5 突破离心率的方法与技巧总结-《中学生数理化》高二数学2025年11月刊

中学生款理化餐题續学典破方待 突破离心率的方法与技巧总结 ■安徽省阜阳市第一中学 葛辉 ■安徽省阜阳市第七高级中学 宋晴晴 圆锥曲线的离心率是刻画圆锥曲线几何性 时除以a,从而建立起关于离心率的等式。 质的重要参数，是历年高考中圆锥曲线问题的 二、定义意识 考查热点。这类题目形式往往较为新颖，常常 例2已知双曲线C:之一1a≥0， 涉及多个模块的知识点，综合性强，对同学们的 直观想象能力、数学运算能力要求较高。解题 b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲 的关键是寻找a,b,c中至少两者间的齐次等式 线C上，若|PF21=5a,∠PF2O=120°，其中O 或者不等式关系，可以从“形”人手，也可以从 为坐标原点，则双曲线C的离心率为 “数”人手。其实求离心率就是解方程或不等 解析：从“形”入手，题目条件是以长度和 式，也是在题目中结合各类条件，找出它们之间 角度呈现的，先判断点P在双曲线哪一支 的齐次等式或者不等式关系，这里常常用到其 上，若用坐标运算解决问题，运算量大，可利 他数学知识，包括平面几何、平面向量、三角函 用圆锥曲线的定义，从而很快解决问题。 数、解三角形及不等式。这其中还渗透了不少 如图2，由题意得点P 数学思想，包括数形结合思想、一般到特殊思 在双曲线右支上。 想、分类讨论思想、化归与转化思想。 由|PFI-IPF2I= 一、方程意识 2a,PF,|=5a,得|PF1| 例1如图1，已知 7a。 由余弦定理可知49a2 双前线c若-芳=1a 图2 4c2+25a2-20acc0s120°， >0,b>0)的左顶点为 等式两边同时除以a”,整理可得4e2十10e一 A,右焦点为F,过点F 图1 24=0,解得e=受或-4（含去） 且垂直于x轴的直线与 ,点评：根据条件画出图形非常重要，无论 双曲线C在第一象限的交点为B,且直线AB 选取何种解题策略，通常依靠图形寻求突破。 的斜率为？，则双曲线C的离心率为 涉及圆推曲线的焦，点问题，要注意联系圆锥 解析：解答本题需从“形”人手，从“数”突 曲线的定义，挖掘隐藏的条件。注意观察出 破，熟练运用坐标构造关系式求解。 现在圆锥曲线中的其他图形（特别是三角 形)，结合解三角形知识发现等量关系。 把x=c代人双曲线C:。一方=1的方 三、平面几何意识 程，得到y=±名所以B(,会)A(-a0 的3已知椭国C号+ 6=1(a> b2 b>0)的左、右焦点分别为F1、F,P为椭圆 直线AB的斜率为分即。千。一专可得 1 C上一点，且∠FPF:=,若F关于 3a2+ac-2c2=0。 ∠F1PF,的角平分线的对称点在椭圆C上， 上式两边同时除以a2得2e'一e一3=0， 则该椭圆的离心率为」 解得e=2或-1（合去）. 解析：如图3，点F1关于∠F1PF2的角平分 线的对称点Q在椭圆C上，故PF1=PQ1。 ,点评：本题启发我们熟练运用坐标法建立 等式关系，3a2十ac一2c2=0是齐次式，两边同 因为∠FPQ= 行，所以△F,PQ为等边 12 轻题破方清中学生表理化 三角形，|F1Q|=|F1P|。 因为F1Q+|F,Q 故 MF, OF, =|FP|+|F2P|=2a, |BF2|1 所以|FQ|=1F2P|,则 =AF,=2,则ya= PQ⊥x轴。 台，Mr,=c,即 设1PF2=t,则 图5 |PF1|=2t,|F1F21= B(受，-) 图3 √3t,即2c=√3t,2a= 代入椭圆方程得9c 41,即 。1 3 3t,故e=C=3 a 3 解得e=C-3 例4如图4，设F a3 四、不等式意识 为双曲线C:二若-1 例6已知F、F,是椭圆马 (a>0,b>0)的右焦点，0 为坐标原点，以OF为直 (a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点， 径的圆与圆x2十y2=a ∠F1PF,=60°，则椭圆离心率e的取值范围 图4 是 交于P,Q两点，若PQ =OF|,则双曲线C的离心率为。 解析：设PF1=m,PF2=n,在 △PFF,中，通过椭圆的定义、余弦定理，得到 解析：以OF为直径的圆的方程为x2+ 关于m,n,a,c的等式，再通过基本不等式 y2-cx=0。 另一圆的方程为x2十y2=a2。 mns(m+n) 进行求解即可。 4 则PQ的直线方程为x=a 如图6，在△PF1F,中， 设PF1=m,PF2=n,则 把x-2代人x+y2-a,得PQ=2 c m+n=2a。 根据余弦定理，得(2c) 由1PQ=1OF1,得2ab-c,两边平方再 =m2十n2-2mnc0s60°，配方 图6 变形为4a(c2一a2)=c1,两边同时除以a 可得（十n)2-3mn=4c2。 所以3mn=4a2-4c2,即4a2-4c2= 并整理可得(e2一2)2=0，即e2=2,e=√2。 例5已知椭圆C:云千=1(a6一0)入 3mm≤3·（俨去）=3a,当且仅当m= 时等号成立。 的左右焦点分别为F1、F2,点A是椭圆上一点， 线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B, a、1 因此a2≤4c,故e2=c」 解得< 若AB=3F,B,则该椭圆的离心率为。 e1。 解析：因为线段AF1的垂直平分线与椭圆 通过建立关于a,b,c的等量关系式来求 的一个交点为B,所以|AB|=|BFI。 解离心率，常用到以下几种意识：①方程意 因为AB=3F2B,|BF1|+|BF2|=2a, 识，是解决问题的核心；②定义意识，定义是 解决数学问题的原动力，合理应用定义能避 所以BF,=受，AF:=a。 免大量计算的出现；③平面几何意识；④不等 故点A是椭圆短轴的一个端点，如图5， 式意识。这几种意识可以更好地挖掘图形自 不妨设A为上端点。作BM⊥x轴，垂足为 身性质，实现对解题过程的优化。 点M,则△AOF,∽△BMF2。 (责任编辑徐利杰) 13