27.1图形的相似 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.1图形的相似》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 5．两个相似多边形的一组对应边分别为和，如果小多边形周长为，那么较大的多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 6．如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知，且，则a的值为 ． 10．如果且，那么 ． 11．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 12．已知点C是线段的黄金分割点，且．若，则 ． 13．如图，四边形四边形，若 ，则 度． 14．如图，直线，，，，则的长为 ． 15．如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为 ． 16．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求． 18．已知，，，． (1)求出、、的值（用含代数式表示）； (2)求出的取值范围； (3)若，求它的最大值与最小值的差？ 19．如图，已知，与相交于点．如果，，，求的长． 20．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 21．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 22．如图，平行四边形中（），E是上一点，且，F是中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（要求：①不写作法，②保留作图痕迹，③说明作图结果） (1)在上作点G，连接构成平行四边形． (2)作的角平分线，交于M． 23．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 参考答案 1．解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 2．解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 3．解：、∵， ∴， 即，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故选项正确，符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 4．解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的对应边之比是相似多边形的相似比，相似多边形的周长比等于相似比，根据相似多边形的一组对应边分别为和，可知这两个相似多边形的相似比为，所以这两个相似多边形的周长比也是，根据小多边形周长为，即可求出大多边形的周长． 【详解】解：相似多边形的一组对应边分别为和， 这两个相似多边形的相似比为， 设较大的多边形的周长为， 则有， 解得：． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 9．6 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质可得，，进而得到，解方程解答即可． 【详解】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 10． 【分析】本题考查比例关系的应用及代数方程的解法．正确设定比例参数并转化为代数表达式是解题的关键．设，则，，，再根据列方程，解得的值，进而得到，，的值，最后代入式子求值即可． 【详解】解：设， ，，， ， ，即， ， ，，， ． 故答案为：． 11．（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 12． 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为： 13． 【分析】本题考查了相似图形的性质，多边形的内角和定理. 先根据四边形内角和定理求出，再根据相似图形的对应角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形四边形， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例定理得到，然后把，，，代入计算即可． 【详解】 解：， ，即， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，由矩形矩形，可得，代数求解即可． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形 矩形，可求相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值．本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值． 【详解】解：由题意，过点作，，垂足为、， 点在双曲线上， 矩形， 又， ， 点在矩形的对角线上， 矩形 矩形， ， ， ， ． 函数的解析式是：． 故答案为： 17．(1)12，8，24 (2)24 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k,然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：设 ，则， ∵， ∴， 解得，， 所以，，，； （2）解：∵线段x是线段、c的比例中项， ∴， ∴． 18．(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了比的性质，解不等式组，不等式的性质等知识，根据题意列出不等式组是解题的关键； （1）根据比的性质，即可求解； （2）根据已知条件得出关于k的不等式组，然后解不等式组即可， （3）先求出，然后根据（2）中的取值范围结合不等式的性质求出w的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵， ∴， 解得； （3）解： ， ∵， ∴， ∴，即， ∴w的最大值为，最小值为， ∴它的最大值与最小值的差． 19．16 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得：， ． 20．(1)不相似．理由见解析 (2)当x为1.5或9时，矩形与矩形相似 【分析】（1）要说明相似只要说明对应边成比例，对应角相等； （2）如果两个矩形与相似，对应边成比例，就可以求出的值。 【详解】解：（1）不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时成立。 21．(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 又因为， 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、相交于O，连接，并延长交于H，再连接，并延长交于G，最后连接即可； （2）连接、相交于O，连接、相交于N，然后连接并延长交于M，则即为所求 ． 【详解】（1）解：如图1所示：点G即为所求； ∵平行四边形， ∴，， ∴点O是、的中点， ∵F是中点， ∴是、的中位线， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图2所示，为的角平分线． ∵平行四边形， ∴， ∴点O是的中点， ∵F是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线． 【点睛】本题考查无刻度的直尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行线的性质．熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $