12 例谈空间向量多边形法则的“灵活性”-《中学生数理化》高二数学2025年11月刊

解题篇课本习题探究 高二数学2025年11月 中学生数理化 例谈空间向量多边形法侧的“灵活性” ■郑州航空港区高级中学 闫学华 李叶新 我们可以用空间中点的坐标、直线的方向 a+b+c。 向量、平面的法向量来表示空间图形的基本元 这就证明了空间向量的加法结合律。 素，然后通过相应的向量运算解决立体几何中 由以上证明可以看出，三个向量不在一 平行、垂直、夹角、距离等问题，人教A版《数学 个平面时，这三个向量的和向量等于起始向 选择性必修第一册》第一章空间向量与立体几 量起点指向末尾向量终点的向量。因此，求 何以此为基石，构建起解决立体几何问题的强 若干个（多于三个）不在同一平面的向量之和 大工具。这一思想方法赋予了空间向量运算鲜 时，可以先平移向量转化为空间中首尾相接 明的几何背景，空间图形的许多性质可以用向 的“向量链”，类比平面向量求和的多边形法 量的运算表示出来，使得立体几何中涉及平行、 则求和，这种空间向量求和的方法叫作空间 垂直关系判断，夹角计算及距离求解等复杂问 向量加法的多边形法则。 题得以简化为直观的向量运算。我们还欣喜地 二、应用举例 发现，课后习题设计上融合了多种解题思路，其 例1（人 中空间向量加法的多边形法则的应用尤为突 教A版《数学选 出。运用多边形法则进行向量运算，不仅能够 择性必修第一册》 直接解决问题，而且在处理特定类型题目时展 第9页练习第4 现出更加简捷的优势，使得同学们在掌握向量 题)如图2，线段 图2 运算技巧的同时，也深刻体会到几何与代数之 AB,BD在平面a内，BD⊥AB,AC⊥a,且 间美妙而紧密的联系，进一步提升了同学们的 AB=a,BD=b,AC=c。求C,D两点间的 空间想象能力与逻辑思维能力。 距离。 一、空间向量加法的多边形法则 解析：方法一（空间向量加法的多边形法 1.任意两个空间向量，在保持特其方向和长 则)：由题意可知，CD=CA十AB+B币，故 度不变的前提下，均可通过空间中的适当平移， |CD12=|CA2+|AB12+1BD12+2CA· 转化为位于同一平面内的两个向量。这一转化 AB+2CA.BD+2AB.BD=a'+6+c*, 过程使得原本涉及复杂空间关系的向量运算， 则|CD|=√a'十b十c,即C,D两点间的 简化为更加直观和熟悉的平面向量运算。因 此，空间向量的运算问题在本质上可以通过这 距离为√a+b十c2。 种方式，转化为平面向量运算的范畴来加以解 方法二（综合几何 法)：分别以AB、BD、CA 决。由此进一步可以得出空间向量的加法、减 法、数乘运算的法则和平面向量的相应法则是 为长、宽、高作空间长方 一致的，空间向量的运算也满足相应的运算律。 体，如图3所示，由勾股定 2.如图1，空间 理易得C,D两点间的距 离为√+b+。 图3 向量OA=a,AB= b,BC=c。 ,点评：本题是立体几何中典型的求空间两 因为O元=O成 点之间的距离问题。方法一需要借助空间向量 +BC=(OA+AB) 多边形法则，运用题目中所给条件准确表达出 +BC=(a+b)十c, 所求向量CD=CA十AB十BD,再利用向量的 O元=OA+AC 模长公式求出CD的长度，培养同学们的数学 OA+(AB+BC)= 图1 运算素养；方法二通过题目所叙述的条件，抽象 a+(b十c),所以(a+b)十c=a十(b十c)= 为以AB、BD、AC为长、宽、高的长方体，转化为 37 中学生教理化离数学蝶202年1月 解题篇课本习题探究 求长方体的对角线CD的长度，易知CD= 知A'E=m,AF=n,EF=l,求线段AA'的 √a十b十，体现思维的灵活性，培养同学们 长。 的数学抽象、直观想象素养。 解析：方法一（空间向量加法的多边形法 例2（人教A 则)：设AA'的长为d,因为E下=EA+AA 版《数学选择性必修 十AF,所以EF12=EA1?+|AA1?+ 第一册》第41页练习 IA京12+2EA产·AA+2EA产·AF+ 2AA·AF 第1题)如图4，二面 又AA⊥EA,AA产⊥A京，EA产，A市) 角a-l-B的棱上有两 个点A,B,线段BD =0或π-0，故l2=m2十d十n2士2 mncos0, D 与AC分别在这个二 图4 d2=12-m2-n2干2 mncos0,即d= 面角的两个面内，并且都垂直于棱l。若AB √2-m2-n2干2 nncos0。 =4,AC=6,BD=8,CD=2√I7,求平面a与 方法二（综合几何法）：AA⊥EA,AAL 平面β的夹角。 A庐，作a'∥a,AE'=A'E=m。 解析：设AC与B元的夹角为0(0∈[0， 作A'F'∥AF,A'F'=AF,EF'∥EF, π])。因为BD,AC都垂直于棱l,所以B元⊥ EF'=E'F,则三棱柱A'EF'-AE'F为直棱 AB,AC⊥AB,则BD·AB=0,AC·AB=0. 柱，A'A=EE',EF=l,A'E=m,AF=n。 由已知得CD=CA+AB+BD,所以 在△AE'F中，∠FAE'=0(如图6)或 1CD12=CA12+A言12+|BD12+2CA. x一0（如图7）。 AB+2CA·BD+2AB.BD. 已知AB=4,AC=6,BD=8,CD= 2√个7，代人上式可得(2√7)2=62+4+ 8-2X6X8×cos0,则c0s日-2，所以平面 a与平面B的夹角为60°。 点评：本题是以两个平面为戟体求平面 与平面夹角的问题。利用常规思路不好求 图6 图7 解，但借助于空间向量和二面角平面角的定 由余弦定理可得EE'=√EF一EF= 义知识转化为A己与B币的夹角或其补角， √-m'-n2+2 mncos日 或 问题迎刃而解。那么如何求解AC与BD的 √2-m'-n-2mnc0s8。 夹角或补角呢？需要借助空间向量的多边形 所以线段A' A 的长为 法则CD=CA十AB+BD,然后将向量模长 √0-m-n+2 nn cos日 或 代入求解，蕴含解方程思想。这有利于培养 同学们的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数 √2-m'-n-2 nn cos0。 学运算等素养。 点评：本题的栽体是两条异面直线，但没 例3（人教A版《数 有任何平面衬托，求两条异面直线公垂线段 的长度，运用空间向量多边形法则解决问题， 学选择性必修第一册》第49 用其他向量表示斜线段所在向量是关键，E方 页复习参考题1第17题)如 =EA+AA+A户，进而代入模长求解。方 图5，两条异面直线a,b所 法二是还原为立体几何图形解决问题，有利 成的角为0，在直线a,b上 于培养同学们的数学抽象、直观想象、数学运 分别取点A',E和点A,F, 使AA'⊥a,且AA'⊥b。已 算、逻辑推理等素养。 图5 (责任编辑徐利杰) 38