第二章 第六节 指数式与对数式的运算-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

第六节　指数式与对数式的运算 课标要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 1.根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么　x　叫做a的n次方根； ②式子叫做　根式　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（）n＝　a　.当n为奇数时，＝　a　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ （2）有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 2.对数 概念 如果　ax＝N　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　logaN　，其中a叫做对数的　底数　，N叫做　真数　 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔　x＝logaN　 负数和0没有对数 1的对数是　0　：loga1＝　0　 底数的对数是　1　：logaa＝　1　 对数恒等式：＝　N　 运算 性质 loga（MN）＝　logaM＋logaN　 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝　logaM－logaN　 logaMn＝　nlogaM　（n∈R） 换底 公式 logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1） 1.换底公式的变形 （1）logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）； （2）lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） ＝－4.（　×　） （2）分数指数幂可以理解为个a相乘.（　×　） （3）log2x2＝2log2x.（　×　） （4）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga（M＋N）＝logaM＋logaN.（　×　） 2.（人A必修一P127习题3（3）题改编）计算：2lg－lg ＝（　　） A.10 B.1 C.2 D.lg 5 解析：B　原式＝lg（）2＋lg＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B. 3.〔多选〕下列结论中，正确的是（　　） A.设a＞0，则·＝a B.若m8＝2，则m＝± C.（）8＝ D.＝2－π 解析：BC　对于A，根据指数幂的运算性质，可得 ·＝＝≠a，选项A错误；对于B，m8＝2，故m＝±，选项B正确；对于C，（） 8＝m2n－3＝，选项C正确；对于D，＝｜2－π｜＝π－2，选项D错误，故选B、C. 4.（人A必修一P127习题3（6）题改编）若log35·log2527＝a，则a＝　　. 解析：log35·log2527＝log35·lo33＝log35·log53＝，所以a＝. 5.计算：（1）log345－log35＝　2　； 解析：（1）log345－log35＝log3 ＝log39＝log332＝2. （2）（）－2＋（2－（－1）0＝　49　； 解析：（2）（）－2＋（2－（－1）0＝72＋（－1＝49＋－1＝49. （3）×（）lg 0.7＝　14　. 解析：（3）令x＝7lg 20×（）lg 0.7，两边取常用对数，得lg x＝lg［7lg 20×（）lg 0.7］，则lg x＝lg 20×lg 7＋lg 0.7×lg ＝（1＋lg 2）lg 7＋（lg 7－1）（－lg 2）＝lg 7＋lg 2×lg 7－lg 2×lg 7＋lg 2＝lg 14，∴x＝14，即7lg 20×（）lg 0.7＝14. 指数幂的化简与求值（基础自学过关） 1.（2025·广东模拟预测）若xy＝3，则x＋y＝　±2　. 解析：当x＞0，y＞0时，x＋y＝＋＝2，当x＜0，y＜0时，x＋y＝－＋（－）＝－2. 2.已知a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝　7　，－＝　±1　. 解析：将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，因为（－）2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，，的大小不确定，所以－＝±1. 3.化简与求值： （1）（－（2）0.5＋（0.027； 解：（1）原式＝（－（）0.5＋（0.3＝－＋0.09＝－0.16. （2）（a＞0，b＞0）； 解：（2）原式＝＝·＝. （3）（×（－）0＋×－. 解：（3）原式＝（×1＋×－（＝2. 练后悟通 指数幂的运算 对数式的化简与求值（定向精析突破） 考向1　对数式的化简与计算 计算下列各式： （1）log535＋2log2－log5－log514； 解：（1）原式＝log5＋log22＝log553＋1＝4. （2）； 解：（2）原式＝＝＝1. （3）log23·log38＋（. 解：（3）原式＝·＋＝3＋＝3＋2＝5. 解题技法 对数运算的一般思路 （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 提醒 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[（－3）×（－4）]＝log2（－3）＋log2（－4）的错误. 考向2　指数式与对数式的综合应用 （1）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（　A　） A. B.10 C.20 D.100 解析：（1）∵2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝（舍m＝－）. （2）（2024·北京高考9题）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　B　） A.log2 ＜ B.log2 ＞ C.log2 ＜x1＋x2 D.log2 ＞x1＋x2 解析：（2）因为（x1，y1），（x2，y2）为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝，故选B. 解题技法 指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f（x，y，z）的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k（k＞0），则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f（x，y，z）求解. 1.（2024·全国甲卷理15题）已知a＞1且－＝－，则a＝　64　. 解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2（a＞1），则t＞0，故3t－＝－，得t＝（t＝－1舍去），所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64. 2.计算：（1）log225·log3（2）·log59； 解：（1）法一 log225·log3（2）·log59＝log252·log3·log532＝6log25·log32·log53＝6. 法二 log225·log3（2）·log59＝··＝··＝6. （2）（＋eln 3＋lo－log34·log23. 解：（2）原式＝（＋3－log2－2log32·log23＝＋3－－2＝3. 指数式与对数式的实际应用（师生共研过关） 生物学家测量了一些动物的体重和脉搏率，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系式：ln f＝ln k－，其中f是脉搏率（心跳次数/min），体重为W（g），k为正常数.则体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为（　　） A. B. C.3 D.27 解析：C　当W＝300时，ln f1＝，即ln ＝ln k3－ln 300.则＝.当W＝8 100时，ln f2＝.即ln ＝ln k3－ln 8 100，则＝.∴（）3＝＝27，即＝3.∴体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率的比值为3，故选C. 解题技法 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 （1）理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系； （2）运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. （2024·北京高考7题）生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（　　） A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C.＝ D.＝ 解析：D　由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以＝. 1.若使代数式＋有意义，则＋2＝（　　） A.2　　　　　　　　　 B.3 C.2x－1 D.x－2 解析：B　由＋有意义，得解得≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以＋2＝＋2｜x－2｜＝｜2x－1｜＋2｜x－2｜＝2x－1＋2（2－x）＝3. 2.计算［（－）－2＋log25－log210＝（　　） A.－10 B.－8 C.10 D.8 解析：D　［（－）－2＋log25－log210＝（36＋log2＝9－1＝8.故选D. 3.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log（a，b）”.某学生在计算logab时（其中a＞1且b＞1）顺序弄错，误按“log（b，a）”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是（　　） A.a＝2b B.b＝2a C.a＝b2 D.b＝a2 解析：C　由题意，得logba＝4·logab，所以＝，即（ln a）2＝（2ln b）2.因为a＞1且b＞1，所以ln a＝2ln b，即a＝b2，故选C. 4.（情境创新）点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL（单位：dB）与传播距离r（单位：米）的关系视为ΔL＝10lg，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（　　） A.18 dB B.20 dB C.24 dB D.27 dB 解析：C　当r＝5时，ΔL1＝10lg，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg＝80lg 2＝80（lg 10－lg 5）≈80×（1－0.7）＝24.故选C. 5.〔多选〕下列计算正确的是（　　） A.（－60－（＝－1 B.（＋ln（ln e）＝7 C.log23×log34＝log67 D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 解析：ABD　对于A，原式＝－1－＝－1，所以A正确；对于B，原式＝（＋ln（ln e）＝7＋ln 1＝7，所以B正确；对于C，原式＝×＝×＝2，所以C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2（lg 5＋lg 2）－lg ＝2－2＝0，所以D正确.故选A、B、D. 6.〔多选〕给出下列结论中正确的是（　　） A.当a＜0时，（a2＝a3 B.＝｜a｜（n＞1，n∈N*，n为偶数） C.函数f（x）＝（x－2－（3x－7）0的定义域是 D.若2x＝16，3y＝，则x＋y＝7 解析：BC　因为a＜0时，（a2＞0，a3＜0，所以A错误；B显然正确；解得x≥2且x≠，所以C正确；因为2x＝16，所以x＝4，因为3y＝＝3－3，所以y＝－3，所以x＋y＝4＋（－3）＝1，所以D错误. 7.若ex＝2 026，e－y＝1 013，则x＋y＝　ln 2　. 解析：ex＝2 026，e－y＝1 013，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 8.（2025·八省联考）已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1），若f（ln 2）f（ln 4）＝8，则a＝　e　. 解析：由f（ln 2）f（ln 4）＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，即aln 8＝8，解得a＝e. 9.计算： （1）1－－－＋（－）0； 解：（1）1－－－＋（－）0 ＝1－－－＋1 ＝1－－2＋－＋1＝－. （2）log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－. 解：（2）log20.25＋ln ＋＋lg 4＋2lg 5－ ＝log2＋ln ＋＋lg 4＋lg 52－ ＝－2＋＋81＋lg 100－2＝. 10.已知4a＝8，2m＝9n＝6，且＋＝b，则a＋b＝（　　） A. B. C. D.2 解析：A　∵4a＝8，2m＝9n＝6，∴a＝log48＝＝，m＝log26，n＝log96，∴b＝＋＝log62＋log69＝1，∴a＋b＝＋1＝.故选A. 11.（2025·云南部分名校联考）已知2×3a＝5×7b＝1，则（　　） A.a＞b＞－1 B.b＞a＞－1 C.a＞－1＞b D.b＞－1＞a 解析：A　3a＝＞，则a＞－1，7b＝＞，则b＞－1.因为3a＝，所以a＝－log32.因为7b＝，所以b＝－log75.又log32＝log278＜log279＝，log75＝lo125＞lo49＝，所以－log32＞－log75，故a＞b＞－1.故选A. 12.〔多选〕已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（　　） A.＋＝ B.3x＞4y＞6z C.x＋y＞（＋）z D.xy＞2z2 解析：ACD　设3x＝4y＝6z＝t（t＞1），则x＝，y＝，z＝，因为＋＝logt3＋logt4＝logt6＝，故选项A正确.因为＝4logt3＝logt81，＝3logt4＝logt64，所以＞，即3x＜4y，故选项B不正确.因为＝＋＝＋＝＋（＋）＞＋，故选项C正确.因为＝×＝log36×log46＝＝＝1＋（＋）＞2，故选项D正确. 13.放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为M0，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为M＝M0·（，若锶89的质量从M0衰减至M0，M0，M0所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1，t2，t3之间的关系为　t3＝2t1＋t2　. 解析：由题意可得 则 即因为log212＝log2（3×22）＝log23＋2，所以t3＝2t1＋t2. 14.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题： （1）10 h后还剩百分之几的污染物？ （2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1 h）？（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477） 解：（1）由P＝P0e－kt可知， 当t＝0时，P＝P0； 当t＝5时，P＝（1－10%）P0； 于是有（1－10%）P0＝P0e－5k， 解得k＝－ln 0.9， 那么P＝P0·0.， 所以当t＝10时，P＝0.81P0， 即10 h后还剩下81%的污染物. （2）当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.， 解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33， 即污染物减少50%大约需要花33 h. 15.（创新命题设置）已知函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义使f（1）·f（2） ·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做“企盼数”，则区间[1，2 026]上的“企盼数”共有　9　个. 解析：令g（k）＝f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），因为f（k）＝log（k＋1）（k＋2）＝，所以g（k）＝××…×＝log2（k＋2）.令g（k）＝m，要使g（k）为整数，则k＋2＝2m，m∈N*.又k∈[1，2 026]，所以2m∈[3，2 028].因为22＝4，23＝8，…，210＝1 024，211＝2 048，所以m＝2，3，…，10.因此区间[1，2 026]上的“企盼数”共有9个. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $