27.2.1相似三角形的判定 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2.1相似三角形的判定》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各组图形中，一定是相似三角形的是（    ） A．两个锐角三角形 B．两个等腰三角形 C．一个角为的等腰三角形 D．两个直角三角形 2．如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 3．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 5．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．9 B．6 C．3 D．4 7．如图，四边形中，，E为上一点，分别以为折痕将两个角（）向内折起，点A，B恰好落在边上的点F处，若，则的值是（   ） A．6 B．5 C．6.5 D．5.5 8．如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点A恰落在线段上的点H处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（满分24分） 9．如图，在中，是边上一点，连接，要使与相似，应添加的条件是 ．    10．图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）. 11．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．    12．的三条中线、、交于点，若，则的长为 ． 13．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    14．如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足 时，与相似． 15．如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）    16．如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交于点．若，则 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，已知，请用尺规作图，在下方求作一点，使得以为直角顶点的与相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在平行四边形中，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，且．求证：； 19．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为48，求的长． 21．如图，在四边形中，平分，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 22．如图，是的直径，点在⊙上，，垂足为，，分别交，于点． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 23．如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由． 24．【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 参考答案 1．C 【分析】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 根据三角形相似的判定进行判断． 【详解】解：A、两个锐角三角形不一定相似，故选项错误； B、两个等腰三角形不一定不相似，故选项错误； C、一个角为的两个等腰三角形的两个底角都是，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判断三角形相似，故选项正确； D、两个直角三角形不一定相似，故选项错误； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故A不符合题意； B．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故B不符合题意； C．若， ∵与的夹角，与的夹角，不一定相等， ∴不能推出； 故C符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得； 故D不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键； 根据相似三角形的判定定理分析即可求解； 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， ，故A不符合题意； B、，， ，故不符合题意； C、由图形可知，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据，得出，进而根据相似三角形的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 7．A 【分析】主要考查了直角梯形翻折，相似三角形．解题的关键是熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定和性质．如图，首先运用翻折变换的性质求出的长度， ，得,得，代入计算求出的长度，即可． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， 由翻折知：，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．A 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，则，可判断①正确，证明，可判断②正确，利用勾股定理及折叠性质计算出相应边长度，再利用面积公式即可得到③正确，利用边长关系即可得到④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴由折叠得，， ∴，故①正确； ∵，点F在上，点H在上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵根据折叠可知：，， ∴在中，， ∴，， 设， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得及是解题的关键． 9．或或或． 【分析】根据公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【详解】∵公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 10．是 【分析】先根据三角形的内角和定理求得第一个三角形的第三个内角的度数，根据相似三角形的判定即可解答． 【详解】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为， 根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似， 故答案为：是 【点睛】本题考查相似三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 11．2 【分析】本题可分2种情况：①作，则，因此符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D作，那么符合所求直线的要求． 【详解】解：如图；    ①作； ∵，， ∴； ②作． ∵， ∵， ∴ 因此共有2种作法， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 12．15 【分析】连接，则，根据解题即可． 【详解】解：连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查相似三角形和三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 13． 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于的三边之比就是与相似的三角形． 【详解】解：∵的三边之比是， 的三边之比是 的三边之比是， 的三边之比是． ∴与相似， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键． 16． 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行线的判定定理得到，根据切线的性质得到，再由勾股定理得，最后根据平行证明，由相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 17．画图见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的作图，先作的垂线，在下方作或，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求； 理由：由作图可得：，， ∴； 或：∵，， ∴． 18．见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定．利用平行四边形的性质，得，结合，得，因为，所以证明． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 20．(1)见解析 (2)19.5 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解：设，则， 矩形的周长为48， ， 解得：， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ． 21．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）先利用直角三角形斜边中线的性质得出，则可得，再结合平分即可证明 （2）利用，，可得，再利用相似的性质即可得； （3）利用平行判定，求出，再利用线段的比例性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）由圆周角定理直接求解； （2）根据圆周角定理得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理得到； （3）根据圆周角定理得到，求得，推出，根据相似三角形的判定定理得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：是的直径， ， ； ， ； ， ， ， ； （3）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．(1) ， (2)是，理由见解析 【分析】（1）将点代入中，得，由此即可求出的值，进而可得反比例函数的表达式；将，分别代入中，得，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数的表达式； （2）由两直线平行同位角相等可得，，然后由相似三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入中，得：， ， 反比例函数的表达式为； 将，分别代入中，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：点P在滑动过程中，与总相似，理由如下： 轴， ， ， 轴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定，两直线平行同位角相等，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及反比例函数与几何综合是解题的关键． 24．（1）抛物线的解析式为 （2）选择1：面积的最大值为；选择2：的最大值； （3）当或时，和相似． 【分析】本题考查的是二次函数与图形的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定综合． （1）已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点坐标，可利用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求解； （2）选择1：要求面积的最大值，可通过设点P坐标，将的面积表示为关于点P横坐标的函数，再根据D函数性质求最大值． 选择2：求的最大值，可通过设点P坐标，利用相似三角形的性质将表示为关于点P横坐标的函数，再求最大值； （3）要求使得和相似的点M的坐标，需要先求出相关线段的长度和角度，再根据相似三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】解∶ （1）顶点为， 设抛物线的解析式为． 将点 代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q， 抛物线的解析式为，交轴于点， 时，． ． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得 直线的解析式为． 设，则， ． ， ． ， ， 当时， 面积为最大值，最大值为． 选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q， 设，由“选择1”可得，， 轴， ． 又， ． ． ，， 当时，取得最大值，最大值为． (3)画出示意图如图3， ，直线的解析式为， ， ． 交抛物线于点E， 可设，其中． ， ． ． 轴平分． ∴点E关于x轴对称的点在直线上， ，其中， 解得， (舍去)，此时． 分类讨论如下∶设， 当时， ． ，顶点， ． ． 又， ，， ，解得，(舍去) ∴．此时； 当时 ， ，即． 解得， (舍去)， ∴此时． 综上，当或时，和相似． 学科网（北京）股份有限公司 $