精品解析：江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试题

2025~2026学年（上）期中质量监测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定法则可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的互化可得出结果. 【详解】当时，则. 故选：B. 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义从充分性，必要性两个方面分析即可. 【详解】判断  是否是  的充分条件（即  是否成立）： 由 ，得 ， 由  和 ，得 ， 因此，， 故  成立， 是  的充分条件； 判断  是否是  的必要条件（即  是否成立）： 反例：取 ，则 ，满足 ，即  成立， 但 ，不满足  中的 ， 因此， 不成立， 不是  的必要条件. 故 是  的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用赋值法计算求解. 【详解】因为，令，则. 故选：B. 6. 已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小. 【详解】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增， 由是R上的偶函数，得在上单调递减，而， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 7. 任何一个正实数可以表示成，此时，.当时，是位数，则是（ ） （参考数据：） A. 24位数 B. 33位数 C. 34位数 D. 43位数 【答案】C 【解析】 【分析】先利用对数的性质进行化简，再根据题干即可求出. 【详解】先对取常用对数，， 又， 又，， 则， 设，根据，， 这里，时，是位数，是位数. 故选：. 8. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 10. 已知，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简可得到，再令 ，经计算可得到，通过代换化简可判断选项A，B，C，对于D利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由对数的运算法则可得：， 所以：， 所以：， 令 ， ，则 ， ，且 ， 得：，即：， 令 （因为 )，则：，， 由于 ，得：， 解得：， 又因为，故 . 于是：. 选项 A：假设A选项正确， 即：，代入得：，由 得：， 即，，而，当时，，两者不相等，故A错误； 选项 B：，，由 ， ， 所以 ，故 B 正确； 选项 C：由，，得： 计算：， ， ， 所以，故 C 正确； 选项 D：令 ，则 ，， 由基本不等式得：. 当且仅当，即，时取等号. 故的最小值为.故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数若，且，则（ ） A. 的最小值 B. 的最大值为1 C. ，使 D. 存在唯一，使 【答案】AC 【解析】 【分析】令，易得，对于A，换元后构造成二次函数求其在中的最小值即可判断；对于B，换元构造新函数，判断其在中的最大值即可判断；对于C，举例即可判断；对于D，分类讨论，根据其根是否符合题意进行判断. 【详解】在上的值域为，在上的值域为， 令，易得，且，， 对于A，， 令，， 所以是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上的最小值为，故A正确； 对于B，， 令，， 则其为开口向下，对称轴为即的二次函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为，故B错误； 对于C，取，则，，因此，使得，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以存在两解，故D错误； 故选：AC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用抽象函数的定义性质计算求解. 【详解】由函数的定义域为， 则函数中，即得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据充分不必要条件的性质得到关于的不等式，进而求出实数的取值范围. 【详解】由题意得，即，解得， 当时，不等式无解；当时，不等式的解集为， 不等式是不等式的充分不必要条件， 不等式的解集是不等式解集的真子集， 当时，不等式的解集为空集，不符合要求， 当时，不等式的解集为，需满足，解得. 实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若，其中，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得与有公共的正零点，设为，则可得，可得且，结合可得或，再分类计算即可得. 【详解】当时，，则， 由， 则单调递减，且在上单调递增， 则时，，当时，， 则与有公共的正零点，设为， 则，即有， 解得，且有， 则在上单调递减，又在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，，，满足题意； 由，则，，又，则或； 若，则，此时； 若，则，此时. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案； （2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案. 【详解】（1）原式 （2）因为，所以. 所以 16. 已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. 【小问1详解】 由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. 【小问2详解】 ，得. 因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 【小问3详解】 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 18. 研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题： （1）求函数的值域； （2）已知函数. ①写出的单调减区间，并用定义法证明； ②若，满足，证明：. 【答案】（1） （2） ①的单调减区间为. 证明如下：设， ，（*） 因为，所以， 因为， 所以. 又，所以，即， 所以的单调减区间为. ②因为，由知，. 又，所以， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用题目中给的结论得到函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得答案； （2）①利用题目中给的结论得到函数的单调性，并用函数单调性定义证明；②由得，再化简即得答案. 【小问1详解】 由，知，所以， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又， 所以是奇函数， 所以当时，. 所以的值域为. 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. （1）已知，直接判断集合是否为“”集. （2）若为“”集，，求的值； （3）若为“”集，，，求. 【答案】（1）为“”集，不为“”集. （2）32 （3） 【解析】 【分析】（1）按照“”集的定义列举验证即可； （2）根据“”集的定义分析得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案； （3）根据“”集的定义分析可得到都是集合中的元素，再根据它们的大小分析具体等于集合的哪一项，即得答案. 【小问1详解】 对于集合，当时，；当时，； 当，；当，；故为“”集. 对于集合，当时，，故不为“”集. 【小问2详解】 因为， 所以. 又因为， 所以， 所以. 所以. 【小问3详解】 因为， 所以. 又， 所以， 所以，同时. 因为，所以， 因为，所以. 又，所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年（上）期中质量监测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 任何一个正实数可以表示成，此时，.当时，是位数，则是（ ） （参考数据：） A. 24位数 B. 33位数 C. 34位数 D. 43位数 8. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 已知函数若，且，则（ ） A. 的最小值 B. 的最大值为1 C. ，使 D. 存在唯一，使 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 13. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 14. 若，其中，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）已知，求的值. 16. 已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 18. 研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题： （1）求函数的值域； （2）已知函数. ①写出的单调减区间，并用定义法证明； ②若，满足，证明：. 19. 设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集. （1）已知，直接判断集合是否为“”集. （2）若为“”集，，求的值； （3）若为“”集，，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $