高二数学上学期第三次月考（人教B版2019选择性必修第1～3章，高效培优）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 4 5 6 > P C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 10 11 AD BCD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.840 13.y=t34 14.6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 6 15.【详解】(1)由题意得， 展开式的通项为 m=c2（-c2(-r产r=12,,2分 令3-r=0,可得r=3, 所以展开式中的常数项为C·23.(-1)3=-160,其二项式系数为C。=20 … ,4分 (2)设第r+1项的系数绝对值最大，则 C62-≥Cg.2- C6-2-r≥Cg1.2-r’ 61 .26-r≥ 6 r4(6-r -7-22 4 7 即 ,解得≤r≤， 8分 6! 6 3 3 r(6-r) +5-2 …26-r≥ 因为r∈N,所以r=2,故系数绝对值最大的项为T=C名·24(-)x=240x.…10分 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以2- 展开式中第奇数项的系数和等于(2x-)°展开式中第奇数项系数和，…12分 设(2x-1°=aox6+ax3+…+a6’ 令r=1,得+g++a,=1 a-a+-a5+a6=36’ 两式相加得，a。+a2+a4+a6= 3+1=365, 2 所以展开式中第奇数项的系数之和为365.…15分 16.【详解】(1)设圆心C(a,-2a(a20),则圆的方程为(x-a)2+(y+2a)2=9 32=2 a-2a-1 √2 a=2或-4（舍去）， ,,。,,,，,,4,,, 圆的方程为X-2）+(y+4=9.…6分 12 (2)由题意得MN=6,则点O到直线l的距离d= 2 MN 8分 ①当斜率不存在时，此时直线1方程为x=2, 原点到直线的距离为d=2,满足题意 此时直线l方程为X=2.… 11分 ②当斜率存在时，设直线1的方程为y+4=k(x-2), 原点0到直线1的距离d-上2-4-2，解存：- Vk2+1 41 此时直线1方程为7+4=-2引，即3x+4+10=0 综上所述，直线1的方程为x=2或3x+4y+10=0. 15分 17.【详解】(1)由△AEF为等边三角形，O为EF的中点，可知A0⊥EF,…2分 又因为平面AEF⊥平面EFCB,平面AEFO平面EFCB=EF,AOC平面AEF 所以A01平面EFCB,又BEC平面EFCB,则A01BE.4分 (2)取CB的中点D,连接OD,因为EFI/BC,∠EBC=∠FCB=60°， 2/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则OD⊥EF,以O为原点，分别以OE、OA、OD为x,y,2轴建立空间直角坐标系， 又BC=4,EF=2a,EF /BC,∠EBC=∠FCB=60°，则OD=V3(2-a, 所以0(00,0，E(a,0,0,F(-a,00),A0,5a,0,B2,0v5(2-a月，C-2,0,W52-a月， 6分 B 设平面AEB的法向量m=(x,y,z) 因为AE=a,-V5a,0,BE=a-2,0,5(a-2）, m·AE=0 ax-v3ay =0 mBE=0’得到 a-2)x+5(a-22=0'令y=lr=5,z=-1, 所以m=（V3,1-1, 9分 易知平面AEF的一个法向量为i=(0,0,1),则cos(m,)= m.i5 司 5 所以平面ABF和平面AEB夹角的余弦值为 11分 5 (3)因为CA=(2,N5a,V5(a-2),设直线CA与平面BEA所成角为6， sine=cos(C4m)= CA.m 4V5 2v6 CAm5V4+3a2+3(a-2 5, 整理得到6a2-12a+6=0,即(a-1)2=0, 解得a=1∈(0,2)，满足题意，所以a=1. 15分 b=√2 a=2 1 18.【详解】(1)由题得 ×2b×2a=2ab=4V2→b=√2」 … 2分 2 a2=b2+c2 c=V2 所以椭圆E的方程为 ,y2 =1; 4分 42 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：由题可得直线1的斜率存在，设y=k(x-3), y=k(x-3) 联立 x2.y2,→1+2k2）x2-12k2x+18k2-4=0,…6分 42 =1 则△=1442-41+2k2018k2-4)=-40k2+16>0→k2<2 5’.8分 设4.B为四K+wD D 0 ⊙ 则直线4D斜率为kD=乃--少-当+2=(x+-6) x-x2x1-x2 x-x2 所以直线AD的方程为y+2 kx+-6(x-x, 10分 X1-X2 令y=0,则5-5=利5+5-6x-x=任以+5-无3+ +x2= k(x+2-6) k(x1+x2-6 _西3+5-西-35++5-6-5-号-3+3x+5+-6能-24-3到+ x1+x2-6 x+x2-6 x1+x2-6 x1+x2-6 2 3X1+2k_2×18k2-4-3×122-84 12k2 1+2k26 12k2-61+2k2) -63’ .15分 所以直线40恒过定点，该定点为点（信0 17分 19.【详解】（1)设双曲线的方程为3x2-y2=, 因为双曲线过点-4,6， 4/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以元=3×42-36=12， 所以双曲线C的方程为 =l..3分 412 (2)(i)设直线1的方程为x=my+t,P(x,),Q(x2,2), 又A-2,0),A22,0, 所以，=上22 12 =3 x+2x-2x2-4x2-4 同理，kk4=3, 5分 所以k+k4= 33_3k+=-3k+),所以kk=-1, k2 k3 kks (r y 由412=l消去x符，(3m2-1y2+6m+32-12=0, x=my+t 所以y+= m号 6mt 所以6k=当上 -2名-2(my+1-2my+1-2=-1, … 9分 整理，得(m2+1y2+m(t-2(y+2)+1-2)2=0, 即m+13r2-12_6m-2+1-22=0 3m2-1 3m2-1 整理，得t2+2t-8=0, 解得t=2或1=-4， 11分 当t=2时，直线1过点A,(2,0),不合题意，舍去， 当1=-4时，直线1过点(-4,0)，满足题意， 所以直线1过点F（-4,0）. 13分 (i)因为y-2=Vy+y2)}-4y= 12Wm2+1 3m2-1 又RF=8,所以5wFFk-为-48Nm+ =48 m2+1 3m2-1 V(3m2-1 15分 由直线1与双曲线的左支有两个交点，且1与坐标轴不垂直， 5/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得0<m<5 ,令u=m2+1, 3 则1<u< 4S=48 =48 3 V9u2-24u+16 19u+ 16-24' 因为小=9-24在》 上单调递减， 所以0<fu<1, 所以得S的取值范围是48，+0）. .17分 F A O A 6/6 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一章~第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 2．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 【答案】C 【详解】由抛物线，可得，则焦点，准线方程为， 因为点到其焦点的距离为， 根据抛物线的定义，可得点到准线的距离为，即，解得， 所以，因为，所以. 故选：C. 3．已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 【答案】B 【详解】由，得或，且， 解得或， 当时，， 当时，. 故选：B． 4．过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 5．如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.    已知得，， 因为点在棱上，且，， 所以，，则. ，，， 所以， 则. 直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线的一个顶点.以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线对称性，不妨设、在渐近线上， 且，是双曲线左顶点， 则以为直径的圆的方程为， 联立，解得或， 则，，又，则， 设其右顶点为， 故， 故，则，则双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 7．在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取棱的中点F，连接， 则点P在平面的投影H在线段上，且， 连接，作，交线段于点G，易证两两垂直， 则以H为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是边长为的等边三角形，所以，所以． 因为，所以， 所以，所以． 设平面的法向量为，则令，得， 故点P到平面的距离是． 故选：B 8．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点关于轴对称，四边形是等腰梯形或矩形， 易知四边形的外接圆就是的外接圆， 设四边形的外接圆半径为R，在中， 由正弦定理， 记椭圆的上顶点为M，，则由焦点三角性质可知， 又，所以，，所以， 所以， 所以，即，即， 又，所以，即，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数的和为 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中奇数项的系数的和为 【答案】AD 【详解】因为的展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以共有项，又项数为，所以，故A正确； 因为，所以展开式中所有项的二项式系数的和为， 由二项式的性质可知所有偶数项与奇数项的二项式系数和相等， 所以展开式中偶数项的二项式系数的和为，故B错误； 令，可得， 即，故C错误； 令，可得，即， 所以，所以， 所以展开式中奇数项的系数的和为，故D正确. 故选：AD. 10．底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足．则下列结论正确的是（   ） A．若，则点在平面上 B．若，则点在平面上 C．若，则点到直线的距离为 D．若时，直线与面所成角的正弦值取值范围是 【答案】BCD 【详解】解：对于A：时，， 由共面向量定理知，共面， 所以点不在面上，故A错误； 对于B：，所以，共面， 所以，点在面上，故B正确； 对于C：以为原点，所在直线分别为轴建系， 则，，，，， 所以， 则， 故，故C正确； 对于D：根据C选项可知， 又 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面的夹角为， 则 因为，则， 当时有最大值，当时有最小值，故D正确． 故选：BCD． 11．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点在以为圆心，16为半径的圆上 D． 【答案】ABC 【详解】对A：由题意可得，， 则，， 则，故A正确； 对B：由椭圆光学性质结合可得为的角平分线， 又， 则， 化简得，即，故B正确； 对C：由椭圆光学性质可得在直线上，且， 则，故点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确； 对D：由正弦定理可得，， 即有，， 又、， 故，则， 即，故，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．12名同学合影.站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 . 【答案】840 【详解】分两步，第一步，从后排8人中抽2人有种方法， 第二步，将这2人插入前排4人中，且保证其他人的相对顺序不变， 先从4人产生的5 个空中插入1人，有5种插法， 剩余的1人再插入5人产生的6个空中，有6种插法， 所以这2人有种插法， 所以不同调整方法的种数为种. 故答案为：840. 13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 14．在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 【答案】6 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 【详解】（1）由题意得，展开式的通项为， 2分 令，可得， 所以展开式中的常数项为，其二项式系数为． 4分 （2）设第项的系数绝对值最大， 则， 即，解得， 8分 因为，所以，故系数绝对值最大的项为． 10分 （3）因为， 所以展开式中第奇数项的系数和等于展开式中第奇数项系数和， 12分 设， 令，得， 两式相加得，， 所以展开式中第奇数项的系数之和为. 15分 16．（15分）已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆方程； (2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. 【详解】（1）设圆心，则圆的方程为 ， 或舍去， 4分 圆的方程为. 6分 （2）由题意得，则点到直线的距离， 8分 ①当斜率不存在时，此时直线l方程为， 原点到直线的距离为，满足题意. 此时直线方程为 11分 ②当斜率存在时，设直线l的方程为， 原点到直线l的距离，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 15分 17．（15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点． (1)求证：； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值． 【详解】（1）由为等边三角形，为的中点，可知， 2分 又因为平面平面，平面平面，平面 所以平面，又平面，则． 4分 （2）取的中点，连接，因为， 则，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 又，，则， 所以， 6分 设平面的法向量 因为， 由，得到，令， 所以， 9分 易知平面的一个法向量为，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 11分 （3）因为，设直线与平面所成角为， ， 整理得到，即， 解得，满足题意，所以. 15分 18．（17分）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 【详解】（1）由题得， 2分 所以椭圆的方程为； 4分 （2）证明：由题可得直线的斜率存在，设， 联立， 6分 则， 8分 设，则，， 则直线AD斜率为， 所以直线AD的方程为， 10分 令，则 ， 15分 所以直线恒过定点，该定点为点. 17分 19．（17分）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的方程为. 3分 （2）（i）设直线的方程为，，， 又，， 所以 同理，， 5分 所以，所以， 由消去得，， 所以， 所以， 9分 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 11分 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过点. 13分 （ii）因为， 又，所以， 15分 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令， 则，， 因为在上单调递减， 所以， 所以得的取值范围是. 17分    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一章~第三章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线上的点到其焦点的距离为，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C． D．3 3．已知，则（   ） A．7 B．21 C．35 D．42 4．过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知在长方体中，，，点，分别在棱和上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线的一个顶点.以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 7．在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，抛物线：（），椭圆与抛物线相交于不同的两点A，B，且四边形的外接圆直径为，若，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中偶数项的二项式系数的和为 C．展开式中各项系数的和为 D．展开式中奇数项的系数的和为 10．底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足．则下列结论正确的是（   ） A．若，则点在平面上 B．若，则点在平面上 C．若，则点到直线的距离为 D．若时，直线与面所成角的正弦值取值范围是 11．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点在以为圆心，16为半径的圆上 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．12名同学合影.站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 . 13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在的展开式中，求： (1)求常数项及此项的二项式系数． (2)求系数绝对值最大的项． (3)求展开式中第奇数项的系数之和． 16．（15分）已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. (1)求圆方程； (2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且的面积是6（为坐标原点），求直线的方程. 17．（15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点． (1)求证：； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求实数的值． 18．（17分）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标 19．（17分）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $