第七单元 解决问题的策略（知识清单）数学苏教版五年级上册

第七单元 解决问题的策略 单元知识清单讲义 知识点一：解决问题的策略 1、一一列举（有序列举）。 按照一定的顺序，把符合条件的所有答案一个一个地列举出来，从而找到所有可能的解。 关键是不重复、不遗漏。 2.、适用问题类型。 组合问题：如用若干数字组成几位数；几种物品搭配成不同的套餐。 图形问题：如用固定长度的栅栏围出不同的长方形，求面积最大是多少。 实际问题：如付钱方式、路线选择等。 3、操作方法。 列表法：将列举出的情况用表格有序地呈现出来，清晰直观。 画图法/连线法：用简单的图示或连线来表示所有组合。 先分类，再列举：先确定一个大类，再在大类中有序枚举。 题型1：加法原理解决问题 【例1】乐乐从家到少年宫，如果只能向南、向西走，一共有多少种不同的路线可走？ 【答案】6种 【分析】如图，把每一顶点和交点都标上字母，根据行走的规定（只能向西或向南走），用字母一一列举即可； 从点A出发有两条不同的路线；其中ABF可以直接到达，从点A出发走到点K的时候，出现两条，经过AKJHGF和AKJHEF这两条； 从点A出发走到点K的时候，经过AKICEF、AKIHEF和AKIHGF，有三条。 【解答】 路线可以是：ABF、AKJHGF、AKJHEF、AKICEF、AKIHEF和AKIHGF。 1＋2＋3＝6（条） 答：一共有6种不同的路线可走。 【练1】有1克、5克、10克的砝码各一个。选择其中的一个或几个，在天平上能称出多少种不同质量的物品？（砝码只放在右边的托盘里） 【答案】7种 【分析】依据题意，结合质量不同的砝码可以组合成的情况，采取列举的方法，写出把所有情况列举出来，然后再将列举的情况相加即可解答。 【解答】选择其中的一个砝码时可以称出：1克、5克、10克，这3种不同质量的物品； 选择其中的两个砝码时可以称出：1＋5＝6（克），1＋10＝11（克），5＋10＝15（克），这3种不同质量的物品； 选择这三个砝码时可以称出：1＋5＋10＝16（克）质量的物品。 3＋3＋1＝7（种） 答：选择其中的一个或几个，在天平上能称出7种不同质量的物品。 【练2】有5、7、9三张数字卡片，任意选其中的一张、两张或三张，可以组成不同的自然数。一共能组成多少个不同的自然数？（把这些自然数都写出来） 【答案】15个；5、7、9、57、59、75、79、95、97、579、597、759、795、957、975。 【分析】按照一位数，两位数，三位数，分别写出用5、7、9三个数字组成不同的数，然后把个数相加即可，写数时要按照一定的顺序写，不要重复写和漏写． 【解答】5、7、9三张数字卡片组成的一位数有：5、7、9，共3个； 5、7、9三张数字卡片组成的两位数有：57、59、75、79、95、97，共6个； 5、7、9三张数字卡片组成的三位数有：579、597、759、795、957、975，共6个； （个） 答：一共能组成15个不同的自然数：5、7、9、57、59、75、79、95、97、579、597、759、795、957、975。 题型2：乘法原理解决问题 【例2】奇思和妙想各有下面3张扑克牌，每人从中任意抽出一张，有哪几种可能的结果？ 【答案】KK、JJ、QQ、KJ、KQ、JK、JQ、QK、QJ；9种 【分析】一共有3种花色，每选择一种花色都可以有3种搭配方式，3个花色就有（3×3）种搭配方式，列举出所有的可能性即可。 【解答】3×3＝9（种） K可以与K、J、Q搭配； J可以与K、J、Q搭配； Q可以与K、J、Q搭配； 答：KK、JJ、QQ、KJ、KQ、JK、JQ、QK、QJ共9种可能的结果。 【练3】如图所示，从少年宫出发经过邮局去图书馆，如果只能往东走或往北走，一共有多少种不同的走法？ 【答案】6种 【分析】由题意可知，只能往东走或往北走，则从少年宫到邮局共有2条路，从邮局到图书馆共有3条路，所以共有2×3＝6种不同的走法。 【解答】2×3＝6（种） 答：一共有6种不同的走法，。 【练4】小明从家到学校有2条路可以走，从学校到少年宫有4条路可以走，如果小明从家出发到少年宫，共有多少种不同的走法？（画一画） 【答案】图见详解；8种 【分析】分两步完成，小明从家到学校有2条路可走，有2种选择，从学校到少年宫有4条路可以走，有4种选择，2种和4种搭配，根据乘法原理：用2×4，据此画图解答。 【解答】   2×4＝8（种） 答：如果小明从家出发到少年宫，共有8种不同的走法。 【点评】本题考查搭配问题，利用乘法原理进行解答问题。 题型3：列表法解决问题 【例3】小明要给在外地打工的爸爸寄一张生日卡片，需要贴1元的邮票。如果只有5角、2角和1角三种面值的邮票，那么一共有多少种不同的贴法？ 【答案】10种 【分析】由于1元等于10角，只要让5角和2角和1角这些面值的相加是10角即可，可以先用2个5角，之后再考虑只用1个5角的，最后考虑5角不用的情况，列举出来即可。 【解答】由分析可知：    答：一共有10种不同的贴法。 【点评】本题主要考查搭配问题，可以把所有情况列举出来。 【练5】王大爷家的后院有18根1米长的木条，他一直想用这些木条围成一个长方形的苗圃培育种苗，来增加家庭收入，但苦于不知怎么做。你来帮王大爷设计一下，怎样围面积最大？（取整米数） （1）请你把能围成的长方形“一一列举”出来，完成下面的表格。 长/米 8 宽/米 1 面积/平方米 8 （2）通过对上面情况的比较，我发现长（    ）米、宽（    ）米时，面积最大。 【答案】（1）见详解；（2）5；4 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，可知这个长方形的周长是18米，用18÷2即可求出一条长和一条宽的和，也就是9米，然后把9拆分成2个数相加，先从1开始，有顺序地一一列举，才能找到所有正确答案，可以用表格整理。 【解答】（1）18÷2＝9（米） 9＝1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5 用表格整理： 长/米 8 7 6 5 宽/米 1 2 3 4 面积/平方米 8 14 18 20 （2）20＞18＞14＞8 通过对上面情况的比较，我发现长5米、宽4米时，面积最大。 【点评】本题可通过列举和表格法来解决问题。 【练6】有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，共有多少种不同的拿法？每次拿出的币值是多少？在下表中填一填，再回答。 1角硬币数量/枚 5角硬币数量/枚 1元硬币数量/枚 币值/元 【答案】7种；拿出的币值是0.1元、0.5元、1元、0.6元、1.1元、1.5元和1.6元 【分析】有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，可以每次取出1枚，共有3种；每次取出2枚，共有3种；每次取出3枚，共有1种；由此一共有3＋3＋1＝7种不同拿法，据此列举解答即可。 【解答】每次取出1枚，共有3种； ①1角1枚，币值1角＝0.1元； ②5角1枚，币值5角＝0.5元； ③1元1枚，币值1元； 每次取出2枚，共有3种； ①1角1枚，5角1枚，币值1角＋5角＝6角＝0.6元； ②1角1枚，1元1枚，币值1角＋1元＝1元1角＝1.1元； ③5角1枚，1元1枚，币值5角＋1元＝1元5角＝1.5元； 每次取出3枚，共有1种；1角1枚，5角1枚，1元1枚，币值1角＋5角＋1元＝1元6角＝1.6元 填表如下： 1角硬市数量/枚 1 0 0 1 1 0 1 5角硬币数量/枚 0 1 0 1 0 1 1 1元硬币数量/枚 0 0 1 0 1 1 1 币值/元 0.1 0.5 1 0.6 1.1 1.5 1.6 答：共有7种不同的拿法，每次拿出的币值是0.1元、0.5元、1元、0.6元、1.1元、1.5元和1.6元。 题型4：连线法解决问题 【例4】小红、小兰、小秀、小青和小丽五名同学进行乒乓球比赛，每两人都要赛一场。现在，小红已经赛了4场，小兰赛了4场，小青赛了2场，小秀赛了3场。小丽赛了几场？分别是和谁赛的？（先在图中连线表示已赛的场数，再回答） 【答案】3场；分别与小红、小兰、小秀赛的 【分析】一共有五位同学：小红、小兰、小秀、小青和小丽，因为每两人都要赛一场，所以每人最多赛4场；然后根据小红已经赛了4场，小兰也赛了4场，可得小红、小兰与其余的人都进行过比赛，所以小青和小红、小兰都比赛过，没有同其余的同学比赛过；小秀赛了3场，除了与小红、小兰赛的2场外，还有1场，只能是与小丽赛的，因此，小丽也赛了3场，分别与小红、小兰、小秀赛的，据此解答即可。 【解答】如图所示： 因为小红已经赛了4场，小兰也赛了4场，所以小红、小兰与其余的人都进行过比赛；因为小青赛了2场，所以小青和小红、小兰都比赛过，没有同其余的同学比赛过；又因为小秀赛了3场，除了与小红、小兰赛的2场外，还有1场，只能是与小丽赛的，所以小丽也赛了3场，分别与小红、小兰、小秀赛的。 答：小丽也赛了3场，分别与小红、小兰、小秀赛的。 【练7】下图中有9个点，一共可以围出多少个正方形？ 【答案】6个 【分析】四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。根据正方形的特征，小正方形有4个，4个小正方形拼成1个大正方形，连接大正方形每边中点，又出现1个正方形，据此分析。 【解答】 、、 、、 4＋1＋1＝6（个） 答：一共可以围出6个正方形。 一、选择题 1．有1克、2克、4克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出（    ）种不同质量的物体。（注意：砝码只能放在天平的右侧） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据题意，如果选其中的一个砝码，可以称出1克、2克、4克的物体；如果选其中的两个砝码，1＋2＝3（克），1＋4＝5（克），2＋4＝6（克），即可以称出3克、5克、6克的物体；如果选其中的三个砝码，1＋2＋4＝7（克），即可以称出7克的物体。据此解答。 【解答】通过分析可得：如果选其中的一个砝码，可以称出3种不同质量的物体；如果选其中的两个砝码，可以称出3种不同质量的物体；如果选其中的三个砝码，可以称出1种不同质量的物体。3＋3＋1＝7（种），则一共能在天平上直接称出7种不同质量的物体。 故答案为：A 2．下图中一共有（    ）个正方形。 A．16 B．24 C．30 D．32 【答案】C 【分析】四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。据此分别数出边长是1、2、3、4的正方形个数，相加即可。 【解答】边长是1的正方形有：4×4＝16（个） 边长是2的正方形有：3×3＝9（个） 边长是3的正方形有：2×2＝4（个） 边长是4的正方形有：1个 16＋9＋4＋1＝30（个） 图中一共有30个正方形。 故答案为：C 3．一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试（    ）次才能配好全部的钥匙和锁。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】第一把钥匙最坏的情况要试3次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的3把锁和3把钥匙，最坏的情况要试2次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了。据此解答即可。 【解答】由分析可知： 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（次） 一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试6次才能配好全部的钥匙和锁。 故答案为：A 4．从4名女生和2名男生当中，挑选男、女主持人各一名主持节目，一共有（    ）种不同的选法。 A．6种 B．2种 C．8种 D．12种 【答案】C 【分析】先确定女生，每个女生都可以有2名男生进行搭配，因此用女生人数×男生人数即可。 【解答】4×2＝8（种） 一共有8种不同的选法。 故答案为：C 5．一列火车从泰州开往南京，途经江都、扬州、仪征、六合4个停靠站，这列火车往返于泰州与南京，一共需准备（     ）种不同的车票。 A．4 B．15 C．6 D．30 【答案】D 【分析】根据题意可知，中途要经过4个站，加上起点和终点，一共6个站。先考虑单程，从第一站到其他各站有5种，从第二站到下边各站有4种，从第三站到下边各站有3种，从第四站到下边各站有2种，从第五站到第六种有1种；据此计算出单程车票的种类，乘2即可求出往返车票的种类。 【解答】（5＋4＋3＋2＋1）×2 ＝（9＋3＋2＋1）×2 ＝（12＋2＋1）×2 ＝（14＋1）×2 ＝15×2 ＝30（种） 一列火车从泰州开往南京，途经江都、扬州、仪征、六合4个停靠站，这列火车往返于泰州与南京，一共需准备30种不同的车票。 故答案为：D 6．如图，穿一件衬衣和一条裙子，有（    ）种不同的穿法。 A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】A 【分析】观察题意可知，有3件衬衣，2条裤子，1条连衣裙，2条裙子，每件衬衣有2条裙子可以搭配，则3件衬衣就有（2×3）种搭配方法。据此解答。 【解答】2×3＝6（种） 穿一件衬衣和一条裙子，有6种不同的穿法。 故答案为：A 【点评】本题主要考查了搭配问题，可用乘法解决问题。 7．用1、2、3这三个数字和一个小数点，能组成（    ）个不同的一位小数。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】先排个位，有3种排法；再排十分位，有2种排法；最后排百分位，有1种排法：共有3×2×1＝6种；然后解答即可。 【解答】用1、2、3这三个数字和一个小数点，能组成6个不同的一位小数。 故答案为：A 【点评】本题考查用列举的策略解决问题，注意要按顺序写出，防止遗漏。 二、填空题 8．小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通（ ）次电话，他们4个人互相发一条微信问候，一共要发（ ）条。 【答案】6 12 【分析】小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，通过列举法分析：小明和小红、小明和小华、小明和小丽、小红和小华、小红和小丽、小华和小丽，依次为3次，2次，1次，所以一共要通6次电话。他们4个人互相发一条微信问候，小明要给小红、小华、小丽发微信，共3条；小红要给小明、小华、小丽发微信，共3条；小华要给小明、小红、小丽发微信，共3条；小丽要给小明、小红、小华发微信，共3条，所以总共4×3＝12条。 【解答】4人互相通话，两人通一次即可，按顺序累加3＋2＋1＝6次，所以小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通6次电话； 4人互相发微信，有发送接收顺序，即每人给另外3人发，4人就共发4×3＝12条，所以他们4个人互相发一条微信问候，一共要发12条。 9．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有（ ）个，其中最大的是（ ）。 【答案】8 80 【分析】从8开始，由大到小，分别做十位数，据此把个位上的数和十位上的数相加得8的两位数写出来，即可得出答案 【解答】十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数有：80、71、62、53、44、35、26、17，一共有8个，其中最大的是80。 10．一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到（ ）种不同的环数。 【答案】5 【分析】把所有可能的情况，一一列举，进而找出一共几种不同的环数。 【解答】①投中2个8环，共得：8＋8＝16（环） ②投中2个6环，共得：6＋6＝12（环） ③投中2个4环，共得：4＋4＝8（环） ④投中1个8环，1个6环，共得：8＋6＝14（环） ⑤投中1个8环，1个4环，共得：8＋4＝12（环） ⑥投中1个6环，1个4环，共得：6＋4＝10（环） 其中②和⑤所得的环数相同，所以有5种不同的环数。 一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到5种不同的环数。 11．国庆节期间，三名同学互相通一次电话，一共通了（ ）次电话。见面后每两名同学又互相赠送一张贺卡，一共需要（ ）张贺卡。 【答案】3 6 【分析】 用○代表1名同学，通话总次数如图，因为是互相赠送一张贺卡，每人都得向另外2名同学分别赠送1张贺卡，一共有3名同学，因此用人数×2＝需要的贺卡总数量。 【解答】2＋1＝3（次） 3×2＝6（张） 一共通了3次电话。一共需要6张贺卡。 12．柜台里陈列有3种不同的书包，4种不同的文具盒。妈妈要给文文买一个书包和一个文具盒，一共有（ ）种不同的买法。 【答案】12 【分析】每一个书包可以搭配4个不同的文具盒，有3种不同的书包，就有（3×4）种搭配方式，可以用字母表示书包和文具盒，列举出所有的搭配方法。 【解答】3种不同的书包用字母A、B、C表示；4种不同的文具盒a、b、c、d表示。 搭配方式：Aa、Ab、Ac、Ad； Ba、Bb、Bc、Bd； Ca、Cb、Cc、Cd； 3×4＝12（种） 所以，妈要给文文买一个书包和一个文具盒，一共有12种不同的买法。 13．江苏省2024年的高考方案是“3＋1＋2”方案。“3”是指语文、数学、外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科。这样，新高考方案中最多出现（ ）种考试科目组。 【答案】12 【分析】“3”是指语文、数学、外语三门学科为必考科目，只有1种选择； “1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，有2种选择； “2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科，有6种选择； 一共有（1×2×6）种考试科目组。 【解答】1×2×6＝12（种） 新高考方案中最多出现12种考试科目组。 14．一次围棋比赛共有9名选手，每名选手都要与其他选手比赛一次，每局获胜者得2分，负者得0分，平局各自得1分。已知选手们的得分各不相同，且没有选手得0分，如果获得第五名的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等，那么获得第三名的选手得分是（ ）分。 【答案】13 【分析】围棋比赛共有9名选手，每名选手都要与其他选手比赛一次，则赛出了36场比赛，每局获胜者得2分，负者得0分，平局各自得1分，就是每场比赛都会产生2分，则整场比赛产生72分，没有选手得0分，则第一名不可能全部都赢，肯定有一场是平的，这样的情况下第一名的分数就是15分（剩了7场平了1场），得第五名的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相，设第五名的分数是x分，那么最后4名的总分也是x分。分情况进行讨论。 【解答】8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（场） 36×2＝72（分） 设第五名的分数是x分，那么最后4名的总分也是x分。 第一种情况：15＋14＋13＋12＋x＋x＝72 54＋2x＝72 2x＝72－54 2x＝18 x＝9 第二种情况：14＋13＋12＋11＋x＋x＝72 50＋2x＝72 2x＝72－50 2x＝22 x＝11 选手们的得分各不相同，则不成立 … 最后结论得出只有第一种情况成立。 则获得第三名的选手得分是13分。 三、解答题 15．红红有5元和2元的人民币若干张，她要拿出47元，有多少种不同的拿法？ 【答案】5种 【分析】根据题意，5元人民币的数量×5＋2元人民币的数量×2＝47，根据47÷5＝9（张）……2（元）可知5元的人民币最多只能有9张，据此逐渐减少5元人民币的数量，同时增加2元人民币的数量，直到找出所有总金额等于47元的组合方式即可。 【解答】47÷5＝9（张）……2（元） 拿9张5元1张2元：5×9＋2×1 ＝45＋2 ＝47（元） 拿7张5元6张2元：5×7＋2×6 ＝35＋12 ＝47（元） 拿5张5元11张2元：5×5＋2×11 ＝25＋22 ＝47（元） 拿3张5元16张2元：5×3＋2×16 ＝15＋32 ＝47（元） 拿1张5元21张2元：5×1＋2×21 ＝5＋42 ＝47（元） 答：有5种不同的拿法。 16．一种电池有4节装和6节装两种不同的包装。买40节电池，可以怎样购买？一共有多少种不同的选择方法？ 【答案】选择方法见详解；4种 【分析】根据题意，要买40节电池，有4节装和6节装两种不同的包装，因为40能被4整除，由此可知4节装的可以买10盒；再逐步减少4节装的盒数，增加6节装的盒数，两种包装的电池总和等于40即可，列举出所有不同的选择方法，再数一数，得出一共有几种不同的选择方法。 【解答】方法一：4节10盒； 4×10＝40（节） 方法二：4节7盒，6节2盒； 4×7＋6×2 ＝28＋12 ＝40（节） 方法三：4节4盒，6节4盒； 4×4＋6×4 ＝16＋24 ＝40（节） 方法四：4节1盒，6节6盒； 4×1＋6×6 ＝4＋36 ＝40（节） 答：可以买10盒4节的，或买7盒4节的和2盒6节的，或买4盒4节的和4盒6节的，或买1盒4节的和6盒6节的，一共有4种不同的选择方法。 17．《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 【答案】①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①；共18种。 【分析】因为有害垃圾桶不能放在最右边，所以最右边只能放“可回收物” “湿垃圾”“干垃圾”3种摆法，最右边摆放的垃圾种类固定后，剩下的几种垃圾可以随意排列摆放在左边3个位置上，可以有6种摆法，用画图连线表示如下： 【解答】答：可以按①②③④，②①③④，①③②④，③①②④，②③①④，③②①④，①②④③，②①④③，①④②③，④①②③，②④①③，④②①③，④③②①，③④②①，④②③①，②④③①，③②④①，②③④①的顺序摆放，一共有18种摆法。 18．实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 【答案】10种；6种 【分析】先给2种文艺类社团和3种体育类社团编号，然后用列举法把所有符合要求的组合列举出来，再数一数，即可得解。 【解答】设2种文艺类社团的编号为A、B；3种体育类社团的编号为C、D、E； 任意选择2种社团，可以是： AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，一共有10种不同的选法。 从文艺类社团和体育类社团中各选1种，可以是： AC、AD、AE、BC、BD、BE，一共有6种不同的选法。 答：他有10种不同的选法，如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有6种不同的选法。 19．红领巾广播站有3名男播音员和3名女播音员，每次必须安排一男一女，你认为一共有多少种不同的安排方法呢？（填表并解答） 男A 男A 男A 女A 女B 女C 【答案】9种，表格见详解 【分析】按照每次必须安排一男一女的组合规则，当组合中分别是男A、男B、男C时，均可以和另外三个女播音员配合，据此填表解答。 【解答】一共有9种不同的安排方法，如下表。 男A 男A 男A 男B 男B 男B 男C 男C 男C 女A 女B 女C 女A 女B 女C 女A 女B 女C 20．有2克、4克、10克的砝码各一个，选择其中的一个或几个，能组合成多少种不同的质量？ 【答案】7种 【分析】有2克、4克和10克的砝码各一个，是三种质量；任选两个砝码又是三种质量；选择三个是一种质量，能组成7种不同的质量。根据题意选择其中的一个或几个砝码，可知单个砝码的质量有：2克、4克和10克，两个砝码组成的有：2＋4＝6（克），2＋10＝12（克），4＋10＝14（克），三个砝码组成的重量：2＋4＋10＝16（克），能组成7种不同的质量。据此解答即可。 【解答】单个砝码的质量有：2克、4克和10克 两个砝码组成的有：2＋4＝6（克），2＋10＝12（克），4＋10＝14（克） 三个砝码组成的重量：2＋4＋10＝16（克） 答：能组成7种不同的质量。 21．一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中1次，可能得多少环？投中2次呢？ 【答案】小华投中1次，可能得10环、8环、6环。小华投中2次，可能得20环、18环、16环、14环、12环。 【分析】投中一次时，可能投中的是外圈、中圈或内圈； 投中两次，投中的可能是内圈和内圈，内圈和中圈，内圈和外圈； 还可能是中圈和中圈，中圈和外圈，或者是外圈和外圈，据此解答即可。 【解答】10＋10＝20（环）、10＋8＝18（环）、10＋6＝16（环） 8＋8＝16（环）、8＋6＝14（环）、6＋6＝12（环） 答：小华投中1次，可能得10环、8环、6环。小华投中2次，可能得20环、18环、16环、14环、12环。 22．用36个边长为1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。 长/厘米 36 宽/厘米 1 周长/厘米 74 （1）一共有多少种不同的拼法？ （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？ 【答案】表格见详解 （1）5种；（2）74厘米；24厘米 【分析】（1）根据乘法的意义，将36拆分成2个数相乘，也就是36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6，一共有5种不同的拼法，分别是：拼成一排，每排36个小正方形；拼成2排，每排18个小正方形；拼成3排，每排12个小正方形；拼成4排，每排9个小正方形；拼成6排，每排6个小正方形； （2）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，和正方形的周长＝边长×4，分别求出每种情况的周长，然后把周长按照从大到小的顺序排列，就可以得出周长的最大和最小。 【解答】（1）36＝36×1＝18×2＝12×3＝9×4＝6×6 （36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 6×4＝24（厘米） 长/厘米 36 18 12 9 6 宽/厘米 1 2 3 4 6 周长/厘米 74 40 30 26 24 答：一共有5种不同的拼法。 （2）74厘米＞40厘米＞30厘米＞26厘米＞24厘米 答：周长最大是74厘米，最小是24厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 解决问题的策略 单元知识清单讲义 知识点一：解决问题的策略 1、一一列举（有序列举）。 按照一定的顺序，把符合条件的所有答案一个一个地列举出来，从而找到所有可能的解。 关键是不重复、不遗漏。 2.、适用问题类型。 组合问题：如用若干数字组成几位数；几种物品搭配成不同的套餐。 图形问题：如用固定长度的栅栏围出不同的长方形，求面积最大是多少。 实际问题：如付钱方式、路线选择等。 3、操作方法。 列表法：将列举出的情况用表格有序地呈现出来，清晰直观。 画图法/连线法：用简单的图示或连线来表示所有组合。 先分类，再列举：先确定一个大类，再在大类中有序枚举。 题型1：加法原理解决问题 【例1】乐乐从家到少年宫，如果只能向南、向西走，一共有多少种不同的路线可走？ 【练1】有1克、5克、10克的砝码各一个。选择其中的一个或几个，在天平上能称出多少种不同质量的物品？（砝码只放在右边的托盘里） 【练2】有5、7、9三张数字卡片，任意选其中的一张、两张或三张，可以组成不同的自然数。一共能组成多少个不同的自然数？（把这些自然数都写出来） 题型2：乘法原理解决问题 【例2】奇思和妙想各有下面3张扑克牌，每人从中任意抽出一张，有哪几种可能的结果？ 【练3】如图所示，从少年宫出发经过邮局去图书馆，如果只能往东走或往北走，一共有多少种不同的走法？ 【练4】小明从家到学校有2条路可以走，从学校到少年宫有4条路可以走，如果小明从家出发到少年宫，共有多少种不同的走法？（画一画） 题型3：列表法解决问题 【例3】小明要给在外地打工的爸爸寄一张生日卡片，需要贴1元的邮票。如果只有5角、2角和1角三种面值的邮票，那么一共有多少种不同的贴法？ 【练5】王大爷家的后院有18根1米长的木条，他一直想用这些木条围成一个长方形的苗圃培育种苗，来增加家庭收入，但苦于不知怎么做。你来帮王大爷设计一下，怎样围面积最大？（取整米数） （1）请你把能围成的长方形“一一列举”出来，完成下面的表格。 长/米 8 宽/米 1 面积/平方米 8 （2）通过对上面情况的比较，我发现长（    ）米、宽（    ）米时，面积最大。 【练6】有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，共有多少种不同的拿法？每次拿出的币值是多少？在下表中填一填，再回答。 1角硬币数量/枚 5角硬币数量/枚 1元硬币数量/枚 币值/元 题型4：连线法解决问题 【例4】小红、小兰、小秀、小青和小丽五名同学进行乒乓球比赛，每两人都要赛一场。现在，小红已经赛了4场，小兰赛了4场，小青赛了2场，小秀赛了3场。小丽赛了几场？分别是和谁赛的？（先在图中连线表示已赛的场数，再回答） 【练7】下图中有9个点，一共可以围出多少个正方形？ 一、选择题 1．有1克、2克、4克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出（    ）种不同质量的物体。（注意：砝码只能放在天平的右侧） A．7 B．6 C．5 D．4 2．下图中一共有（    ）个正方形。 A．16 B．24 C．30 D．32 3．一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试（    ）次才能配好全部的钥匙和锁。 A．6 B．7 C．8 D．9 4．从4名女生和2名男生当中，挑选男、女主持人各一名主持节目，一共有（    ）种不同的选法。 A．6种 B．2种 C．8种 D．12种 5．一列火车从泰州开往南京，途经江都、扬州、仪征、六合4个停靠站，这列火车往返于泰州与南京，一共需准备（     ）种不同的车票。 A．4 B．15 C．6 D．30 6．如图，穿一件衬衣和一条裙子，有（    ）种不同的穿法。 A．6 B．9 C．12 D．15 7．用1、2、3这三个数字和一个小数点，能组成（    ）个不同的一位小数。 A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 8．小明、小红、小华、小丽4个好朋友互相问候，他们一共要通（ ）次电话，他们4个人互相发一条微信问候，一共要发（ ）条。 9．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是8，这样的两位数一共有（ ）个，其中最大的是（ ）。 10．一张靶纸共3圈，投中内圈得8环，投中中圈得6环，投中外圈得4环。小明投中2次，一共得到（ ）种不同的环数。 11．国庆节期间，三名同学互相通一次电话，一共通了（ ）次电话。见面后每两名同学又互相赠送一张贺卡，一共需要（ ）张贺卡。 12．柜台里陈列有3种不同的书包，4种不同的文具盒。妈妈要给文文买一个书包和一个文具盒，一共有（ ）种不同的买法。 13．江苏省2024年的高考方案是“3＋1＋2”方案。“3”是指语文、数学、外语三门学科为必考科目，“1”是指考生在物理和历史两门学科里面必须选一科，“2”是指考生在剩下的化学、生物、思想政治、地理四门学科中选择两科。这样，新高考方案中最多出现（ ）种考试科目组。 14．一次围棋比赛共有9名选手，每名选手都要与其他选手比赛一次，每局获胜者得2分，负者得0分，平局各自得1分。已知选手们的得分各不相同，且没有选手得0分，如果获得第五名的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等，那么获得第三名的选手得分是（ ）分。 三、解答题 15．红红有5元和2元的人民币若干张，她要拿出47元，有多少种不同的拿法？ 16．一种电池有4节装和6节装两种不同的包装。买40节电池，可以怎样购买？一共有多少种不同的选择方法？ 17．《上海市生活垃圾管理条例》规定，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类。上海某小区居民楼要摆放下图所示的四种垃圾桶（每种垃圾桶各放一个），其中有害垃圾桶不能放在最右边，一共有几种摆法？ 18．实验小学在课后服务时间开展社团活动，小强想从2种文艺类社团和3种体育类社团中任意选择2种社团，他有多少种不同的选法？如果他想从文艺类社团和体育类社团中各选1种，有多少种不同的选法？ 19．红领巾广播站有3名男播音员和3名女播音员，每次必须安排一男一女，你认为一共有多少种不同的安排方法呢？（填表并解答） 男A 男A 男A 女A 女B 女C 20．有2克、4克、10克的砝码各一个，选择其中的一个或几个，能组合成多少种不同的质量？ 21．一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中1次，可能得多少环？投中2次呢？ 22．用36个边长为1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再回答问题。 长/厘米 36 宽/厘米 1 周长/厘米 74 （1）一共有多少种不同的拼法？ （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是多少厘米？最小是多少厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $