第24.1.3 弧、弦、圆心角 课时测试题2025-2026学年人教版 九年级数学上册

九年级上册数学人教版第24.1.3节《弧、弦、圆心角》课时测试题 一、单选题 1．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．中的一段劣弧的度数为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（    ） A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD 5．已知中，，则弦和的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 7．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 8．如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 9．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 10．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 11．如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为(    ) A．3∶2 B．∶2 C．∶ D．5∶4 12．如图，中，如果，那么（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ． 14．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 15．如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 16．如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，正方形内接于，为弧中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求点到的距离． 18．如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 19．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为． (1)若，求的度数； (2)若，，求圆O的半径长． 20．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上． (1)求证：=； (2)若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？ 21．如图，、是的两条弦，与相交于点E,． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 22．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 23．如图，是的弦，分别以点为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．如图，A，B，C，D是半径为5的上的点，． (1)求证． (2)若E为的中点，求的长． 25．如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接 (1)求证：； (2)若，求的长． 26．如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《九年级上册数学人教版第24.1.3节《弧、弦、圆心角》课时测试题》参考答案 1．B 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 2．B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 3．B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可． 【详解】解：中的一段劣弧的度数为， ， 故选：B． 4．B 【分析】回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出选项． 【详解】∵CD⊥AB，CD为直径， ∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE， AD=BD,AC=BC, 故选:B． 5．C 【分析】本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答． 【详解】解：取中点为E，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质． 连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答． 【详解】解：连接，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径． 故选：B 7．B 【分析】本题主要考查圆弧与圆心角之间的关系以及勾股定理的应用、轴对称性质，熟记圆的性质并灵活应用是解题关键．如图，连接、，由题意可得，，由点B是的中点可得，即，所以，进而得出， 由勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得，， 点B是的中点， ， ， 点是点B关于所在直线的对称点， ， ， 又， ． 故选：B． 8．D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 可设，则，， ， ， ， ， 故选：． 9．A 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 10．C 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 11．C 【详解】试题解析：过O点作OE⊥AB，E点为垂足，连OC，OA，如图， 则OE=1， ∵OE⊥AB， ∴CE=DE，AE=BE， 而AB=4，CD=2， ∴CE=1，AE=2， 在Rt△OCE中，OC=； 在Rt△OAE中，OA=； ∴OA：OC =:， 即两个同心圆的半径之比为:． 故选C． 12．C 【分析】取弧AB的中点D，连接AD，DB，由已知条件可知AD=BD=AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，即2AC＞AB，问题得解． 解：取弧AB的中点D，连接AD，DB， ∵ ∴AD=BD=AC， 在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB， ∴2AC＞AB， 即AB＜2AC， 故选C． 【详解】详解片段 13． 【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴∠2=∠1=45°， ， 故答案为：． 14．10 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 15．①②④ 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：连接、，如图， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ， 故③错误， 若是的中点，连接，而 ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 16．/30度 【分析】连接，先根据弧和圆心角的关系求得，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接，    ∵为半圆上靠近点的三等分点， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答． （2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ， 为弧的中点， ， ∴， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接，连接并延长交于点， ，， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， ， ∵， ， ∴， 则， ∴， ， ， 即点到的距离为． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解； （2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解； （3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， 即， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 19．(1)的度数是； (2)圆的半径长为． 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是圆的一条弦，， ， ， 的度数是； （2）解：是圆的一条弦，， ， 设圆的半径长为， 在中，， ， ， ∴圆的半径长为． 20．(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】(1)先利用HL定理判定Rt△OCM和Rt△ODN全等，再根据全等三角形的性质可得∶ ∠AOM=∠BON，最后根据同圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； (2) 连接，根据已知条件，证明是等边三角形，所以∠MOC＝∠NOD＝∠MON，根据同圆中相等的圆心角所对弧相等即可求证． 【详解】（1）连接OM，ON，如图， 因为OM=ON，OA=OB， ∵AC=DB， ∴OC=OD， 在Rt△OCM和Rt△ODN中， ， ∴Rt△OCM≌Rt△ODN， ∴∠AOM=∠BON， ∴， （2），理由如下，如图，连接， ∵C、D分别为OA、OB中点， ∴OC=OA=AC，OD=OB=DB， MC⊥AB，ND⊥AB， ， 是等边三角形， ∴∠MOC=∠NOD=60°， ∴∠MON=60°， ∠MOC=∠NOD=∠MON ∴∠AOM=∠MON=∠BON， ． 21． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）连接、、，并作直线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴E、O都在的垂直平分线上， ∴． 22．(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了弦和弧的关系、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，由圆的相关知识可得，再证明即可证明结论； （2）先根据角的比例以及（1）的结论可得为等腰直角三角形，再结合可得，最后结合即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， 以点为圆心，同样长度为半径画圆弧 ， 又， ． （2）解：，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理： （1）根据，得到，等角对等弧，即可得证； （2）等弧对等弦，得到，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．以及勾股定理．熟记相关结论是解题关键． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴, 在中， ∴ ∴ 26．(1)详见解析 (2)2 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $