27.2.3相似三角形的应用举例 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2.3相似三角形的应用举例》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为米，这棵大树的高度为（    ） A．25米 B．20米 C．15米 D．10米 2．如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（   ） A．5米 B．米 C．8米 D．10米 3．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上，过点A的另一条直线分别与点B、C所在横线的交点为点D，E，则与的面积比为（   ）    A． B． C． D． 5．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 6．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射来面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（满分24分） 9．如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．    10．如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ． 11．如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 米． 12．如图，某一时刻阳光透过窗户照射到室内，在地面上留下1.6米宽的亮区，已知窗户下端到地面的距离米，亮区到窗户下端墙脚的距离米，那么窗户高为 米． 13．如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼4.5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为1.2m，此时小明拿起一根高2m的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长1m，那么这棵大树高 m． 14．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在处，屏幕在处，皮影人与屏幕相距，射灯与皮影人相距，若保持皮影人在处位置不变，要使屏幕上的影长增大一倍至，则射灯应向皮影人靠近至的距离为 ． 15．如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 16．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．斜坡上点处有一棵树，，小球恰好越过树的顶端，那么这棵树的高度为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，花丛中有一路灯，在灯光下，小英在D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小英的影长．如果小英的身高为1.2 m，求路灯的高度． 18．如图，为测算河对面高楼的高度，小明站在岸边一商场楼顶，从楼顶点处看水面，正好通过小船处看见对面楼顶A在水里的倒影；他下到二楼从点处看水面，正好通过河埠头（河边渡口伸出的小台子）端点看见倒影．已知二楼观测点处高出水面米，商场楼顶点处高出水面米，点与点的距离米，点与点距离米．求高楼的高度． 19．陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 20．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 21．综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 22．综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 23．如图所示，抛物线坐标轴交于、、，其顶点是． (1)求该抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据同一时刻，物长与其影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这棵大数的高度为米， 由题意得，， 解得， ∴这棵大树的高度为20米， 故选：B． 2．C 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 设点A到的距离分别为d，h，根据，得，得． 【详解】解：设点A到的距离分别为d，h， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值， 设蜡烛火焰的高度为， 根据题意得，， 解得：， ∴蜡烛火焰的高度为． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，则有，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴阴影部分的半径是， 所以地面上阴影部分的面积为：， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 如图，为路灯的高，设，先证明，得到①，再证明，得到②，则，可解得，所以，，然后证明，得到，再利用比例性质求出即可． 【详解】解：如图，为路灯的高，设， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②，   由①②得即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 即：标杆的影长为． 故选C． 8．B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知，，则，根据性质的，然后代入即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故选：． 9． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图，    由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 10．24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度即可． 【详解】如图，过点作水平线,过点作于点,过点作于点, ,， , , , , ，， ， ， 故答案为：. 11．12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，延长交于H，根据矩形的性质得到米，米，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：延长交于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 即旗杆的高度米． 故答案为：12． 12． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据光沿直线传播的道理可知，则，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答． 【详解】解：太阳光是平行光线， ， ， ，即， 米， 故答案为：． 13．10.2 【分析】本题主要考查了影长的有关计算，矩形的判定和性质， 过点D作于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：10.2． 14． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意得到，，，证明得到，则，再证明得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意知点F、B、D共线，作于Q，交于P，易得，，计算出，，再证明，然后利用相似比计算出即可求出答案． 【详解】解：作于Q，交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，证明，根据相似三角形的性质求出，求出点坐标，得到，从而得到答案． 【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足分别是点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，则点横坐标为， 将代入中， ， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 17． m 【分析】本题考查了相似三角形的应用，将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程是解题的关键． 先说明，则＝，即＝①，同理可得：＝，即＝②，然后①②联立求出即可． 【详解】解：， ∴， ∴=，即=．① 同理：， ∴=，即=．② 由①②，得=，解得， ∴=，解得m． 所以路灯的高度为 m． 18．130米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似，利用相似三角形的性质列出比例式． 根据得出，证得，进而根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：设米． ， 是等腰直角三角形． ， ， ． ，即． 解得． 答：高楼的高度为130米． 19． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，由题意，得，，，所以四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得，，，证明得，即，解出的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：雕像的高度为． 20．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∴ 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 22．[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 23．(1)抛物线的解析式为； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）过点D作轴于点F，和都是等腰直角三角形，可得，即可证得结论； （3）利用勾股定理求得的三边的长，然后分点P在x轴和y轴两种情况讨论，设出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 过点D作轴于点F， 在中， ∵， ∴， ∴ ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，理由： 由（2）知，，， ∵，，故当P是原点O时，； 当是直角边时，若与是对应边， 设P的坐标是，则， ∴，即， 解得， 则P的坐标是，不是直角三角形，则不成立； 当是直角边，若与是对应边时， 设P的坐标是，则， 则，即， 解得，故P是时，一定成立； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，此时，两个三角形不相似； 当P在x轴上时，是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是． 则，当与是对应边时， 则，即， 解得，符合条件． 总之，符合条件的点P的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $