浙江省宁波市镇海区蛟川书院2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则下列比例式正确的是(    ) A. B. C. D. 2.小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数.这个事件是(    ) A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3.已知的半径为2cm，，则点P与的位置关系是(    ) A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 4.在中，，若的三边都放大2倍，则的值(    ) A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 5.下列命题是真命题的是(    ) A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D. 相等的圆心角所对的弧相等 6.如图，中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，，，下列比例式正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知A，B，C为上的三点，且，点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当为直角三角形时，弧AP的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 9.如图，在中，AD和BE分别是BC，AC边上的高，且相交于F点，若，，则的值为(    ) A. 2 B. C. 3 D. 10.如图，AB是的直径，CD是的弦，，E是AB上一点，且，连接CE交连于点F，连接BD交CF于点G，若，，则CE长为(    ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则       12.一个质地均匀的正方体骰子，六个面分别标着数字1、2、3、4、5、6，将它投掷一次，正面朝上的数字大于4的概率是______. 13.在中，，如果，，那么          . 14.如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边，高若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为      . 15.如图，AB是的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为      . 16.如图，点E是菱形ABCD的边AB上，将沿DE折叠，点A的对应点F恰好在边BC上，若，，则DE的长为      . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： 18.本小题8分 为了让孩子们掌握垃圾分类知识，树立环保意识，李老师制作了一盒垃圾分类卡片，其中，“可回收物”卡片有30张，“易腐垃圾”卡片22张，“其他垃圾”卡片20张以及若干张“有害垃圾”卡片，这些卡片除图案外都相同． 从这盒卡片中任取一张，使“其他垃圾”卡片的概率是，求“有害垃圾”卡片的数量． 现从中取出4张卡片：塑料瓶，旧书本，过期药品，剩饭菜其中A，B为可回收物，C为有害垃圾，D为易腐垃圾，将取出的四张卡片放入一个不透明的袋子中，小聪和小明从袋子中各取一张卡片，问两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率要求列表或画树状图 19.本小题8分 图①、图②、图③均是的正方形网格.每个小正方形的边长均为每个小正方形的顶点称为格点的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法. 在图①中，在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，连结DE，使； 在图②中，在内部取一点F，连结AF、BF、CF，使； 在图③中，在内部取一点G，连结BG、使 20.本小题8分 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为 求DE的长； 求塔AB的高度取，取，结果取整数 21.本小题8分 如图：在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知，求GE、CO的长. 22.本小题10分 如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点若的度数，求的度数； 过点D作于点F，若，，求的长. 23.本小题10分 【基础巩固】 如图1，在中，，，求证：； 【尝试应用】 如图2，在中，，D为AE边上一点，若，，求CD； 【拓展提高】 如图3，四边形ABCD中，，，，，点F是边DA延长线上一点，连接CF交边AB于点M，过点C作交射线BA于点E，设，，求y关于x的函数关系式. 24.本小题12分 如图1，已知AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，连接AC，BD相交于点 求证：； 如图2，点F是弧CD上一点，若， ①求证：； ②若，，，求半径OB的长； ③如图3，连接EF，若，若是直角三角形，且，请求出的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：， ，， 、B、C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选： 利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事件， 故选： 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3.【答案】A  【解析】解：由题意可知：， 的半径， 点P在内， 故选： 根据点到圆心的距离即可得出答案． 本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 4.【答案】C  【解析】解：把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形， 的大小不变， 的值不变， 故选： 根据三边成比例的两个三角形相似可得把的三边都放大2倍后，所得的三角形与是相似三角形，从而可得的大小不变，即可解答． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，原说法错误，故该选项不符合题意； B、平分弦非直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，故该选项不符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，原说法正确，故该选项符合题意； D、在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选： 据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 本题考查了命题的真假，圆的基础知识，垂径定理，三角形外心，掌握其相关知识点是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：，∽ 所以A、C和D选项错误； 故选： 由，得到∽，根据相似三角形对应边的比成比例即可判断． 本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：如图所示，连接BE，交AC于点D 设菱形的边长为a， ，，， 故选： 如图，连接BE，交AC于点D，由菱形的性质可得，，设菱形的边长为a，则，，，勾股定理求得AD，进而根据，计算求解即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握以上知识点是关键． 8.【答案】D  【解析】解：当，连接OA，OD，如图所示， ，， ，点D为AB的中点， ， 点C，D，O共线． ， 是等边三角形， ，， ， 弧AP的长； 当时，则， 为直径， 弧AP的长 所以弧AP的长为或 故选： 当，连接OA，OD，先证明点C，D，O共线时，再证明是等边三角形，得到，，可知，然后根据求弧长公式求解即可；当时，则，可知AP为直径，再利用弧长公式求解． 本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，弧长公式，注意分情况讨论． 9.【答案】D  【解析】解：， 设，， ， 在中，AD和BE分别是BC，AC边上的高， ，，， 在和中． ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ，， ∽， ， ， ， ， 故选： 根据，设，，则，先证明和全等得，进而得，由此可判定和全等得，再证明和相似得，由此得，然后根据即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：如图，连接BC， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∽， ，， ， ； 故选： 连接BC，易得，设，则，易得，，从而可证∽，即可得解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11.【答案】4  【解析】解：线段c是线段a、b的比例中项， ， 又，， ， 解得 又为线段的长度， 舍去； 即 故答案为： 根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到c的值． 此题考查了比例中项的定义，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算． 12.【答案】  【解析】解：扔一次骰子朝上的数字有6种等可能结果，其中数字满足大于4的有5、6这2种结果， 正面朝上的数字大于4的概率是， 故答案为： 直接利用概率公式计算可得． 本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 13.【答案】4  【解析】解：， ， ， ， 故答案为： 利用正切的定义计算即可． 本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设正方形边长MN为a， 为的高， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 即正方体的棱长为 故答案为： 设正方形边长MN为a，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质可得结论． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接OE，OC，BC， 由旋转知，， ，， ， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为： 连接OE，OC，BC，推出是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可． 本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：在菱形ABCD中，，， 根据折叠的性质可得，， ， 如图，延长CB至点G，使， 则， ∽， ， ， ， ∽， ，即， 解得负值舍去， ， ，， ， 过D作于点M，过D作于点N， 则， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 在中， 故答案为： 延长CB至点G，使，易证∽三等角模型，再证∽，可求，则，，进而利用等面积和勾股定理求解即可． 本题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解： 先把特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则计算即可． 本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 18.【答案】解：设“有害垃圾”卡片有x张， 由题意得， 答：“有害垃圾”卡片有28张； 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个， 小聪和小明两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率为  【解析】设“有害垃圾”卡片有x张，由概率公式得出方程，解方程即可； 画树状图，共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个，再由概率公式求解即可． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】如图①中，线段DE即为所求；   如图，点F即为所求；   如图，点G即为所求答案不唯一  【解析】如图①中，线段DE即为所求； 如图，点F即为所求； 如图，点G即为所求答案不唯一 取AB的中点D，连接DE即可； 判断出，求出的BC边上的高为，的AB边上的高为，作出直线n，直线直线n到BC的距离为，直线n到AB的距离为，直线m，n的交点F即为所求； 求出的面积为9，可知BC边上的高为3，取格点G，连接GB，GC即可． 本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 20.【答案】解：由题意得：， 在中， ，， ， 的长为3m； 由题意得：， 在中，，， ， 在中， 设， ， ， ， 线段EA的长为； 过点D作，垂足为F， 由题意得：，， ， ， 在中， ， ， ， 解得：， ， 塔AB的高度约为  【解析】根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答； 过点D作，垂足为F，设，根据题意得：，，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答． 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 21.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ∽， ， ，， ， ， ∽， ， ，， ，   【解析】根据▱ABCD可得，，证明∽，从而，代入即可求解GE，再证明∽，得到，即可得求出 本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 22.【答案】连接AD， 是圆的直径， ， ， 的度数， ， ； 连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的长  【解析】连接AD，由圆周角定理得到，求出，由圆周角定理推出，因此； 连接OD，由线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，得到，即可求出的长 本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，弧长的计算，关键是由圆周角定理推出，由线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，由弧长公式即可求出弧BD的长． 23.【答案】，， ， ∽， ，       【解析】证明：，， ， ∽， ， 如图，延长AE，使，连接CF，根据等腰三角形的性质，， ， ∽， 同理可得 过点C作BE的垂线，垂足为易知四边形ADCG为正方形，则 由，， ，， ∽， 同理可得， 在中， 整理得： 先由两角相等证明∽，然后由相似三角形对应边成比例即可得出结论． 通过构造等腰，再由两角相等证明∽得到，即可由的结论求出 通过辅助线CG由求出BG的长度，然后由两角相等证明∽，再结合相似三角形对应边成比例和勾股定理得出关于x和y的等式，整理即可求出答案． 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键． 24.【答案】如图，连接 在和中，，， ∽， ，   ①如图，连接 ， ， ， ， ； ②；③1或2  【解析】证明：如图，连接 在和中，，， ∽， ， ①证明：如图，连接 ， ， ， ， ②如①图所示，当时，同理可得，则， 结合①结论可知，故四边形CEDF为平行四边形，则 由可得， 由于直径AB所对的圆周角， 故在中， ③如图，连接AD、AF、BF，DE交AF于点 根据题意可知 ， ， 结合可得四边形ADFE为平行四边形，G为其对称中心，则 设，，由若可得，， 则， 在和中，，， ∽， ，即 ，整理得：， 解得：或， ， 或 通过两角对应相等证明∽，然后由对应边成比例整理可得结论． ①根据推出，进而得到，即可证明结论； ②先根据推出，然后证明四边形CEDF为平行四边形，得到，进而求出AC和BC的长度，再由勾股定理求出AB，即可得到OB的长度； ③先证明四边形ADFE为平行四边形，再通过构造∽，然后根据对应边成比例求出AD和DE长度的数量关系，最后由求出答案． 本题考查了圆周角定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，在圆中构造相似三角形是解答本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $