第一章 第一节 集合-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学讲义围绕集合核心考点，涵盖元素与集合关系、集合间基本关系及运算，依据课标要求构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生突破互异性、空集等难点，体现复习系统性与针对性。 资料创新采用“讲练结合+素养导向”教学法，如用Venn图直观表达集合关系培养数学眼光，通过对称差新定义问题训练逻辑推理能力，设置基础、提升、综合分层练习，确保高效突破，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

第一节　集合 课标要求 1.了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集. 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 1.元素与集合 （1）集合元素的特性：确定性、　互异性　、无序性； （2）集合的表示方法：　列举法　、　描述法　、图示法； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为　∈　；不属于，记为　∉　； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　正整数　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　整数　集，Q表示　有理数　集，R表示实数集. 提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素 A⊆B　 （或B⊇A） 或 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A A⫋B （或B⫌A） 集合相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A＝B 提醒 （1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集；（2）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（3）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A， 或x∈B} A∩B＝　{x｜x∈A， 且x∈B} ∁UA＝　{x｜x∈U， 且x∉A} 1.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个集合都至少有两个子集.（　×　） （2）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝{0，1}.（　√　） （3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（　×　） （4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　×　） （5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　×　） 2.（人A必修一P14习题4题改编）设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T＝（　　） A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4} C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1} 解析：C　因为S＝{x｜x＞－2}，所以∁RS＝{x｜x≤－2}.而T＝{x｜－4≤x≤1}，所以（∁RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}. 3.（人A必修一P35复习参考题8题改编）若集合M＝{（x，y）｜y＝1}，集合N＝{（x，y）｜x＝0}，则M∩N＝（　　） A.{0，1} B.{（0，1）} C.{（1，0）} D.{（0，1），（1，0）} 解析：B　集合M表示纵坐标为1的点集，集合N表示横坐标为0的点集，所以M∩N＝{（0，1）}，故选B. 4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　1或4　. 解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4. 5.（苏教必修一P12习题7题改编）已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x≤2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　（2，＋∞）　. 解析：由图可知a＞2. 集合的基本概念（基础自学过关） 1.已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1∉A，2∈A，则（　　） A.a＞1 B.a≤2 C.2＜a≤4 D.2≤a＜4 解析：D　∵1∉A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故选D. 2.已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　） A.4 B.5 C.8 D.9 解析：B　因为x2＋y2≤，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，得y＝0；当x＝0时，得y＝－1，0或1；当x＝1时，得y＝0.所以A＝{（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，0）}，共有5个元素. 3.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 025＋b2 026＝　0　. 解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0. 4.若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是　{1，－1}　. 解析：若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝（2k）2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}. 练后悟通 解决与集合中的元素有关问题的一般思路 集合间的基本关系（师生共研过关） （1）（人A必修一P9练习3（2）题改编）已知集合M＝{x｜x＝k＋，k∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈Z}，则（　A　） A.M⊆N　B.N⊆M C.M＝N　D.M∩N＝⌀ （2）已知集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}，B＝{x｜（x＋2）（x－3）＜0}，且A⊆B，则（　C　） A.－1≤a≤2 B.－1＜a＜2 C.－2≤a≤1 D.－2＜a＜1 解析：（1）M＝{x｜x＝k＋，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N.故选A. （2）由（x＋2）（x－3）＜0，解得－2＜x＜3，所以B＝{x｜－2＜x＜3}，集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}≠⌀.因为A⊆B，所以解得－2≤a≤1. 解题技法 1.判断集合间关系的常用方法 2.求参数的方法 将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解. 提醒　当B为A的子集时，易漏掉B＝⌀的情况. 1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　） 解析：A　因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A. 2.（2025·南宁第一次适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B的一个子集.试写出这样的一个集合C＝　{4，7}（答案不唯一）　. 解析：逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}. 集合的基本运算（定向精析突破） 考向1　集合的运算 （1）（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　A　） A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} 解析：（1）法一 因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A. 法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A. （2）（2025·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（　A　） A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1} C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3} 解析：（2）因为B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为∁R（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A. 解题技法 集合基本运算的方法技巧 考向2　利用集合的运算求参数 已知集合A＝{x∈Z｜x2＜3}，B＝{x｜a＜x＜a＋}，若A∩B有2个元素，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0）∪（1，＋∞）　　B.（－，0） C.（－，－1）∪（－，0） D.（－，－1） 解析：C　A＝{x∈Z｜x2＜3}＝{－1，0，1}，B＝{x｜a＜x＜a＋}，若A∩B有2个元素，则或解得－＜a＜－1或－＜a＜0，所以实数a的取值范围是（－，－1）∪（－，0）.故选C. 解题技法 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 考向3　集合的新定义问题 〔多选〕对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是（　　） A.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝⌀ B.若A，B⊆R且A⊕B＝⌀，则A＝B C.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D.存在A，B⊆R，使得A⊕B＝（∁RA）⊕（∁RB） 解析：ABD　对于A选项，因为A⊕B＝B，所以B＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝⌀，故A为真命题；对于B选项，因为A⊕B＝⌀，所以⌀＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}，所以A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，故B为真命题；对于C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，故C为假命题；对于D选项，若A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则A∪B＝R，A∩B＝{x｜1＜x＜2}，所以A⊕B＝{x｜x≤1或x≥2}，∁RA＝{x｜x≥2}，∁RB＝{x｜x≤1}，所以（∁RA）∪（∁RB）＝{x｜x≤1或x≥2}，（∁RA）∩（∁RB）＝⌀，所以（∁RA）⊕（∁RB）＝{x｜x≤1或x≥2}，因此A⊕B＝（∁RA）⊕（∁RB），故D为真命题.故选A、B、D. 解题技法 　　解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的新定义，依照新定义中某些限定条件，联系所学过的知识找出解题的突破口. 1.（2024·上饶一模）设全集U＝R，集合A＝{x｜3x＞9}，B＝{x｜－2≤x≤4}，则（∁UA）∩B＝（　　） A.[－1，0） B.（0，5） C.[0，5] D.[－2，2] 解析：D　A＝{x｜3x＞9}＝{x｜x＞2}，故∁UA＝{x｜x≤2}，所以（∁UA）∩B＝{x｜－2≤x≤2}＝[－2，2]. 2.已知集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞0}.若A∪B＝R，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（1，3） C.[1，3] D.[3，＋∞） 解析：B　因为集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞0}＝{x｜x＜1或x＞4}，且A∪B＝R，所以解得1＜a＜3，即a的取值范围是（1，3），故选B. 3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　{x｜－3≤x＜0或x＞3}　. 解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}. 1.（2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（　　） A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析：A　由题意知M＝{2，4，5}，故选A. 2.（2024·苏州3月适应性考试）已知集合A＝{－2，0，1，3}，B＝{－1，0，1，2}，则A∩B的真子集个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：B　因为A＝{－2，0，1，3}，B＝{－1，0，1，2}，得到A∩B＝{0，1}，所以A∩B的真子集个数为22－1＝3，故选B. 3.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（　　） A.2 B.1 C. D.－1 解析：B　由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B.综上所述，a＝1.故选B. 4.（2025·潍坊高考模拟考试）已知集合A＝{x｜log3（2x＋1）＝2}，集合B＝{2，a}，其中a∈R.若A∪B＝B，则a＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：D　法一（直接法） 由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.由A∪B＝B，得A⊆B，所以a＝4，故选D. 法二（排除法） 由2x＋1＝32，得x＝4，所以A＝{4}.a＝1时，A∪B＝{1，2，4}≠B，排除A；a＝2时不满足集合元素的互异性，排除B；a＝3时，A∪B＝{2，3，4}≠B，排除C.故选D. 5.设全集I是实数集R，M＝{x｜y＝ln（x－2）}与N＝{x｜≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（　　） A.{x｜x＜2} B.{x｜－2≤x＜1} C.{x｜1＜x≤2} D.{x｜－2≤x≤2} 解析：C　集合M表示函数y＝ln（x－2）的定义域，由x－2＞0，解得x＞2，故M＝{x｜x＞2}；由≤0，解得1＜x≤3，即N＝{x｜1＜x≤3}，而图中阴影部分表示（∁IM）∩N＝{x｜x≤2}∩{x｜1＜x≤3}＝{x｜1＜x≤2}. 6.已知集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x2－ax＜0}，且A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是（　　） A.（2，4] B.（2，4） C.（2，3] D.[2，4] 解析：A　由题意得A＝{x｜x＝2n，n∈N}＝{0，2，4，6，8，…}，B＝{x｜x2－ax＜0}＝{x｜x（x－a）＜0}，由于A∩B中只有一个元素，所以a＞0，B＝（0，a），因此A∩B＝{2}，得2＜a≤4，故选A. 7.（创新命题设置）已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示： A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8} B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2} A·B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8} 若A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}，试根据表中的规律写出A·B＝（　　） A.{2 026，2 027} B.{－2 026，2 026} C.{－2 026，2 027} D.{2 026，－2 027} 解析：A　通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}时，A·B＝{2 026，2 027}. 8.〔多选〕已知全集为U，集合A，B，C均为U的子集.若A∩B＝⌀，A∩C≠⌀，B∩C≠⌀，则下列说法一定正确的是（　　） A.A⊆∁U（B∩C） B.C⊆∁U（A∪B） C.A∪B∪C＝U D.A∩B∩C＝⌀ 解析：AD　由题意得A⊆∁UB，又∁U（B∩C）＝（∁UB）∪（∁UC），所以A⊆∁U（B∩C），故A正确；符合题意的集合A，B，C及全集U的关系可用如图所示的Venn图表示，由图可知C不是∁U（A∪B）的子集，故B错误；集合A∪B∪C与全集U不一定相等，故C错误；由A∩B＝⌀，可得A∩B∩C＝⌀∩C＝⌀，故D正确.综上，选A、D. 9.〔多选〕设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若对任意x∈R，m＋n＝1，则A，B间的关系为（　　） A.B＝∁RA B.B＝∁R（A∩B） C.A＝∁RB D.A＝∁R（A∩B） 解析：AC　因为m＝n＝且对任意x∈R，m＋n＝1，所以m，n的值一个为0时，另一个为1，即x∈A时，x∉B或x∈B时，x∉A，所以A，B间的关系为B＝∁RA或A＝∁RB，故选A、C. 10.已知集合A＝{x，x2＋1，－1}中的最大元素为2，则实数x＝　1　. 解析：因为x2＋1－x＝（x－）2＋＞0，所以x2＋1＞x，所以x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1，显然x＝－1不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验x＝1符合题意. 11.设I是全集，非空集合P，Q满足P⫋Q⫋I，若含有P，Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是　P∩（∁IQ）＝⌀（答案不唯一）　. 解析：由P⫋Q⫋I，可得Venn图如图所示，从而有P∩（∁IQ）＝⌀. 12.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，5人听了全部讲座，则听讲座的人数为　184　. 解析：设全年级同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用Venn图表示，如图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184. 13.（创新考法）设A（0，0），B（4，0），C（t＋4，4），D（t，4）（t∈{0，1，2}）.记N（t）为▱ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（t）的集合是（　　） A.{9，10，11} B.{9，10，12} C.{9，11，12} D.{10，11，12} 解析：C　如图所示，当t＝0时，▱ABC1D1的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C1（4，4），D1（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9个，N（0）＝9，故选项D被排除掉；当t＝1时，▱ABC2D2的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C2（5，4），D2（1，4），同理知N（1）＝12，故选项A被排除掉；当t＝2时，▱ABC3D3的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C3（6，4），D3（2，4），同理知N（2）＝11，故选项B被排除掉. 14.（新定义）〔多选〕若非空数集M满足对任意x，y∈M，都有x＋y∈M，x－y∈M，则称M为“优集”.已知集合A，B是“优集”，则下列命题中正确的是（　　） A.A∩B是“优集” B.A∪B是“优集” C.若A∪B是“优集”，则A⊆B或B⊆A D.若A∪B是“优集”，则A∩B是“优集” 解析：ACD　对于选项A，任取x∈A∩B，y∈A∩B，因为集合A，B是“优集”，则x＋y∈A，x＋y∈B，则x＋y∈A∩B，因为x－y∈A，x－y∈B，则x－y∈A∩B，所以A正确.对于选项B，取A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝3m，m∈Z}，则A∪B＝{x｜x＝2k或x＝3k，k∈Z}，令x＝3，y＝2，则x＋y＝5∉A∪B，故B错误.对于选项C，任取x∈A，y∈B，则x，y∈A∪B，因为A∪B是“优集”，所以x＋y∈A∪B，x－y∈A∪B，若x＋y∈B，则x＝（x＋y）－y∈B，此时A⊆B，若x＋y∈A，则y＝（x＋y）－x∈A，此时B⊆A，故C正确.对于选项D，因为A∪B是“优集”，所以A⊆B或B⊆A.当A⊆B时，A∩B＝A为“优集”，当B⊆A时，A∩B＝B为“优集”，所以A∩B是“优集”，故D正确.故选A、C、D. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $