精品解析：吉林省延吉市第三高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

延吉市第三高级中学20252026学年度第1学期高 二年级11月期中考试数学学科试卷 出题人：徐延霞 审核人：栾秋悦 考生注意： 1.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单选题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算即可. 【详解】，所以， 故选：C 2. 在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据不共面的三个向量即可作为空间向量的一组基底，即可得到结果. 【详解】因为向量，，不共面，所以可以作为空间向量的一组基，而其它三组向量都共面， 故选：C. 3. 已知点，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间的斜率公式计算结果. 【详解】∵, ∴. 故选：D. 4. 若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角可得直线l1的斜率，由斜率公式可得直线l2的斜率，可判断平行或重合关系. 【详解】直线l1的倾斜角为135°，其斜率， 直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，其斜率， 显然满足， l1与l2平行或重合. 故选D. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系的判断，注意斜率公式的合理应用. 5. 如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的运算求解即可； 【详解】是的中点，所以， 故选：A. 6. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 7. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出两圆的圆心距，再判断位置关系即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 又，所以， 所以圆与圆的位置关系为内含. 故选：A. 8. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 二､多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为m>－3 B. 光线由点P（2，3）射到x轴上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程是 C. 四个点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）在同一个圆上 D. 若圆与圆关于直线x＋y＝0对称，则圆的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的方程的性质与点与圆的位置关系列不等式求m的取值范围，判断A；求点P（2，3）关于x轴的对称点，利用点斜式求反射直线方程，判断B；求过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程，判断点（－1，1）与圆的位置关系，判断C；求对称圆的圆心，再求圆的方程，判断D. 【详解】因为表示圆C的方程，所以，所以或，又点A（1，2）在圆C：外，所以，解得，所以或，A错； 设点P（2，3）关于x轴的对称点为点，则点的坐标为，由光学性质可得点，Q（1，1）都在反射直线上，所以反射直线的斜率，所以反射直线的方程为，即，B对； 设过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程为，由已知可得，解方程可得，所以过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程为，又，所以点在圆外，所以四个点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）不在同一个圆上，C错； 设圆的圆心为，半径为，由已知的坐标为，，因为圆与圆关于直线x＋y＝0对称，所以点与点关于直线x＋y＝0对称，且圆的半径为1，设圆的方程为，由已知可得且，所以，，所以圆的方程为，即，D对； 故选：BD. 10. 下列说法中错误的是（　　） A. 直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B. 与是直线的截距式方程 C. 直线方程的斜截式都可以化为截距式 D. 在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解. 【详解】对于A，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确． 故选：ABC 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断A，利用空间向量共面定理判断B，利用空间向量的线性运算判断C，利用空间向量的平移性质判断D即可. 【详解】对于A，当，的夹角为时，，故A错误， 对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确， 对于C，因为， 所以， 所以四点共面，故C正确， 对于D，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 圆与直线的位置关系为__________. 【答案】相交 【解析】 【分析】先证明直线过定点，再证明点在圆内，即得解. 详解】解：由得， 令所以直线过定点. 把的坐标代入圆的方程的左边得到， 所以点在圆内， 所以直线和圆相交. 故答案为：相交 13. 在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解. 【详解】因为是正方体，建立以为原点的坐标系，如图， 设正方体的棱长为2，则有，，， ， ， ， 设异面直线与所成角为， ． 故答案为：． 14. 已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，代入顶点坐标待定系数法可解出，再转化为圆的标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 把的顶点坐标，，代入可得， 解得， 故所求的的外接圆的方程为， 化为标准方程可得：. 故答案为：. 四､解答题（本题共5道题，共77分.） 15. 的三个顶点分别是，，.边上的高所在直线记为，过且与平行的直线记为，直线与的交点为. （1）求和的方程； （2）求到直线的距离. 【答案】（1）的方程为，的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，即可求出，再由点斜式求出的方程，再求出，即可求出直线的方程； （2）联立两直线方程求出交点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以，则直线的方程为，即， 又，所以，则直线方程为，即. 即的方程为，的方程为. 【小问2详解】 由，所以直线的方程为，即， 由，解得，所以， 所以点到直线的距离. 16. 如图，已知四棱锥是正四棱锥，为底面的中心，为的中点．用空间向量法求解下列问题． （1）若，求直线与平面所成角的大小； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分析条件中的垂直关系，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，分别根据（1）（2）的条件，写出各问中点的坐标，根据线面角的向量求法可得直线与平面所成角的大小，根据面面角的向量求法可得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由题可知四边形是正方形，且底面. 因为平面，所以. 分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设底面边长为，则，， 所以则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，即直线与平面所成角为. 【小问2详解】 由（1）分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，所以， 所以 则. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则，. 设平面的一个法向量为， 则，所以. 令，则，， 故. 故平面与平面夹角余弦值为. 17. 已知直线圆：. （1）求直线与圆的交点的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆的方程即得； （2）由题可得的长度，然后利用点到直线的距离公式及三角形面积公式即得. 【小问1详解】 由，可得， 所以或， ∴当时，，当时，， 所以直线与圆的交点的坐标为； 【小问2详解】 由（1）可知， 又点到直线的距离为， ∴的面积为. 18. 已知圆与圆 （1）求经过圆与圆交点的直线方程： （2）求圆与圆的公共弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案； （2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 圆即，圆心为，半径为， 则，故圆与圆相交； 将圆与圆的方程相减， 得， 即经过圆与圆交点的直线方程为； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为1， 到直线的距离为， 故圆与圆的公共弦长为. 19. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 （1）求的长； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， （1）由为平行四边形，运用向量的模的计算方法，可得的长度； （2）运用向量坐标运算计算点到平面的距离． 【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)． 设F(0，0，z)． ∵AEC1F为平行四边形， ∴由AEC1F为平行四边形， ∴由=得，(-2，0，z)=(-2，0，2)， ∴z=2．∴F(0，0，2)．∴=(-2，-4，2，于是||=2，即BF的长为2； (2)设为平面AEC1F的法向量，显然不垂直于平面ADF，故可设=(x，y，1)． ⇒，即，∴ 又=(0，0，3)，设与的夹角为a， 则cosα==， ∴C到平面AEC1F的距离为d=||cosα=3×=． 【点睛】本小题主要考查空间中的线面关系、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延吉市第三高级中学20252026学年度第1学期高 二年级11月期中考试数学学科试卷 出题人：徐延霞 审核人：栾秋悦 考生注意： 1.本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 第I卷（选择题共58分） 一､单选题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，则（ ） A B. C. 1 D. -1 2. 在正方体中，可以作为空间向量一组基的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知点，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合 5. 如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 6. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 8. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3道小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为m>－3 B. 光线由点P（2，3）射到x轴上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程是 C. 四个点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）在同一个圆上 D. 若圆与圆关于直线x＋y＝0对称，则圆的方程为 10. 下列说法中错误的是（　　） A. 直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B. 与是直线的截距式方程 C. 直线方程的斜截式都可以化为截距式 D. 在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分） 12. 圆与直线的位置关系为__________. 13. 在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________. 14. 已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 四､解答题（本题共5道题，共77分.） 15. 的三个顶点分别是，，.边上的高所在直线记为，过且与平行的直线记为，直线与的交点为. （1）求和的方程； （2）求到直线的距离. 16. 如图，已知四棱锥是正四棱锥，为底面的中心，为的中点．用空间向量法求解下列问题． （1）若，求直线与平面所成角的大小； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知直线圆：. （1）求直线与圆的交点的坐标； （2）求面积. 18 已知圆与圆 （1）求经过圆与圆交点的直线方程： （2）求圆与圆的公共弦长． 19. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 （1）求的长； （2）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $