1.10有理数的除法（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.10有理数的除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为 。例如 。 两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如。 型 习 练 题 倒数 1．下列说法正确的是（　　　） A．倒数等于它本身的数是和0 B．任何有理数的绝对值都是正数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 2．若的相反数是，则的值为（    ） A．2022 B． C． D． 3．的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 4．的倒数为（   ） A． B． C． D． 5．有理数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 有理数的除法运算 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．计算下列算式的值，其中绝对值最小的是（  ） A． B． C． D． 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 有理数除法的应用 11．如图，直尺上的刻度对应数轴上的数是（   ） A． B． C． D．0 12．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 13．已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 14．甲乙两人买相同品种的苹果，甲用22元买了4千克苹果，乙用17元买了3千克苹果，谁买的苹果更便宜？（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 15．俗话说“商场如战场”，“买的永远没有卖的精”．某商场正在进行促销，广告上写着“买四赠一”，请问买30件这样的商品，能省（    ） A．能节省买5件的钱 B．能节省买7.5件的钱 C．全价的百分之二十 D．全价的百分之二十五 有理数乘除混合运算 16．计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 17．计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 18．计算的结果是（  ） A． B． C．2 D．10 19．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 20．如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 有理数四则混合运算 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1) (2) 23．用简便方法计算： (1)； (2)． 24．计算 (1)； (2)； (3)． 25．计算：． 有理数四则混合运算的实际应用 26．外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） (1)在这一周当中，该外卖小哥送餐最多的一天送______单，最少的一天送______单； (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪100元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元钱，超过50单的部分，每单补贴4元钱，求该外卖小哥这一周工资收入多少钱？ 27．某社区快递站调查了一名快递员一周的派件情况，规定派件量超过60件（送一次快递称为一件）的部分记为“”，低于60件的部分记为“”，下表是该快递员一周的派件量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 派件量（单位：件） 0 (1)该快递员这一周派件量最多一天比最少一天多送多少件？ (2)求该快递员这一周平均每天派件多少件？ (3)快递员每天的工资由底薪150元加上派件补贴构成，派件补贴的方案如下：每天派件量不超过60件的部分，每单补贴4元；超过60件但不超过75件的部分，每单补贴7元；超过75件的部分，每单补贴10元，求该快递员这一周的工资收入多少元？ 28．学习数学唯一正确的方式是实行再创造，某天课后，老师布置的实践性作业是“发现身边的数学，用数学的眼光看世界，请同学们根据所学知识，设计一个问题并解答”．为了高质量地完成实践作业，小美和其他7位组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们8人主要观察统计相邻的A．榆医一院，B．一悟小学，C．栖云小区，D．三电四个车站．沿路上下的乘客人数（用正数表示上车人数，用负数表示下车人数）如表所示： A B C D 上车的人数 15 10 6 3 下车的人数 已知榆医一院站的前一站出发时车上有16名乘客，他们设计的问题如下：（列出合理算式并计算） (1)该公交车离开三电站时，车上还有多少名乘客？ (2)该公交车行驶在榆医一院站与三电站之间时，在哪两站之间车上的乘客最多？有多少名乘客？ (3)若每人每次乘坐这辆公交车都需要刷卡1元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），问该公交车在这四个站能收多少钱？ 29．某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向行驶，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里），依先后次序记录如下：、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公园的什么方向？离公园多远？ (2)若出租车每公里耗油量为0.1升，则这辆出租车这天下午耗油多少升？ (3)规定出租车的收费标准是4公里内付15元，超过4公里的部分每公里付1.5元（不足1公里按1公里算），那么第一位客人应付车费多少元？ 30．有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； (2)求这20箱苹果的总质量． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.10有理数的除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示为 。例如 。 两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如。 型 习 练 题 倒数 1．下列说法正确的是（　　　） A．倒数等于它本身的数是和0 B．任何有理数的绝对值都是正数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【答案】C 【分析】本题考查基本数学概念的理解，根据倒数的定义、绝对值的性质、有理数的分类和数轴上点的表示方法，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：∵0没有倒数，∴A错误； ∵0的绝对值是0，不是正数，∴B错误； ∵有理数分为整数和分数，∴C正确； ∵当时，，表示的点在原点的右边，∴D错误． 故选：C． 2．若的相反数是，则的值为（    ） A．2022 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，倒数，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义求出a的值，再求其倒数． 【详解】解：∵a的相反数是， ∴， ∴． 故选：C 3．的倒数是（    ） A． B． C． D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义，是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解： ∵的倒数为 ， ∴ 故选：B. 4．的倒数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 根据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：若 ，则是的倒数； ， 的倒数是， 故选：B 5．有理数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数定义，熟记倒数定义是解决问题的关键． 根据倒数的定义，一个数的倒数是与之相乘得1的数，列方程求解后逐项验证即可得到答案． 【详解】解：设倒数为，则由倒数定义可得， ， 则， 故选：D． 有理数的除法运算 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则求解判断即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算．有理数运算中，注意符号法则：同号相加取同号，异号相加取绝对值大的符号；减去一个数等于加上它的相反数；同号相乘除得正，异号相乘除得负． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 8．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分数的除法运算，核心是掌握除以一个分数等于乘以它的倒数的规则． 利用分数的除法运算法则进行判断即可． 【详解】，A选项是正确的，符合题意； ，B选项是错误的，不符合题意； ，C选项是错误的，不符合题意； ，D选项是错误的，不符合题意； 故选：A． 9．计算下列算式的值，其中绝对值最小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的加法，减法，乘法与除法运算，绝对值的含义，先计算每个选项的值，并求其绝对值，比较大小． 【详解】解：∵ A、，， B、，， C、，， D、，， ∴ 绝对值最小的是B． 故选：B 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 依据有理数的加减乘除法则直接计算每个选项，根据结果判断正确性即可． 【详解】A．，∴ A错误，不符合题意； B．，∴ B错误，不符合题意； C．，∴ C错误，不符合题意； D．，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 有理数除法的应用 11．如图，直尺上的刻度对应数轴上的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、有理数的除法，理解题意是解题的关键．由数轴可知，1个单位长度为，再结合刻度对应数轴上的数与1的距离为，即2个单位长度，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，1个单位长度为， 刻度对应数轴上的数与1的距离为个单位长度， ∴刻度对应数轴上的数是， 故选：C． 12．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）于2025年5月10日拉开帷幕，第一轮常规赛由代表各地级市的13支球队进行单循环比赛，即每支球队都要与其他球队比赛一场，则“苏超”第一轮常规赛共比赛（    ） A．12场 B．24场 C．78场 D．85场 【答案】C 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，单循环比赛的总场次计算公式为：总场次球队数 (球队数) ． 【详解】解：∵ 有13支球队，每支球队需要与其他12支球队各比赛一场， ∴ 总比赛场次为（场）． 故选：C． 13．已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的减法的实际应用，除法的实际应用，理解题意，列出正确的算式是解本题的关键. 先求解温度差，再利用这个温差除以下降的速度即可. 【详解】解：， （分）. 故选：A. 14．甲乙两人买相同品种的苹果，甲用22元买了4千克苹果，乙用17元买了3千克苹果，谁买的苹果更便宜？（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用．解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，比较计算出的单价大小． 用每人所付的钱数除以购买的苹果的千克数得到每人买的苹果的单价，比较单价的大小即可． 【详解】解：甲购买苹果的单价为：（元/千克） 乙购买苹果的单价为：（元/千克） ，因此甲购买的苹果更便宜． 故选：A． 15．俗话说“商场如战场”，“买的永远没有卖的精”．某商场正在进行促销，广告上写着“买四赠一”，请问买30件这样的商品，能省（    ） A．能节省买5件的钱 B．能节省买7.5件的钱 C．全价的百分之二十 D．全价的百分之二十五 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘除法的应用，理解题意是解答的关键．根据题意得到买24件送6件，进而列算式计算即可． 【详解】解：根据题意，， 即买24件送6件，刚好买30件这样的商品，节省买6件的钱， 则， 故选项C正确，符合题意；选项A、B、D错误，不符合题意， 故选：C． 有理数乘除混合运算 16．计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，需按照从左到右的顺序计算，并注意负号的处理．乘除为同级运算，应依次进行．按照从左至右的顺序计算即可． 【详解】解： ， ． ∴ 最终结果为 9． 故选： D． 17．计算的结果是（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行约分计算即可． 【详解】解：； 故选A． 18．计算的结果是（  ） A． B． C．2 D．10 【答案】B 【分析】本题考查有理数的四则运算，根据运算优先级，先计算乘法和除法，再计算加法，注意负数的乘除法则：负数乘以正数为负，负数除以负数为正． 【详解】解： ． 故选：B． 19．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算． 先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 故选：D． 20．如图所示的程序，若开始输入的数是2，则最后输出的结果为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于0即可． 【详解】解：开始输入的数为2， 解：返回继续运算； 输出结果； 故选A． 有理数四则混合运算 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减法和乘法运算，分配律的应用．解题时需注意符号变化，合理运用运算律简化计算． （1）先利用多重符号的化简，再进行加减计算即可； （2）先利用分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算；解题的关键是掌握有理数的混合运算法则． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可； （2）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键． （1）利用加法交换律和结合律，将能凑整的数结合在一起进行计算． （2）将除法转化为乘法，再根据乘法法则进行计算． （3）利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 25．计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法． 【详解】解： ． 有理数四则混合运算的实际应用 26．外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） (1)在这一周当中，该外卖小哥送餐最多的一天送______单，最少的一天送______单； (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪100元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元钱，超过50单的部分，每单补贴4元钱，求该外卖小哥这一周工资收入多少钱？ 【答案】(1)64，42 (2)53 (3)1516 【分析】(1)根据有理数的加减运算法则，计算即可． （2）根据平均数的定义，利用有理数的加减计算即可． （3）根据奖励方法，列式计算求和即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算是解本题的关键. 【详解】（1）解：根据题意，最多的一天送了（单）， 最少的一天送了（单）， 故答案为：64，42． （2）解：根据题意，得（单）， 故该外卖小哥这一周平均每天送餐53单． （3）解：根据题意，得第一天收入为：（元）． 第二天收入为：（元）． 第三天收入为：（元）． 第四天收入为：（元）． 第五天收入为：（元）． 第六天收入为：（元）． 第七天收入为：（元）． 故该外卖小哥这一周工资收入为：（元）． 27．某社区快递站调查了一名快递员一周的派件情况，规定派件量超过60件（送一次快递称为一件）的部分记为“”，低于60件的部分记为“”，下表是该快递员一周的派件量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 派件量（单位：件） 0 (1)该快递员这一周派件量最多一天比最少一天多送多少件？ (2)求该快递员这一周平均每天派件多少件？ (3)快递员每天的工资由底薪150元加上派件补贴构成，派件补贴的方案如下：每天派件量不超过60件的部分，每单补贴4元；超过60件但不超过75件的部分，每单补贴7元；超过75件的部分，每单补贴10元，求该快递员这一周的工资收入多少元？ 【答案】(1)24件 (2)67件 (3)元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）利用表格的派件量中，最大数减去最小数即可得； （2）将表格的派件量相加，再加上一周的标准总量，然后除以一周的天数即可得； （3）根据派件补贴的方案分别求出每天的工资，再求和即可得． 【详解】（1）解：（件）， 答：该快递员这一周派件量最多一天比最少一天多送24件． （2）解： （件）， 答：该快递员这一周平均每天派件67件． （3）解：星期一的工资为（元）， 星期二的工资为（元）， 星期三的工资为（元）， 星期四的工资为（元）， 星期五的工资为（元）， 星期六的工资为（元）， 星期日的工资为（元）， 则（元）， 答：该快递员这一周的工资收入为元． 28．学习数学唯一正确的方式是实行再创造，某天课后，老师布置的实践性作业是“发现身边的数学，用数学的眼光看世界，请同学们根据所学知识，设计一个问题并解答”．为了高质量地完成实践作业，小美和其他7位组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们8人主要观察统计相邻的A．榆医一院，B．一悟小学，C．栖云小区，D．三电四个车站．沿路上下的乘客人数（用正数表示上车人数，用负数表示下车人数）如表所示： A B C D 上车的人数 15 10 6 3 下车的人数 已知榆医一院站的前一站出发时车上有16名乘客，他们设计的问题如下：（列出合理算式并计算） (1)该公交车离开三电站时，车上还有多少名乘客？ (2)该公交车行驶在榆医一院站与三电站之间时，在哪两站之间车上的乘客最多？有多少名乘客？ (3)若每人每次乘坐这辆公交车都需要刷卡1元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），问该公交车在这四个站能收多少钱？ 【答案】(1)车上还有19人 (2)一悟小学和栖云小区之间，车上的乘客最多，有30名乘客 (3)这四个站能收34元 【分析】本题考查正负数应用，有理和加法的应用，有理数混合运算的应用． （1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，用加法原理列式计算即可得解； （2）求出A、B、C、D站的人数，再比较即可求解； （3）根据各站上车的人数，乘票价1元，然后计算即可得解． 【详解】（1）解：离开三电站时，车上的人数为， 所以该公交车离开三电站时，车上还有19人． （2）解：根据图表可知，各站之间车上的人数如下： A站到B站：车上有人， B站到C站：车上有人， C站到D站：车上有人． ∵ ∴B站和C站之间，即一悟小学和栖云小区之间，车上的乘客最多． （3）解：（元） 答：该公交车在这四个站能收34元． 29．某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向行驶，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里），依先后次序记录如下：、、、、、． (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公园的什么方向？离公园多远？ (2)若出租车每公里耗油量为0.1升，则这辆出租车这天下午耗油多少升？ (3)规定出租车的收费标准是4公里内付15元，超过4公里的部分每公里付1.5元（不足1公里按1公里算），那么第一位客人应付车费多少元？ 【答案】(1)东边，10公里 (2)4升 (3)22.5元 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、绝对值的应用以及分段计费问题，熟练掌握有理数的运算规则和分段计费的计算方法是解题的关键． （1）题将所有行车里程数相加，根据结果的正负判断方向，绝对值判断距离． （2）题先求所有行车里程的绝对值之和，再乘以每公里耗油量． （3）题先算出超过4公里的里程，再根据收费标准计算车费． 【详解】（1）解： （公里）， 答：出租车在公园的东方，离公园10公里． （2）解： ， （升） 答：这辆出租车这天下午耗油4升． （3）解：超过4公里的里程：（公里） （元）， 答：第一位客人应付车费22.5元． 30．有20箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重_______千克； (2)求这20箱苹果的总质量． 【答案】(1)1． (2)301千克 【分析】本题考查正数与负数，有理数混合运算的应用，解题的关键是正确理解正数与负数的意义以及熟练运用有理数的混合运算． （1）用最重的一箱的质量减去最轻的一箱的质量即可； （2）计算出总的出入量，再加上20箱的总标准量即可． 【详解】（1）解：根据题意得（千克）， 即最重的一箱比最轻的一箱重1千克， 故答案为：1； （2）解：根据题意可知：（千克）， ∴20箱苹果的总重量为：（千克）． 学科网（北京）股份有限公司 $