. ∵cosα＝，∴圆锥的底面半径为2.∴圆锥的全面积＝ πrl＋πr2＝π×2×6＋π×22＝16π.故选B. 6．[2024·武汉一模]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图)，米堆底 部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个 米堆遮挡的墙面面积为(　　) A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D．45π平方尺 【点拨】设圆锥的底面半径为r尺， 根据题意，得×2πr＝8，解得r＝， ∴这个米堆遮挡的墙面面积为2×××5＝(平方尺). 故选A. 7．[2024·烟台]如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ________． 【点拨】过点A作AM⊥BF，垂足为M，则BM＝FM. ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝∠E＝∠AFE＝＝120°， AB＝AF＝EF＝DE＝6. ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFE＝＝30°. ∴∠BFD＝120°－30°－30°＝60°. 在Rt△ABM中，AB＝6，∠ABM＝30°， ∴BM＝AB＝3.∴BF＝2BM＝6. 设这个圆锥的底面半径为r，由题意可得， 2πr＝，解得r＝. 【点拨】在Rt△ABC中，AC＝. ∵a＞b，∴a－b＞0. ∴S甲－S乙＝－ ＝πa2－πb2＋πa·－πb· ＝π(a－b)(a＋b)＋π(a－b) ＝π(a－b)＞0，∴S甲＞S乙. 【点拨】设圆锥的底面的半径为r cm，则DE＝2r cm.∴AB＝AE＝(9－2r) cm.根据题意，得 ＝2πr，解得r＝. ∴AB＝9－2r＝9－2×＝6 (cm). m2 $