3 例谈解析几何中求解离心率(范围)的几种常见方法-《中学生数理化》高二数学2025年11月刊

中学生款理化架盘学颜高费杂护 例谈解析几何中求解离心率（范围）的几种常见方法 ■河北省张家口市第一中学 郭英秀（特级教师） 求解离心率（范围）是解析几何中的一类 为FF2的中点，故D为BF:的中点，则 常见问题。离心率是圆锥曲线的一个重要参 再利用A方·F言=0或kD· 数，它决定了椭圆及双曲线的几何形状。下 面通过几道典型例题总结求解离心率（范围） kr,B=一1，建立a、b、c间的等量关系。已知 的常见方法。 AD⊥F1B,D是FB的中点，连接AF1,则 一、构建a、b、c间的等量（不等）关系 |AB|=|AF,|。根据对称性知|AF,|= 例1如图1，设 BF,|,故△ABF1是等边三角形。 也可以利用以下几何条件建立a、b、c间 FF:是椭圆之 y 的等量关系。 1(a>b>0)的左、右焦 方法① 易知AB1-2答，△AF,B的 点，过F,作x轴的垂线 与椭圆相交于A、B两 图 周长为3×2 a 与4a所以&=名。即1： 点，F1B与y轴交于D,若AD⊥F1B,求椭 圆的离心率e。 ,解得e= 2 30 解法1：由题意知AD⊥F1B,即AD· 方法② 易知F,F,1=1AB1,即2c F1方=0，或kAD·kFB=一1。 2 需求A、D、F1、B四点的坐标。 =.26 2 a ,化简得2ac=√3b2。 易知A、B分别在通径端点处。 所以A(合)B(e,)r(-c0 整理得5c2+2ac-√3a2=0,式子两边 同时除以a2得√3e2十2e一√3=0，解得e= 由kF,B= b2和F1(-c,0)可得： √ 2ac 3或e=一（舍去）。 b2 lEB:y=- (x+c)。 方法③在Rt△AF2F1中，tan∠AF1F2 2ac b2 令x=0,得y=a故D0, b b a =tan30°= ☆廊经9 AF2 因为AD上F,B,A市=(-c,-答) 整理得√3c+2ac一√3a2=0,式子两边 同时除以a2得√3e2十2e-√=0，解得e= F方=(2，会)，所以Ad.下方=0，即 或=-（舍去）。 3 2c2+36 2a2 =0。 方法④ △ABF,为等边三角形， 因此3b1=4c2a2,即3(a2-c2)2=4c2a2, ∠F1AF2=60°，所以S△ar,r,=b2·tan30°= 整理得3a1十3c1-10a2c2=0。 两边同时除以a,得3e1一10e2+3=0。 解得。=3（舍去），或e=号故e- 又SAAF,E= 1F,F,1·AF,,故o 2 3 3 解法2：“平面解析几何”要善于利用图 —、学、了 2·2c.6 3 中的几何特征，往往可以避开繁杂运算。由 △F1OD∽△F1F2B,得OD∥BF2。已知O 方法⑤AF+1AF1=2a,即2b 十 学高意护芦中学生款理化 6=2a,化简得36 —2a,即2=< 3。整理得 ③利用“△”求范围；④利用函数求值域。 二、特征点代入曲线方程求离心率 1-e2=2 ,解得e=5 由于椭圆、双曲线的标准方程中含有 3 贷2已知F,分别是椭图后+号 a2、b,根据题中条件，先用与a、b、c相关的 量表示曲线上点的坐标，再代入方程得到关 =1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点 于a、b、c的等量关系，然后求解。 P满足PF1⊥PF2,求椭圆的离心率e的取 例3如图2，已知F。 值范围。 是双曲线文一y =1(a>0, 解法1：由PF1⊥PF2,可知∠F1PF2= 90°，所以P在以F,F2为直径的圆上。 b>0)的右焦点，直线x=a与 则b≤c,即b2≤c2,a2一c2≤c2,所以 双曲线的渐近线在第一象限 的交点为A,若AF2的中点 解得∈侣小 e≥， 图 M在双曲线上，则双曲线的离 解法2：当P在短轴顶点处时，顶角日一 心率是多少？ ∠FPF,取最大值。若存在点P使得PF1⊥ 解析：点A在渐近线y=bx上，当x b PF2,则需使日≥90°，所以cos0≤0，即cos日= a时，y=b,所以A(a,b)。 IPF+PF:-F F:la'ta-4c 又因为F,(c,0),M是AF,的中点，所 2PF·PF2 2a2 12n则e号解得ee竖小 以M(2,合) a十c 电可在△FPF,中，m名-P日 2 点M在双曲线上，代人方程得 b 6=1,即a+c) 4 =5,整理得c2十2ac一 即ee竖小 4a2=0。 解法3：由PF1⊥PF2,可知点P在以原 两边同时除以a得e十2e一4=0，解得 点为圆心，c为半径的圆上运动。 e=√5-1或e=-1-√5（舍去）。 x2+y2=c2, 三、利用圆锥曲线的第二定义求离心率 因为点P在椭圆上，所以 解得 6=1。 利用圆锥曲线的第二定义求离心率的核心 是抓住“平面内的动点到焦点的距离（焦半径） 匠=(2c一a)a。由实数的意义可知x≥0 与它到相应准线的距离之比等于离心率e”这一 关系，由题意建立关于e的方程进而求解 所以2-≥0则e≥号即e∈竖)小： 例4如图3，已知 解法4：在解法3中，方程联立消去y得 FF,分别是双曲线 c2x2-a2(2c2-a2)=0. 若存在点P满足题意，则该方程有解， 6=1(a>0,b>0)的左、 故△≥0，即4c2a(2c2-a)≥0。所以2c2 右焦点，O为坐标原点，P a≥0则e≥解得ee竖小 图3 在双曲线左支上，M在直 以上是解范围问题的常见方法：①利用 线x(c=Va+6)上，满足：FO 已知条件求范围；②利用实数的意义求范围； 中学生数理化 知识篇新高考名师护航 高二数学2025年11月 PM,并且OP=入 OM (入>0)， 例5如图4，过 则双曲线的离心率e是多少？ 椭圆C,之 解法1：由F,言=PM可知四边形 b>0)的左焦点F,且 PF1OM为平行四边形。 倾斜角为60的直线交 OF 又因为O苏=入(0示 OM 椭圆C于A、B两点， 1OM1) △FAF2为直角三角 图4 0),所以OP是∠MOF1的角平分线，|OF 形，求椭圆C的离心 =|OM|,由此可知四边形PFOM是菱形。 率。 又|F1O|=c,则|PF1|=|PM|=c。 解法1：因为e= 2c FF, 2a 设PM交左准线于点N,据第二定义 AF+AF,T sin 90 1 PF IPnT=e,即 2a=合，化简得c-2a sin30°+sin60° =√5-1，所以e= 1,3 22 a,整理得c2一ac一2a2=0。 5-1。 两边同时除以a2得e2一e一2=0，解得e 解法2：AF1|=c,|AF21=2a-c。在 =2或e=-1(舍去)。 Rt△AF2F1中，|AF2|=√TF1F2-AF1 解法2：点P在双曲线上，可以求出点P =√4c-c=√3c,所以2a-c=√c,整理得 的坐标再代入双曲线方程，设右准线交x轴于 e=c_ 2=-1 点H,所以|MH|=√TOM'-1OHP= a√5+1 解法3：由焦半径公式可知|AF1「= -(T. 1一ecos g(p为圆锥曲线焦点到相应准线的 ep 设PM交y轴于点E,则|PE|=|PM -|ME|=c- a2_c2-a2 所以P(-)代人双 60°，代入可得c2十2ac-2a2=0。 曲线方程得： 上式两边同时除以a得e2十2e一2=0， （e-(T)】 解得e=√3一1。 a b2 五、构造三角形，利用边角关系建立关于 化简得4a2=c2,即e2=4,所以e=2。 a、b、c间的等量（不等）关系 本题求点P(x,yo)还可用焦半径公式： 例6如图5，已 1PF,=一a-ex,=c。解得x=一a-g 知F1、F2是椭圆C: 很显然解法2的运算量较大，与焦点、准 1￥g=1(红b—O) 线相关的几何性质优先考虑第二定义，可以 的左、右焦点，其上顶 有效解决问题。 点为A(0,b),连接 四、利用圆锥曲线的离心率定义求离心率 AF,并延长交椭圆C 利用离心率的定义求离心率的核心是紧 图5 于另一个点P,若 扣离心率是“焦距与长轴（实轴）长的比”，建 |PA|=|PF,|,求椭圆C的离心率e。 立相应关系，从而求解。 解法1：由椭圆第一定义得PF1|十 8 如识镇宝新高考名师护芦中学生教理化 高二数学2025年11月 |PF2|=2a。△APF2的周长为4a,即|PA ep 十|PF,|十|AF2|=4a。由A是上顶点可知 以 AF 1-ecos 0 PF =2。 ep AF-AF,=-a,所以PF,=多a,PA 1+ecos 0 OF +|PF2|=3a。 把cos8= AF T-ae-c 力6 分 C 因为|PA|=|PF2,所以|PA「= 3 2, 别代人上式化简得十c ai-ci=2 IPF=受 整理得a2=3c2,解得e= 30 在△APF2中，cos∠APF2= |PA12+|PF212-|AF2I2 例7如图6，F1、 2PA·PF,T (g)‘+()）‘- R是精因C若+芳-1 -。①D (a>b>0)的左、右焦点， 2…婴受 若椭圆C上恰有6个不 2 在△F1PF2中，cos∠F1PF:= 同的点P,使得△FF2P 图6 为等腰三角形，求椭圆C |PF1I2+|PF22-|F1F219 2·PF,·PF, 的离心率范围。 解法1：若△F1F2P是等腰三角形，根据 (号)+()-2 题意只能|PF1|=|FF2|=2c或者|PF2 。② 22 =|F1F2|=2c。 根据椭圆焦半径范围可得a一c<2c cos∠APF2=cos∠F1PF2,由①②建 立的等量关系可得a-3c,解得e= a十c,解得 3<e<1. 39 此法还可以利用cos∠AFF,十 当a=2c,即e=2时，短轴顶点构成的等腰 cos∠PF1F2=0建立关系求解。 三角形与以F1、F,为顶点的等腰三角形会有重 解法2：因为A、F1、P三点共线，所以 合情况，不符合题意。所以e∈（侣2）U P时-pP财。 (经 易知A(0,b),F1(一c,0)。设P(x,y),可 解法2：假设|PF21=|FF2|=2c,那么 得PF=(-c-x,-y),PA=(-x,b-y)。 |PF1|=2a-|PF2|=2a一2c。利用三角形的 由P时=号P,可得(-。一，一y) 隐含条件可知： PF+PF,>FE,即 PF-PF:<FF:, (-x,b-y),解得x=- 2c,y=-b 3 1 校P(-是，名)，将点P的坐标代人 2a2十2>2解得e1.由解法1可 2a-2c-2c<2c。 知e≠2所以e(仔，2)U(2。 椭圆方程得 1,故a2= 离心率作为平面解析几何中表示圆锥曲线 a “形状特征”的关键量，是连接几何特征和代数 3c2,解得e= 3 运算的重要纽带，可利用数形结合的思想优选 3 相对简捷的思路、简便的运算，快速破解，实现 解法3：因为AF=a,PF=受，所 离心率核心概念的具象化 (责任编辑徐利杰)