精品解析：天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年度第一学期 高二年级数学学科阶段检测试卷 一、单项选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 6. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A B C. D 7. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 8. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 11. 已知向量与，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 12. 直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为_________． 13. 已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为_____________． 14. 双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则___________. 15. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 16. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 三、解答题 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程； （3）求的面积. 18. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点B到平面AEF的距离. 19. 已知圆和圆 （1）过点作圆切线，求此切线的方程； （2）动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 20. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年度第一学期 高二年级数学学科阶段检测试卷 一、单项选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化椭圆的方程为，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆化为标准方程为， 可得，则，可得，且焦点在轴上， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：C. 2. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线倾斜角和斜率的关系，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线，可得斜率为， 即，所以，故D正确. 故选：D. 3. 如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 4. 已知直线，若，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 5. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 6. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：数形结合如上图所示．可得，．要使直线过点，且与线段AB相交，由图象知，．故选A． 考点：直线相交问题求参数范围． 【方法点睛】对于直线的相交问题，常借助数形结合比较直观的研究相交．但要注意特殊位置，如直线斜率不存在时，直线与线段端点相交时，是否取等号问题等．当然本题也可直接设出直线l和直线AB的方程，然后求出交点横坐标，由横坐标大于等于-3且小于等于2求解即可．注意对比两种方法，感受数形结合的魅力． 7. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆与圆，相减得， 圆心到直线的距离，又 则公共弦长为． 故选：C． 8. 圆关于直线对称圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则，解得 即所求圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 故选：A. 9. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A. 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 11. 已知向量与，则在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求，，结合投影向量的定义运算求解即可. 【详解】因为向量，，则，， 所以在方向上投影向量为. 故答案为：. 12. 直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的一个法向量为，可直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设求出椭圆的两个顶点得到，再结合和离心率定义即可求解. 【详解】对直线，令，， 所以直线经过椭圆的两个顶点， 故，所以该椭圆的离心率为． 故答案为： 14. 双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则___________. 【答案】20 【解析】 【分析】先由双曲线方程求出，然后根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由，得，得， 因为，， 所以或， 解得（舍去），或， 故答案为：20 15. 已知点在圆外，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知方程表示圆的方程，且点在圆外列不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】由得：，故 因为点在圆外，所以，所以. 所以实数的取值范围是：. 所以答案为：. 16. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 三、解答题 17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由边上的高所在直线的斜率可求直线的斜率，已知点，由点斜式方程可得直线方程，又点也在边的中线上，联立方程组求解交点的坐标即可； （2）设点，则中点在已知中线上，又点在已知边的高线上，则联立方程组可得，再由两点式可得直线的方程； （3）根据题意求以及点到直线的距离，进而可得面积. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 设直线的斜率为，则，解得， 又因为直线过点， 则直线方程为,， 又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点， 联立，解得， 所以坐标为． 【小问2详解】 设，因为边上的中线所在直线方程为， 所以的中点在直线上， 且边上的高所在直线过顶点， 所以，解得，即的坐标为． 由（1）知，由两点式方程得， 化简得. 即直线的方程为． 【小问3详解】 因为，，，且直线的方程为， 则， 且点到直线：的距离， 所以的面积. 18. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点B到平面AEF的距离. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，再利用法向量夹角和面面角之间的关系可得； （3）可得，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为， 所以点B到平面AEF的距离为. 19. 已知圆和圆 （1）过点作圆的切线，求此切线的方程； （2）动圆M与圆内切且与圆外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分切线斜率是否存在两种情况，即可分别求得切线方程； （2）设，分别求出圆的圆心和半径，由题意可得，，推出，根据椭圆的定义可求得动圆圆心的轨迹方程. 【小问1详解】 由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， ①当切线斜率不存在时，显然满足要求； ②当切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径2，可得，解得， 则切线方程为，化简可得； 故切线方程为或. 【小问2详解】 由配方得：， 可得圆的圆心为，半径为， 设，动圆的半径为，因动圆M与圆内切且与圆外切， 则，，故可得， 则点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设的轨迹方程为， 则，，所以， 故圆心的轨迹方程为． 20. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． 【小问1详解】 由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设直线l：，设，， 则，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $