第一章 第四节 基本不等式-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

第四节　基本不等式 课标要求 1.了解基本不等式的推导过程. 2.掌握基本不等式≤（a，b≥0）. 3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是　a＞0，b＞0　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　a＝b　时，等号成立； （3）其中叫做正数a，b的　算术　平均数，叫做正数a，b的　几何　平均数. 提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记：积定和最小）； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简记：和定积最大）. 几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）； （2）＋≥2（a，b同号）； （3）ab≤（）2（a，b∈R）； （4）≥（）2（a，b∈R）. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　×　） （2）函数y＝x＋（x＞0）的最小值是2.（　√　） （3）函数f（x）＝sin x＋的最小值为4.（　×　） 2.（人A必修一P45例1改编）函数f（x）＝（x＞0）的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：B　f（x）＝＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故f（x）的最小值为3.故选B. 3.（苏教必修一P61练习1题改编）已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（　　） A.9 B.18 C.9 D.27 解析：B　因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2得，m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18. 4.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　1　. 解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋（x≥0）的最小值为1. 5.（人A必修一P46例3（2）改编）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　25 m2　.　 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积为S＝xy≤（）2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号. 基本不等式的常见变形（师生共研过关） 若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A.b＞＞a＞ B.b＞＞＞a C.b＞＞＞a D.b＞a＞＞ 解析：C　∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞＞.∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴＞a.故b＞＞＞a. 解题技法 基本不等式的常见变形 （1）ab≤（）2≤； （2）≤≤≤（a＞0，b＞0）. 　〔多选〕已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为（　　） A.≥ab B.＋≥2 C.ab≤（）2 D.（）2≤ 解析：ACD　由a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，得≥ab，A正确；由a，b∈R，取a＝－1，b＝2，则＋＝－2－＜0，故B错误；由于a，b∈R，则ab－（）2＝－≤0，则ab≤（）2，故C正确；由于（）2－＝－≤0，故D正确，故选A、C、D. 利用基本不等式求最值（定向精析突破） 考向1　配凑法 （1）（2024·广东大联考）若x∈（，1］，则2x＋的最小值为（　D　） A.1 B.2 C.2 D.3 （2）已知0＜x＜2，则y＝x的最大值为（　A　） A.2 B.4 C.5 D.6 解析：（1）因为x∈（，1］，所以2x－1∈（0，1]，所以2x＋＝［（2x－1）＋］＋1≥2＋1＝3，当且仅当2x－1＝，即x＝1时取等号.故选D. （2）因为0＜x＜2，所以可得4－x2＞0，则y＝x＝≤＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，上式取得等号，故y＝x的最大值为2.故选A. 解题技法 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 考向2　常数代换法 （1）已知正实数x，y满足＋＝1，则2x＋y的最小值为（　D　） A.1 B.2 C.4 D.8 解析：（1）因为x，y为正实数，且＋＝1，所以2x＋y＝（＋）（2x＋y）＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当2x＝y＝4时取等号.故选D. （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为　9　. 解析：（2）因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝5＋＋.因为a＞0，b＞0，所以＋≥2＝4（当且仅当＝，即b＝2a时取等号，此时a＝3，b＝6），所以a＋b≥9. 解题技法 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 考向3　消元法 （人A必修一P58复习参考题5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　6　. 解析：法一 ∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值. 法二 由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，∴a＞1，b＞1，∴a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值. 法三　∵ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 解题技法 消元法求最值的思路 　　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 1.当x＞0时，的最大值为　　. 解析：当x＞0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，即的最大值为. 2.已知0＜x＜1，则＋的最小值是　　. 解析：由0＜x＜1，得1－x＞0.＋＝（＋）[x＋（1－x）]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝即x＝时取等号，所以＋的最小值是9. 3.（2024·安庆三模）若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是　　. 解析：正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，故y＝＝＋，故x＋y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立. 利用基本不等式解决实际问题（师生共研过关） 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少cm时，用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？ 解：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝（x＋4）（＋8） ＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立. ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 解题技法 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 　近年来冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为（　　） A.5千米 B.6千米 C.7千米 D.8千米 解析：A　设供热站到社区的距离为x（x＞0）千米，则月自然消费y1＝，月供热费y2＝k2x，由题意得当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝＝，所以y1＝，y2＝x.所以两项费用之和为y1＋y2＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝5时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为5千米.故选A. 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 解析：B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B. 2.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为（　　） A. B.4 C. D.2 解析：D　由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2. 3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 解析：C　法一 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋－1＝（a＋b）（＋）－1＝＋＋4≥2＋4＝8（当且仅当＝，即a＝，b＝时取“＝”）.故选C. 法二 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取“＝”.故选C. 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析：C　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（2x＋）≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号. 5.若xy＞0，则（x＋）2＋（y＋）2的最小值是（　　） A.3 B. C.4 D. 解析：C　（x＋）2＋（y＋）2＝x2＋＋＋y2＋＋＝（x2＋）＋（y2＋）＋（＋）≥1＋1＋2＝4，当且仅当x2＝，y2＝，＝同时成立，即x＝y＝±时，等号成立.故选C. 6.〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　） A.若ab≤1，则＋≥2 B.若a＋b＝4，则＋的最小值为4 C.若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D.函数y＝a＋的最小值为1 解析：ABC　因为0＜ab≤1，所以≥1，所以＋≥2≥2，故A正确；若a＋b＝4，则＋＝（a＋b）（＋）＝（＋＋10）≥（2＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；由于a＞0，b＞0，所以y＝a＋＝a＋1＋－1≥1，当且仅当a＋1＝，即a＝－2或a＝0时等号成立，这与已知矛盾，故D错误.故选A、B、C. 7.〔多选〕（2024·甘肃高考诊断考试）已知a＞0，b＞0，若a＋2b＝1，则（　　） A.ab的最大值为 B.a2＋b2的最小值为1 C.＋的最小值为8 D.2a＋4b的最小值为2 解析：ACD　对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2，解得ab≤，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以A正确；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－）2＋，当且仅当b＝，a＝时，a2＋b2取到最小值，故B错误；对于C，由＋＝（a＋2b）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以C正确；对于D，2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当即a＝，b＝时等号成立，所以D正确.综上，选A、C、D. 8.设实数a＞0，x＋（x＞－2）的最小值为6，则a＝　16　. 解析：由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当x＝－2时，x＋（x＞－2）取到最小值2－2，即2－2＝6，解得a＝16. 9.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； 解：（1）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. 又x＞0，y＞0， 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当＝，即x＝16且y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. （2）x＋y的最小值. 解：（2）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝（x＋y） ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 10.已知a＞0，b＞0，设M＝max{a，b，＋}，则M的最小值等于（　　） A.1 B. C. D.2 解析：B　由题设得M≥a，M≥b，所以2M≥a＋b.又M≥＋，于是2M2≥（a＋b）（＋）≥4，因此M≥.故当a＝b＝时，Mmin＝. 11.若正实数x，y满足＋＝1，且x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A.m＜－2或m≥4 B.m＜－4或m≥2 C.－2＜m＜4 D.－4＜m＜2 解析：D　因为正实数x，y满足＋＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝4＋＋≥8，当且仅当即时，x＋2y取得最小值8，从而只要m2＋2m＜8，即－4＜m＜2时不等式恒成立，故选D. 12.〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤ B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 解析：BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此A、C错误，B、D正确. 13.已知a，b为两个正实数，且a＋4b＝1，则＋2的最大值为　　. 解析：法一 因为a，b为两个正实数，所以（＋2）2＝a＋4＋4b＝1＋4≤1＋a＋4b＝2，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立，故＋2的最大值为. 法二 ≤＝＝＝，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立，则＋2≤，故＋2的最大值为. 14.甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元. （1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； 解：（1）由题意，得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为 h， 所以y＝（v2＋a）＝1 000（v＋），定义域为（0，80]. （2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？ 解：（2）y＝1 000（v＋）≥1 000×2＝1 000（元），当v＝时，得v＝2，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最低； 当a≥1 600时，函数y＝1 000（v＋）在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低. 15.（创新知识交汇）半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为　32　. 解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，以AB，AC，AD为棱补成球的内接长方体，由于此时长方体的体对角线即为球的直径，故有a2＋b2＋c2＝4R2＝64，故S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝（ab＋bc＋ac）≤（＋＋）＝＝32，当且仅当a＝b＝c时取等号. 16.（创新考法）已知a，b，c＞0时，有＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求出最值.依此启示，求证当a，b，c＞0时，＋＋≥. 证明：由于＋＋＋3＝（＋1）＋（＋1）＋（＋1）＝＋＋＝[（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）]·（＋＋） ＝［3＋＋＋］ ＝［3＋（＋）＋（＋）＋（＋）］≥， 从而＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，原不等式等号成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $