精品解析：重庆市潼南区初中学校联考2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2024级八年级上期半期考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键，根据轴对称图形的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意， B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意， C、是轴对称图形，不符合题意， D、是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、和不是同类项，无法合并，故此选项不合题意． 故选：B． 3. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：． 4. 以下四个三角形分别满足以下条件：①；②；③；④，其中是直角三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，利用三角形内角和定理分别计算每个条件下的角度，判断是否有角等于． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴无的角，不是直角三角形， 故①不符题意； ∵，且， ∴， ∴， 故②符题意； 设，则， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故③符题意； ④设，则，， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故④符题意 ∴ ②、③、④3个是直角三角形， 故选：C． 5. 如图，已知两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键，根据全等三角形的性质可知是边的对角，然后求出即可． 【详解】解：边的对角度数为：， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，、的平分线、相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义和三角形外角的定义，熟练掌握角平分线和三角形外角的定义是解题的关键，根据角平分线的定义得到，，再由外角的定义得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵平分、平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：A． 7. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，代数式求值． 两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．据此列方程求解m和n，再代入计算即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（ ） A. 10 B. 15 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ， 的周长为，的长为， ， ， ， 又， ， 故选：D． 9. 如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是和平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴, 故选：A． 10. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，然后由三角形的内角和定理可得，即可判断结论；由垂线的性质可得，由对顶角相等可得，由等式的性质及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，利用可证得，即可判断结论；由全等三角形的性质可得，，由即可判断结论；延长交于点，利用邻补角互补可得，进而可得，利用可证得，于是可得，则，由三角形外角的性质及不等式的性质可得是钝角，因而可得，则，即可判断结论；综上，即可得出答案． 【详解】解：是的高， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， ， 故结论正确； 是的高，， ， ， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ， 故结论正确； 如图，延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，是钝角， ， ， 即：， 故结论错误； 综上所述，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），利用邻补角互补求角度，线段的和与差，三角形外角的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 等腰三角形一个内角为，它的底角为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，根据等腰三角形的定义分情况讨论，再利用三角形内角和定理计算底角． 【详解】解：设等腰三角形的顶角为，底角为，则， ①若是顶角，则， ∴， ∴； ②若是底角，则， ∴， 故答案为：或． 12. 如图，______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等底同高的三角形是解题的关键，延长交于点，由题可得，易证，得到，进而得到，，所以得到． 【详解】解：延长交于点，如图： ∵平分，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 若为正整数，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的乘方、积的乘方运算法则是解题的关键，整理式子，代入即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15. 已知是的高，，，的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和． 分高在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当高在内部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以； 当高在外部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵中，长为6，面积是27， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算是解题的关键， （1）根据同底数幂乘法幂的乘方混合运算法则计算即可得到答案； （2）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在与中， ， ③ ， ，，且， ④ ， ， ． 【答案】（1） 如下图，即为所求， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法和作线段的方法，得到点、，然后连接即可； （2）根据角平分线可得，易证得，可得，利用三角形内角和定理可推出，进而得到，最后根据平行线的判定可证得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：平分， ， 在与中， ， ， ， ，，且， ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键，根据整式的混合运算将式子化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 【答案】（1） 如图： （2），， （3）3 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据轴对称图形的变换得到，，，依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）分3种情况讨论，当时，当时，当时，即可确定点D的个数． 【小问1详解】 解：∵、、， ∴它们关于y轴对称的点分别为：，，， 依次连接可得； 【小问2详解】 解：由（1）得：，，． 【小问3详解】 解：∵点D是x轴上的一点，且为等腰三角形， 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴有2个交点； 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴无交点； 当时，作的垂直平分线，与x轴有1个交点， 综上所述：能使为等腰三角形的点D有3个． 故答案为：3． 21. 如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质． 可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论． 【详解】略 22. 如图，在中，的平分线交于点，且点在的垂直平分线上，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、等边对等角及垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质得到，可得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】解：点D在的垂直平分线上， ， ． 平分， ， ． ， 在中， ， ， ， ． 23. 如图，等边中，点、分别在边、上，且． （1）求证：． （2）连接、交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：三角形是等边三角形， ，． 在和中 ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据等边三角形的性质可得，，即可证得； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，得到，根据含的直角三角形的性质，得到，进而可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∴ ， ， ． ， ， ， ． ， ． 24. 如图，点Q为的外角的角平分线上一点，且，于点M． （1）若，，求的面积． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：，， ． 在和中 ， ， ． 在和中 ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）过点作交于点，根据角平分线的性质定理得到，从而得到的长，利用三角形的面积公式即可得到答案； （2）根据题意易证得和，从而得到，，再利用等量代换即可得到． 【小问1详解】 解：过点作交于点， 平分，， ， ， ． ， ． 【小问2详解】 略 25. 已知：中，，． （1）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：； （2）如图，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明； （3）如图，点在延长线上，且，连接与的延长线交于点，若，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ， 证明：如图2中，作于H． ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）欲证明，只要证明即可； （2）结论：．如图2中，作于H．只要证明，推出，，由，推出即可解决问题； （3）过作于H．再利用（2）中结论即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3中，过作于H． 同理可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，设， 则，， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级八年级上期半期考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 以下四个三角形分别满足以下条件：①；②；③；④，其中是直角三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，已知两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，、的平分线、相交于点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 1 8. 如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（ ） A. 10 B. 15 C. 11 D. 12 9. 如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 等腰三角形一个内角为，它的底角为______． 12. 如图，______度． 13. 如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是______． 14. 若为正整数，且，，则______． 15. 已知是的高，，，的度数是______． 16. 如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在与中， ， ③ ， ，，且， ④ ， ， ． 四、解答题（本大题共7个小题，每小题10分，共70分） 19. 先化简，再求值 ，其中，． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 21. 如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，，．求证：． 22. 如图，在中，的平分线交于点，且点在的垂直平分线上，若，求的度数． 23. 如图，等边中，点、分别在边、上，且． （1）求证：． （2）连接、交于点，过点作于点，若，，求的长． 24. 如图，点Q为的外角的角平分线上一点，且，于点M． （1）若，，求的面积． （2）求证：． 25. 已知：中，，． （1）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：； （2）如图，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明； （3）如图，点在延长线上，且，连接与的延长线交于点，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $