27.2.2相似三角形的性质 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2.2相似三角形的性质》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若两个三角形相似，若它们的相似比是，则它们的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．在中，点、分别在边、上，如果，那么下列条件能够判定的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，、都是的垂线，，，．是上一点，连接、，所得两个三角形相似，则的长是（   ） A．2 B． C．2或12 D．上述各个值都有可能 6．如图，在中，E、F分别是、边上的点，连接、，它们相交于点G，延长交的延长线于点H，下列结论错误的是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为（   ） A．5 B． C． D． 8．如图，在中，，用直尺和圆规在上确定点，具体操作过程是：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的周长之比为 ． 10．在中，点D、E分别在边、上，，如果平分的面积，那么 ． 11．如图，在中，点D在上，且．若，则的长是 ． 12．如图，直尺的一边与重合，另一边分别与、交于点、，、处的读数分别为、，若，则 ．    13．如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为 米． 14．如图，中，，正方形内接于，若，，则正方形的边长是 ． 15．如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点．当的面积为3时，k的值为 ． 16．如图，过外一点引圆的两条切线，切点分别为、，连接、，延长、交于点，过点作，交的延长线于点．若，，则的半径为 ；连接，则的长为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，，B是线段AD上的一点，且．求证：． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上，在网格中找一点D（点D在小正方形的顶点上），使以A，B，C，D为顶点的四边形是凸四边形且分别满足以下条件： (1)在图①中找一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图②中找一点D，使与相似但不全等． 19．（1）判断图1中两个三角形是否相似（图中是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，和的顶点均在格点上）； （2）求图2中x和y的值． 20．已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 21．如图，四边形中，平分，，为的中点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，，． (1)求的长； (2)求的长． 23．如图，以为直径的上有两点E、F，，过点E作直线交的延长线于点D，交的延长线于点C，过C作平分交于点M，交于点N． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果N是的中点，且 ，求的长． 24．如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交于点，且以为直径的圆经过点． (1)若点，点，求的值； (2)若点，，试探索是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)若点是圆与抛物线的交点与、、不重合，在的条件下，轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，解答即可． 【详解】解： 两个三角形相似，且它们的相似比是， 它们的面积比是． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据相似三角形的性质与判定逐项分析判断即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴，无法得到，故A选项错误，不符合题意； 若，此时，又无法得到和大小关系，无法得到，故B选项错误，不符合题意； 若，此时无法得到，故C选项错误，不符合题意； 若，此时， 又∵， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 3．D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角， 根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解： ， 设，则． 如图，当时， ， ， 解得； 如图，当时， ， ， 解得或． 综上所述，的长为或2或12． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键，根据平行四边形的对边平行，结合平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 不能得到 综上：A，B，C选项正确，D选项错误； 故选D． 7．D 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，连接，，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得或（舍去）； ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 根据直尺和圆规在上确定点的步骤可知，再根据角度的关系可判定与相似，与相似，由此可判断选项． 【详解】解：由题意可知，， 即， ∵， ∴，， ∴，故选项D错误； 在与中， ， ∴， ∴，即，故选项A正确； ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，即，故B选项错误； 在中，， ∵，故C选项错误． 故选：A ． 9． 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边上的中线支比，周长比都等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴它们的周长之比为； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据题意得到，再证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例的性质可求出的值． 【详解】解：∵平分的面积， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 11．4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握常见的相似模型是解题的关键． 证明得到，代入计算即可得解． 【详解】∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先通过三角形三个角相等证明得出，再根据计算出，最后将、带入到即可得出答案 【详解】解：由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 13．/1.5/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出同位角相等，证明三角形相似，利用相似三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：， ， ， 解得，， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用正方形的性质得到相似三角形，进而根据相似三角形的性质列方程求解． 设正方形的边长为，通过正方形的性质得到角的关系，从而证明与相似，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ， 又 ， ，则， ， ，即． 解得（边长不能为负，舍去负根）． 正方形的边长是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴的面积的面积，， ∵点A，C为函数图象上的两点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 故答案为：． 16． / 【分析】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，①连接，由题意得：且，求出，；设，则；根据即可求解；②作，可推出；根据，，求出，得；进而得，；求出，；即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：且， ∵，， ∴， ∴； 设，则； ∵， ∴，解得：； 作，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴，； ∴， ∴； 故答案为：①；②． 17．见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，本题利用两角相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例即可求证． 【详解】解：如图，，且． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作，且，从而得到点； （2）先确定为直角，且两直角边的比为，则为，然后利用与的比为确定点位置． 【详解】（1）解：如图①，点即为所作（答案不唯一）． （2）解：如图②，点即为所作（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与相似三角形的判定，掌握利用网格的边长和位置关系，结合平行四边形、相似三角形的判定条件进行格点作图是解题的关键． 19．（1）相似；（2），． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据勾股定理得到，，，，得到，即可证明； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：相似，理由如下： 由勾股定理可得：，，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，， 即，． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质： （1）根据，，即可求得答案． （2）根据，即可求得答案． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行线的判定与性质、直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）由平分，得，再由，然后问题可求证； （2）由得，，则有，再结合，，可求出，的值，又因为点是的中点，进而求出，然后根据角的关系得出，则有，从而得出，最终有从而获解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ； （2）解：由得，， ，， ，， ，即， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 平行于， ， ， ． 22．(1) (2) 【分析】（1）先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，即点共线，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，最后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于点， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 由（1）已得：，， ∴， ∴点共线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了圆的综合问题，相似三角形的性质与判定，切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，由E是的中点得，再由半径相等得，从而得，则；再由即可证明；   （2）由平分得，再由外角性质得到，由此推出； （3）由（2）的证明知，，从而可证明 ，得到，，由，，证得，由相似三角形的性质求出，在中，利用勾股定理得到，求出，即可求出． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明：如图： 由（1）知是的切线， ∴（弦切角定理）， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴，∵，∴． ∴的长为6． 24．(1)； (2)的值是定值，为； (3)的坐标为或或或． 【分析】（1）设圆心点为，利用、的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出的长，求得点，然后利用轴的交点式代入点的坐标得到函数的解析式即可求解； （2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出是一个定值； （3）根据题意，分为点在轴上或点在轴上两种情况，结合相似三角形的判定与性质可求点的坐标. 【详解】（1）解：设圆心为点， ，， ，的半径为， ， ， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ， ， ， ，， ； （2）的值是定值，为， 理由：点，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 令时，， ， ， ； （3）点是圆与抛物线的交点与、、不重合，， ，即：， 当点在轴上时，如图，设点的坐标为， ，，， ，，， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ， 或②， ， ， ， 当点在轴上时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，， ，， ，， 以、、为顶点的三角形与相似， ①， ， ， ∴ 或②， ， ， ∴ 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 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