27.2相似三角形 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，若是斜边上的高，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点P在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则添加的条件可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，，则的长为(   ) A． B． C． D． 6．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为，则像到小孔的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（    ） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 8．如图，正方形中，，点为边上一点，连接，过点作于点，点为边上一点，且，连接.下列结论：（1）；（2）；（3）若点为中点，则；（4）.正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（满分24分） 9．《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为米，同时身高米的小亮的影长为米，则旗杆的高度为 米. 10．如图，已知，，，，则 ． 11．如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 12．已知，如图，四边形中，，，如果与相似，那么的长为 ． 13．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，已知，，点在边上，且，则的长为 ． 14．如图，在中，，，C、D在边上，且是边长为4的等边三角形，那么的长是 ． 15．如图，在函数和的图象上，分别有两点，若轴，交轴于点，且，，则线段的长度 ． 16．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 三、解答题（满分72分） 17．如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证： (2)若，，求线段的长 18．某学校兴趣小组测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，．且，斜边与地面平行，延长交于点，沿方向观察刚好看到旗杆的顶端，该同学身高米，点到旗杆底部的水平距离为米，求旗杆的高度． 19．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 20．介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 21．如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D． (1)连接，求证：； (2)若，求度数； (3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若，，，求的长． 22．如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，直线分别交x轴、y轴于点，点C在直线上，且． (1)求的长； (2)如图2，已知点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，连接，． ①如果直线的表达式为，求t的值； ②延长交x轴于点D，连接，若在射线上有一点G，使得以C、B、G为顶点的三角形与相似，求点G的坐标． 23．【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，． 求证：．    【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，，，求菱形的边长． 参考答案 1．C 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决问题的关键． 由相似三角形的性质，即面积比等于相似比的平方，代值求解即可得到答案． 【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为， ∴面积比为，即， 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等．利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，证明，列出比例式进行判断即可． 【详解】解：∵在中，若是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，，，； 故错误的是C选项； 故选C． 4．D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：在，中， ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项A错误； ，即：，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项B错误； ，不是夹角的两边对应成比例，不能判定，故选项C错误； ，即，两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似，故能判定，故选项D正确； 故选D． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设，则，，再证明，利用相似比得到，进而根据勾股定理求得，根据，求得，从而得到的长，然后利用勾股定理计算出的长，根据矩形的性质即可得出． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， 即， （负值舍去）， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解. 【详解】解：设像到小孔的距离为， ∵ ∴， 长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，蜡烛到小孔的距离为， ， ． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点作， 由图可知，， ， ∵根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ∵小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米， ， ， ， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键，根据正方形的性质和垂直的性质找到角之间的关系，根据角之间的关系判断三角形相似，再根据相似三角形的性质找边、角之间的关系． 【详解】解：（1）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）， ， ， ， 故（2）正确； （3）如下图所示，过点作，分别交、于、点， 为的中点，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故（3）正确； （4）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故（4）正确； 综上所述，正确的个数有个． 故选：B ． 9． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆影子长，代入数据即可求． 【详解】解：设旗杆的高度为米 根据题意： 解得： 经检验，是分式方程解且符合题意， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先得出，根据相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 根据题意可得，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴， 由题意，， 解得， 故答案为：． 12．或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据勾股定理求出的长度，然后根据相似三角形的性质，分类进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得， ∵与相似， ∴当与为对应边时，， ∴； 当与为对应边时，， ∴； ∴的长为或， 故答案为：或． 13．3 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，重心的定义，联结并延长交于H，连接，根据重心是三角形三条中线的交点可得是的中位线，则可证明，推出；再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：如图所示，联结并延长交于H，连接， ∵是的重心， ∴点D和点H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 14．或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，再证明，利用相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或， 故的长是或， 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴ 17．(1)见解析 (2) 【分析】利用相似三角形的判定定理证明，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【详解】（1），， ； （2）， ， 得， 解得， ， 即． 【点睛】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． 18．旗杆的高度为米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键． 由题意可得四边形是矩形，，再证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：根据题意可证四边形为矩形， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又， ， ， ， 答：旗杆的高度为 米． 19．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 20．“介子推”雕像的高度AB为7米 【分析】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由，易证，，可得，，根据即可求解． 【详解】解：由题意，得， ， ，， ，． 米，米，米， （米）． ，， ， ，即， 米． 答：“介子推”雕像的高度为7米． 21．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识． （1）连接，，由，，得到，结合，证明得到，即可证明； （2）设，则，，由和得到，再结合列方程求解即可； （3）延长交于，先证明，得到，，则，，设，半径，由，得到，代入整理得， 即可得到，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：连接，，    ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，延长交于， 由（1）可得是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴设，半径，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 由（1）得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 22．(1) (2)①；②或 【分析】（1）过点C作轴于点D，通过角的转换得到，则可以证明得到，根据题意证明四边形为矩形，可得，再通过勾股定理求出，进而即可求解； （2）①根据题意可得，点和点F分别为和，进而即可求出，，再证明为等腰三角形，进而即可求解；②先求出射线的解析式，则可求出点的坐标，再在的中，表达出各边的值，设点为，则在的中，表达出各边的值，以C、B、G为顶点的三角形与相似可分为两种情况，进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C为， 设直线的解析式为， 将点和代入得，， 解得， ∴直线的方程为； （2）解：①∵点P在线段上，直线为且其交x轴于点E，交于点F， ∴，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴是边上的中线， ∴， ∴， 解得； ②由①得，， ∴点P为， ∵点为， 设射线为， 将和代入得，， ∴射线为， 当时， ， 解得， ∴， 在的中，，，， ∵点G在射线上， ∴设点为，， 在的中，，， 当时，则，如下图： ∴ ， 解得， ∴点为； 当时，则，如下图： ∴ ， 解得， ∴点为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、一次函数的应用和两点间的距离公式，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）；（3）菱形的边长是 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，可得，即得结论； （2）先证明，可得，即可列方程求解； （3）延长和，相交于点G，先证明，可得，从而可知，然后结合，可证明，再利用，可求得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （3）延长和，相交于点G， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 解得， ， 即菱形的边长为．    学科网（北京）股份有限公司 $