第二章 第九节 函数的图象-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖表示方法、变换规律、对称性与周期性及方程不等式应用，按“基础方法-变换规律-深层性质-实际应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（表格总结对称性结论）、方法指导（直接法与变换法）、真题训练（2024全国甲卷等）环节，帮助学生构建系统知识网络，突破图象识别与应用难点。 讲义特色在于融合数学眼光、思维与语言，如分析2024全国甲卷题时，引导学生用数学眼光观察奇偶性特征，用数学思维推理特殊值排除选项。设置基础判断、能力提升、创新情境（如“心形”图形）分层练习，能高效提升学生应考能力，为教师提供清晰复习节奏指导，保障复习效果。

第九节　函数的图象 课标要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析式法）表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题. 1.利用描点法作函数图象的步骤 2.函数图象的变换 描述 结论 f（a－x）＝f（a＋x）或f（2a－x）＝f（x） y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称 f（a－x）＝f（b＋x）或f（a＋b－x）＝f（x） y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 f（a－x）＋f（a＋x）＝2b或f（2a－x）＋f（x）＝2b y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称 f（a－x）＋f（c＋x）＝2b或f（a＋c－x）＋f（x）＝2b y＝f（x）的图象关于点（，b）对称 y＝f（x）的图象同时关于直线x＝a，x＝b对称 f（x）是周期函数，周期T＝2｜b－a｜ y＝f（x）的图象同时关于点（a，m），（b，n）对称 f（x）是周期函数，周期T＝2｜b－a｜ y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，且关于点（b，c）对称 f（x）是周期函数，周期T＝4｜b－a｜ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到.（　×　） （2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称.（　×　） （3）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－x－1）的图象.（　×　） 2.将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，再向下平移1个单位长度后所得函数的解析式为（　　） A.y＝（x＋2）2＋1 B.y＝（x－2）2＋1 C.y＝（x－2）2－1 D.y＝（x＋2）2－1 解析：C　将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，可得函数y＝（x－2）2的图象，再将函数y＝（x－2）2的图象向下平移1个单位长度后得到函数y＝（x－2）2－1的图象.故选C. 3.（人A必修一 P85练习1题改编）已知图1中的图象是函数y＝f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（　　） A.y＝f（｜x｜） B.y＝｜f（x）｜ C.y＝f（－｜x｜） D.y＝－f（－｜x｜） 解析：C　因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉函数y＝f（x）图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧的图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图2中的图象对应的函数可能是y＝f（－｜x｜）.故选C. 4.函数y＝f（－2－x）与y＝f（x＋2）的图象关于直线　x＝－2　对称. 解析：由题意知，－2－x＝x＋2，得x＝－2，所以函数y＝f（－2－x）与y＝f（x＋2）的图象关于直线x＝－2对称. 5.若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是　（0，＋∞）　. 解析：由题意得a＝｜x｜＋x，令y＝｜x｜＋x＝其图象如图所示，故要使a＝｜x｜＋x只有一个解，则a＞0. 作函数图象（师生共研过关） 作出下列函数的图象： （1）y＝2x＋1－1； 解：（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示. （2）y＝｜lg（x－1）｜. 解：（2）首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）. 解题技法 作函数图象的两种常用方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出； （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出. 提醒 （1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要注意变换顺序. 作出下列函数的图象： （1）y＝； 解：（1）y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图1所示. （2）y＝（）｜x＋2｜. 解：（2）作出y＝（）x的图象，保留y＝（）x的图象中x≥0的部分，加上y＝（）x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝（）｜x｜的图象，再向左平移2个单位长度，即得y＝（）｜x＋2｜的图象，如图2所示. 函数图象的识别（师生共研过关） （1）（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　B　） 解析：（1）由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝－（－x）2＋（e－x－ex）sin（－x）＝－x2＋（ex－e－x）sin x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f（1）＝－1＋（e－）sin 1＞－1＋（e－）sin＝－1＋－＞0，排除D.故选B. （2）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（　B　） A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0 C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＜0 解析：（2）函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞0，则c＜0；f（0）＝＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，则x＝－，根据题图得，－＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.故选B. 解题技法 1.抓住函数的性质，定性分析 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）从函数的周期性，判断图象的循环往复； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算 利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决问题. 1.（2025·湖南师大附中二模）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝－ B.f（x）＝－ C.f（x）＝－ D.f（x）＝－ 解析：A　由题图可知，函数f（x）为偶函数，应排除C；由图象可知，f（x）的定义域不是全体实数，应排除B；对于D选项，当x＞1时，f（x）＝－，f'（x）＝＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，故排除D.故选A. 2.已知函数f（x）＝xln x的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象为（　　） 解析：D　易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜1，所以函数f（1－x）的定义域为（－∞，1），故排除A、C；又当x＝－1时，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln 2＞0，故排除B.故选D. 函数图象的应用（定向精析突破） 考向1　研究函数的性质 〔多选〕对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f（x）＝2－x2，g（x）＝x2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（　　） A.函数F（x）是偶函数 B.方程F（x）＝0有3个解 C.函数F（x）在区间[－1，1]上单调递增 D.函数F（x）有4个单调区间 解析：ABD　根据函数f（x）＝2－x2与g（x）＝x2，画出函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，如图.由图象可知，函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F（x）的图象与x轴有3个交点，所以方程F（x）＝0有3个解，所以B项正确；函数F（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，所以C项错误，D项正确. 解题技法 利用函数的图象研究函数的性质 　　对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： （1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性. 考向2　探究不等式问题 若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，则满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（　　） A.（－3，0）∪（3，＋∞） B.（－3，0）∪（0，3） C.（－∞，－3）∪（3，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，3） 解析：C　因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－3）＝0，作出简图，如图所示，当x＞0时，由xf（x）＜0得f（x）＜0，即x＞3，当x＜0时，由xf（x）＜0得f（x）＞0，即x＜－3，当x＝0时，xf（x）＝0不合题意，所以满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（－∞，－3）∪（3，＋∞），故选C. 解题技法 利用函数图象研究不等式问题的方法 　　当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解. 1.〔多选〕关于函数f（x）＝，下列结论正确的是（　　） A.f（x）的图象过原点 B.f（x）是奇函数 C.f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减 D.f（x）是定义域上的增函数 解析：AC　f（x）＝＝＝1＋，将y＝的图象向右平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，即可得到f（x）＝的图象，如图所示.由图可得A、C正确，故选A、C. 2.若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为　　. 解析：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，由题意知，f（2）≤g（2），即a2－1≤×2－1，解得a≤.综上，a的取值范围是. 1.函数y＝－ex的图象（　　） A.与y＝ex的图象关于y轴对称 B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称 C.与y＝e－x的图象关于y轴对称 D.与y＝e－x的图象关于坐标原点对称 解析：D　由点（x，y）关于原点的对称点是（－x，－y），可知D正确. 2.函数g（x）＝x｜x－1｜＋1的单调递减区间为（　　） A. B. C.[1，＋∞） D.∪[1，＋∞） 解析：B　g（x）＝x｜x－1｜＋1＝画出函数图象，如图所示，由图知函数的单调递减区间为.故选B. 3.（2025·福建适应性练习卷）函数f（x）＝x2＋cos x在[－π，π]上的图象大致为（　　） 解析：A　由题意知，f（－x）＝（－x）2＋cos（－x）＝x2＋cos x＝f（x），所以f（x）为偶函数，排除C、D.下面只需讨论x∈[0，π]时的情况，因为f'（x）＝x－sin x，f″（x）＝1－cos x≥0，所以f'（x）在[0，π]上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）≥0在[0，π]上恒成立，因此f（x）在[0，π]上单调递增，排除B，故选A. 4.函数g（x）＝f（x－1）－f（1－x）的图象可能是（　　） 解析：D　法一 函数g（x）＝f（x－1）－f（1－x），将x代换成2－x，则g（2－x）＝f（1－x）－f（x－1）＝－g（x），所以g（2－x）＋g（x）＝0，则函数g（x）的图象关于点（1，0）对称，故选项A、B、C错误，选项D正确.故选D. 法二 易知y＝f（x）－f（－x）为奇函数，其图象关于原点对称，而g（x）＝f（x－1）－f（1－x）的图象是由函数y＝f（x）－f（－x）的图象向右平移一个单位长度得到的，结合选项可知，选D. 5.已知函数f（x）＝｜lg（x＋1）｜，若f（a）＝f（b）（a＜b），则（　　） A.（a－1）（b－1）＞1 B.（a－1）（b－1）＝1 C.（a－1）（b－1）＜1 D.以上选项均有可能 解析：C　作出函数f（x）＝｜lg（x＋1）｜的图象，如图，由题意可知，－lg（a＋1）＝lg（b＋1），且由图象可知，－1＜a＜0＜b，ab＜0，所以即lg（a＋1）＋lg（b＋1）＝lg（a＋1）（b＋1）＝0，所以（a＋1）（b＋1）＝1，即ab＋a＋b＝0，a＋b＝－ab，即（a－1）（b－1）＝ab－a－b＋1＝1＋2ab＜1，故选C. 6.〔多选〕（2025·南通期初考试）下列曲线平移后可得到曲线y＝2x的是（　　） A.y＝2x＋3 B.y＝2x－3 C.y＝23x D.y＝ 解析：ABD　对于A，曲线y＝2x＋3向右平移3个单位长度可得到曲线y＝2x，故A正确；对于B，曲线y＝2x－3向上平移3个单位长度可得到曲线y＝2x，故B正确；对于C，曲线y＝23x横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线y＝2x，故C错误；对于D，曲线y＝＝＝向左平移log23个单位长度可得到曲线y＝2x，故D正确；故选A、B、D. 7.将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝　log2x　. 解析：将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，可得函数y＝log2（2x＋2）－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y＝log2[2（x－1）＋2]－1＝log2（2x）－1的图象，所以g（x）＝log2（2x）－1＝log2x. 8.函数y＝logax（a＞0，且a≠1）与函数y＝－a－x（a＞0，且a≠1）图象的对称关系是　关于直线y＝－x对称　. 解析：法一 在同一平面直角坐标系中，分别画出当0＜a＜1与a＞1时y＝logax（a＞0，且a≠1）和y＝－a－x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，由图象知，y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝－a－x（a＞0，且a≠1）的图象关于直线y＝－x对称. 法二 在y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象上任取一点P（x，y），则点（y，x）在函数y＝ax的图象上，点（－y，x）在函数y＝a－x的图象上，点（－y，－x）在y＝－a－x的图象上，而点（x，y）与（－y，－x）关于直线y＝－x对称. 法三　因为函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象关于直线y＝x对称.而y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝－a－x（a＞0，且a≠1）的图象关于原点对称，则y＝logax的图象与y＝－a－x的图象关于直线y＝－x对称. 9.已知f（x）＝是定义在R上的奇函数. （1）请画出f（x）的大致图象并在图象上标注零点； （2）已知a＞1，若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解：（1）根据题意，列表如下， x －2 －1 0 1 2 f（x） 0 －1 0 1 0 f（x）的大致图象如图所示，其中有－2，0，2三个零点. （2）由（1）的函数图象可知，要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，则－1＜a－2≤1，即1＜a≤3，故a的取值范围为（1，3]. 10.（2024·潍坊二模）已知函数f（x）＝则f（x）图象上关于原点对称的点有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解析：C　作出f（x）的图象，函数y＝（）x，x≥0关于原点对称的图象如图所示.因为函数y＝（）x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－｜x2＋2x｜，x＜0的图象有三个交点，故f（x）图象上关于原点对称的点有3对.故选C. 11.（情境创新）“家在花园里，城在山水间，半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园……”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境.如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（　　） A.y＝｜x｜ B.y＝x C.y＝ D.y＝ 解析：C　依题意，“心形”图形关于y轴对称，所以x轴上方的图象对应的函数为偶函数，所以函数y＝x和y＝都不满足题意，故排除选项B、D；当0＜x＜2时，y＝｜x｜≤＝2，当且仅当x＝时，等号成立，即函数y＝｜x｜的最大值为2.又“心形”图形对应函数的最大值为1，故排除选项A；y＝的图象过点（0，0），（－2，0），（2，0），且当0＜x＜2时，y＝＝＝≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，即函数y＝的最大值为1，满足题意，故选C. 12.〔多选〕某同学在研究函数f（x）＝（x∈R）时，给出了下面几个结论，其中正确的是（　　） A.f（x）的图象关于点（－1，1）对称 B.f（x）是单调函数 C.f（x）的值域为（－1，1） D.函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点 解析：BCD　作出y＝f（x）的图象，如图所示，对于A，f（x）的图象关于点（0，0）对称，不关于点（－1，1）对称，故A错误；对于B，f（x）是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于D，令g（x）＝f（x）－x＝0，得x＝0，解得x＝0，所以函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点，故D正确. 13.设函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x－1）.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则m的取值范围是　　. 解析：因为f（x＋1）＝2f（x），所以f（x）＝2f（x－1）.因为x∈（0，1]时，f（x）＝x（x－1）∈，所以x∈（1，2]时，x－1∈（0，1]，f（x）＝2f（x－1）＝2（x－1）（x－2）∈；所以x∈（2，3]时，x－1∈（1，2]，f（x）＝2f（x－1）＝4（x－2）（x－3）∈[－1，0].如图，当x∈（2，3]时，由4（x－2）（x－3）＝－，解得x1＝，x2＝.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则m≤，则m的取值范围是. 14.（解题路径创新）已知函数f（x）＝ （1）若函数f（x）＝在区间（0，2）内恰有两个零点，求实数m的取值范围； （2）若函数f（x）为R上的奇函数，求函数F（x）＝f（x）－sin x，x∈[－π，π]的零点个数. 解：（1）如图1，当m＝0时，符合题意；当m＞0时，不符合题意；如图2，当m＝－1时，不符合题意，当－1＜m＜0时，符合题意， 所以符合题意的实数m的取值范围是（－1，0]. （2）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0， 从而m＝－1，f（x）的图象如图3. 所以F（x）的零点个数为9. 15.（情境创新）〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（　　） A.函数f（x）的最大值为1 B.函数f（x）的最小值为0 C.函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点 D.f（x＋1）＝f（x） 解析：BCD　由题意得：f（x）＝x－[x]＝由解析式可得函数图象如图所示，对于A， 函数f（x）＜1，A错误；对于B，函数f（x）的最小值为0，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点，C正确；对于D，函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），D正确；故选B、C、D. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $