24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系 课件 2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

该初中数学课件围绕圆心角、弧、弦、弦心距间关系展开，以飞镖靶、闹钟等生活实例情境导入，结合圆的旋转对称性引出圆心角概念，通过观察思考推导关系定理及推论，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活现象激发兴趣，通过“观察与思考”“练一练”培养推理意识（数学思维），典例精析（如等边三角形顶点在圆上的证明）与变式题促进量的灵活转化（数学语言）。采用情境创设、问题驱动的教学方法，要点归纳清晰，助力学生发展几何直观与推理能力，也为教师提供系统教学资源和分层练习设计。

第 1 页：封面页 标题：24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导・关系辨析・综合应用 配图：左侧为 “四组量对等” 示意图（⊙O 中，∠AOB=∠COD，标注 AB=CD、⌒AB=⌒CD、OE=OF，E、F 为弦心距），右侧为 “旋转验证” 图示（将△AOB 绕 O 旋转与△COD 重合） 落款：授课教师 / 日期 第 2 页：学习目标 知识目标：理解圆心角、弦心距的定义，掌握 “同圆或等圆中，圆心角相等→所对的弧相等→所对的弦相等→所对的弦心距相等” 的定理及逆定理，明确 “同圆或等圆” 的前提条件。 能力目标：能运用四组量的对等关系解决 “证明弧相等、弦相等、角度相等” 等问题，通过旋转验证培养逻辑推理与空间想象能力，提升几何综合分析能力。 素养目标：体会 “圆的旋转对称性” 在定理推导中的作用，感受几何量之间的内在关联，培养数形结合与分类讨论思想，规范几何证明的语言表达。 第 3 页：情境导入・圆的旋转对称性与量的对等 复习回顾： 圆是中心对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性），这种性质会导致圆中哪些量之间存在对等关系？ 动手操作（配图）： 画⊙O，作两个相等的圆心角∠AOB 和∠COD（∠AOB=∠COD）； 连接 AB、CD，作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F（OE、OF 为弦心距）； 将△AOB 绕圆心 O 旋转，使 OA 与 OC 重合，观察 OB 是否与 OD 重合，AB 是否与 CD 重合，OE 是否与 OF 重合。 观察结论： 旋转后△AOB 与△COD 完全重合，故 AB=CD、⌒AB=⌒CD、OE=OF，即 “相等的圆心角对应相等的弦、弧、弦心距”。 思考提问： 反过来，若 “弦相等”“弧相等” 或 “弦心距相等”，能否推出 “圆心角相等”？这些量之间的对等关系是否需要前提条件？ 第 4 页：核心概念・圆心角与弦心距 1. 圆心角的定义 顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。 示例：⊙O 中，∠AOB 的顶点 O 在圆心，OA、OB 与圆交于 A、B，故∠AOB 是圆心角，它所对的弧为⌒AB，所对的弦为 AB。 注意：圆心角的大小与圆的半径无关，仅与两边张开的角度有关；整个圆周对应的圆心角为 360°，半圆对应的圆心角为 180°。 2. 弦心距的定义 从圆心到弦的距离叫做弦心距（即圆心到弦的垂线段的长度）。 示例：⊙O 中，OE⊥AB 于 E，OE 的长度即为弦 AB 的弦心距；弦心距是 “圆心到弦的垂线段”，非垂线段不能称为弦心距（如 OF 不垂直于 AB，则 OF 不是弦心距）。 性质：弦心距与弦垂直，且平分弦（由垂径定理推导，OE⊥AB→AE=BE）。 第 5 页：核心定理・同圆或等圆中四组量的对等关系 1. 定理内容（正定理） 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。 符号语言（以同圆为例，⊙O 中）： 若∠AOB=∠COD，则： ① ⌒AB=⌒CD（所对的弧相等，均指同类型弧：劣弧对劣弧，优弧对优弧）； ② AB=CD（所对的弦相等）； ③ OE=OF（OE、OF 分别为 AB、CD 的弦心距，所对的弦心距相等）。 2. 定理推导（基于圆的旋转对称性） 已知：同圆⊙O 中，∠AOB=∠COD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F。 求证：⌒AB=⌒CD，AB=CD，OE=OF。 证明： 将△AOB 绕圆心 O 旋转，使 OA 与 OC 重合； ∵ ∠AOB=∠COD，∴ OB 与 OD 重合； 又∵ OA=OC，OB=OD（同圆半径相等），∴ 点 A 与 C 重合，点 B 与 D 重合； ∴ 弦 AB 与 CD 重合，弧⌒AB 与⌒CD 重合，垂线段 OE 与 OF 重合； 故 AB=CD，⌒AB=⌒CD，OE=OF。 3. 逆定理（四组量的双向对等） 在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等。 常见逆用组合： 弦相等→圆心角相等、弧相等、弦心距相等； 弧相等→圆心角相等、弦相等、弦心距相等； 弦心距相等→圆心角相等、弧相等、弦相等。 4. 关键前提：“同圆或等圆” 若两个圆不是同圆或等圆（半径不相等），即使圆心角相等，所对的弧、弦、弦心距也不相等（如半径为 2 的圆中，60° 圆心角所对的弦长为 2，半径为 3 的圆中，60° 圆心角所对的弦长为 3）； 因此，所有量的对等关系均需在 “同圆或等圆” 的前提下成立，忽略该前提会导致推理错误。 第 6 页：典例精讲・定理的基础应用（证明与计算） 例题 1：证明弧相等与弦相等 如图，在⊙O 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，求证：⌒AC=⌒BD，AC=BD。 解答步骤： ∵ ∠AOB=∠COD，∴ ∠AOB - ∠COB=∠COD - ∠COB（等式性质），即∠AOC=∠BOD； 在⊙O 中，∠AOC 与∠BOD 是圆心角，且∠AOC=∠BOD； 根据 “同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等”，得⌒AC=⌒BD，AC=BD。 例题 2：利用弦心距求弦长 已知⊙O 的半径 R=5cm，弦 AB 与 CD 的弦心距分别为 OE=3cm、OF=4cm，求 AB 与 CD 的长，并比较 AB 与 CD 的大小。 解答步骤： 求 AB 的长：∵ OE⊥AB，由垂径定理得 AE=AB/2；在 Rt△OAE 中，AE=√(OA² - OE²)=√(5² - 3²)=4cm，故 AB=2×4=8cm； 求 CD 的长：∵ OF⊥CD，由垂径定理得 CF=CD/2；在 Rt△OCF 中，CF=√(OC² - OF²)=√(5² - 4²)=3cm，故 CD=2×3=6cm； 比较大小：AB=8cm > CD=6cm，且 OE=3cm <OF=4cm，可得 “同圆中，弦心距越小，弦越长”（逆定理应用）。 第 7 页：典例精讲・定理的综合应用（实际场景与多量关联） 例题 3：圆弧形花坛的弦长计算 某公园有一个圆弧形花坛，其所在圆的半径 R=10m，花坛对应的圆心角∠AOB=120°，求花坛的弦 AB 的长及弦心距 OE 的长。 解答步骤： 作 OE⊥AB 于 E（OE 为弦心距），由垂径定理得 AE=AB/2，且 OE 平分∠AOB（等腰三角形三线合一），故∠AOE=∠AOB/2=60°； 求弦心距 OE：在 Rt△AOE 中，∠AOE=60°，OA=10m，∴ OE=OA×cos60°=10×1/2=5m； 求弦 AB 的长：AE=OA×sin60°=10×(√3/2)=5√3 m，故 AB=2×AE=10√3≈17.32m。 例题 4：多组量的对等关系验证 如图，在⊙O 中，AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，求证：OE=OF，∠AOB=∠COD。 解答步骤： ∵ AB=CD，且 AB、CD 是⊙O 的弦（同圆）； 根据 “同圆中，弦相等→所对的弦心距相等、所对的圆心角相等”，得 OE=OF，∠AOB=∠COD； （或用全等证明）连接 OA、OC，∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∴ AE=AB/2，CF=CD/2；又 AB=CD，∴ AE=CF；在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中，OA=OC，AE=CF，∴ Rt△AOE≌Rt△COF（HL），故 OE=OF，∠AOE=∠COF，同理∠BOE=∠DOF，∴ ∠AOB=∠COD。 第 8 页：易错警示与避坑指南 常见易错点： 忽略 “同圆或等圆” 前提：误将 “不同圆中，圆心角相等→弦相等” 当作真命题（如半径 2 和 3 的圆中，60° 圆心角对应的弦长不同）； 弧的类型混淆：逆用定理时，误将 “劣弧相等” 推出 “优弧相等”（需明确 “所对的弧” 为同类型，劣弧对劣弧，优弧对优弧）； 弦心距定义错误：将 “圆心到弦上某点的距离” 当作弦心距（弦心距必须是 “垂线段”，非垂线段不满足定义）。 避坑技巧： 应用定理前，先判断是否为 “同圆或等圆”，若题目未明确，需通过 “半径相等” 等条件验证； 涉及弧的对等时，在图中标注弧的类型（如⌒AB 为劣弧，⌒ACB 为优弧），避免混淆； 计算弦心距时，严格作 “圆心到弦的垂线”，利用垂径定理与勾股定理求解，确保符合定义。 第 9 页：课堂练习・分层巩固 基础题： （1）在同圆中，若圆心角∠AOB=∠COD=80°，则⌒AB 与⌒CD 的关系是______，AB 与 CD 的关系是______。（答案：⌒AB=⌒CD，AB=CD） （2）⊙O 中，弦 AB 的弦心距为 3cm，弦 CD 的弦心距也为 3cm，若 AB=8cm，则 CD=cm，理由是。（答案：8，同圆中弦心距相等则弦相等） 中档题： 如图，在⊙O 中，⌒AB=⌒AC，∠B=70°，求∠A 的度数。（提示：⌒AB=⌒AC→AB=AC→△ABC 为等腰三角形，答案：40°） 提升题： 已知⊙O₁与⊙O₂是等圆，弦 AB 在⊙O₁中，弦 CD 在⊙O₂中，且 AB=CD，∠AOB=60°（O₁A=O₁B，O₂C=O₂D），求∠COD 的度数及 AB 与 O₁A 的关系。（答案：∠COD=60°，AB=O₁A，提示：等圆中弦相等→圆心角相等，△AOB 为等边三角形） 第 10 页：课堂小结与作业布置 小结： 核心定理：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距 “一组量相等，其余量相等”，本质是圆的旋转对称性的体现； 关键概念：圆心角（顶点在圆心）、弦心距（圆心到弦的垂线段），需明确定义与性质； 应用技巧：证明量相等时，优先选择 “易证的量”（如弦心距相等→弦相等），复杂问题结合垂径定理与勾股定理。 作业： 基础作业：教材习题 24.2 第 7、8、9 题（定理应用、证明与计算）； 拓展作业：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，若 OE=OF，AB=10，求 CD 的长及⌒AB 与⌒CD 的关系（答案：CD=10，⌒AB=⌒CD）； 实践作业：用圆规画一个半径为 5cm 的圆，在圆内作两个相等的圆心角（如 60°），测量对应的弦长与弦心距，验证 “四组量对等” 的性质。 沪科版数学九年级下册 24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系 第24章　圆 情境引入 飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？ 圆的对称性 观察与思考 把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？ α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心. · O 圆心角 概念学习 O A B M 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB . 3. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB. 2. 圆心角∠AOB 所对的弧为 . 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 不是 不是 不是 是 练一练 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 · O A B C D 由圆的旋转对称性，我们发现： 在☉O中，如果∠AOB= ∠COD， 那么 ，AB = CD，OE = OF. （证明过程见课本） E F 观察与思考 在☉O 中，如果∠AOB= ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD，垂线段 OE 与 OF 有怎样的数量关系？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等． ①∠AOB =∠COD ③ AB = CD A B O D C 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 E F ④ OE = OF ② 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C · O A B C D E F 在☉O 中，如果 = ，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD，OE 与 OF 有怎样的数量关系？ 在☉O 中，如果 AB = CD，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD， 与 ，OE 与 OF 有怎样的数量关系？ 在☉O 中，如果 OE = OF，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD， 与 有怎样的 数量关系？ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 要点归纳 圆心角 相等 弦 相等 弦心距 相等 (3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ） (2) 等弧所对的弦相等. （ ） (1) 等弦所对的弧相等. （ ） × × √ 练一练 判断正误： 典例精析 例1 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O 上. 求证：∠AOB =∠BOC =∠COA = 120°. A B C O 证明：连接 OA，OB，OC，如图. ∵ AB = BC = CA， ∴∠AOB =∠BOC =∠COA 弧、弦与圆心角关系定理及推论的运用 ∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. A B C O 方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 如图，AB 是☉O 的直径， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数． 解： ∵ 练一练 · A O B C D E ∴ ∴ 例2 已知：如图，点 O 是∠FAD 平分线上的一点，☉O 分别交∠FAD 的两边于点 C，D 和点 E，F. 求证：CD = EF. O A D E F C 证明：过点 O 作 OK⊥CD，OH⊥EF， 垂足分别为 K，H，如图. H K ∵ 点 O 在∠FAD 的平分线上， ∴ CD = EF. ∴ OK = OH（角平分线的性质）. 例3 如图，AB，CD 是☉O 的两条直径，CE 为☉O 的弦，且 CE∥AB，弧 CE 为 40°，求∠BOD 的度数. O C E A B D 解：连接 OE，如图. ∵ 弧 CE 为 40°， ∴∠COE = 40°. ∵ CE∥AB， ∴∠BOD =∠C = 70°. 1. 如果两个圆心角相等，那么 （ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 D A 2. 在同圆中，圆心角∠AOB = 2∠COD，则 与 的关系是 （ ） A. = 2 B. > C. < D. 不能确定 4. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °. 60 3. 如图所示，在☉O 中， = ，∠B = 70°，则 ∠A = ____°． 40 5. 如图，已知 AB、CD 为 ☉O 的两条弦， . 求证：AB = CD. C A B D O 证明：连接 AO，BO，CO，DO. 即 A B C D E O 能力提升： 6. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2 成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如 果不成立，那它们之间的关系又是什么？ 解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立. 理由如下：取 的中点 E，连接 OE， CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE. 所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE. 在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB. 1．[2024·泉州五中期中]下列图形中的角是圆心角的是(　　) B 21 D 22 3．[2024·上海静安区二模]对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是(　　) A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 A 23 24 【答案】C 25 5．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果⊙O的半径为8 cm，那么弦AB＝________ cm. 8 26 ①②③ 27 7．[2024·南宁一模]如图，当一个摆钟的钟摆OA从最左侧处摆到最右侧OB处时，摆角∠AOB＝2α，点C是弧AB的中点，连接OC交AB于点D，若OA＝20 cm，则AB的长为________cm.(结果用到α相关的三角函数) 40sin α 31 圆心角 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应用提醒： ①要注意前提条件； ②要灵活转化 圆心角 相等 弦 相等 弦心距 相等 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 2．已知AB是⊙O的弦，若OA＝，AB＝2，则所对的圆心角的度数为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 4．如图，已知点A，B，C，D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是(　　) A.＝ B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD 【点拨】∵OB⊥AC，BC＝CD， ∴＝，＝，故A正确； ∴＝3， ＝. ∴∠AOD＝3∠BOC，AC＝BD，故B正确； ∴AC＝BD＜BC＋CD＝2CD，故C错误； ∵＝，∴OC⊥BD，故D正确.故选C. 6．如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，则：①BE＝CF；②＝；③＝；④PA＝AE，其中结论正确的是________(填写序号)． 【点拨】∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD， ∴OE＝OF.连接OA，OC，如图所示. 在Rt△AOE和Rt△COF中， ∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL). ∴AE＝CF，∠AOE＝∠COF. ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴由垂径定理可得AE＝BE，CF＝DF. ∴BE＝CF，故①正确； ∵AE＝BE＝AB，CF＝DF＝CD，AE＝CF， ∴AB＝CD.∴＝，故②正确； 连接OB，OD，如图所示.易知∠POE＝∠POF. ∵＝，∴∠AOB＝∠COD. 又∵∠AOE＝∠COF，∴∠BOE＝∠DOF. ∴∠BOE＋∠POE＝∠DOF＋∠POF，即∠BOP＝∠DOP. ∴∠BOG＝∠DOG.∴＝，故③正确； 题中条件无法证明PA＝AE，故④不正确. $