1.9有理数的乘法（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.9有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 （一）有理数的乘法法则 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如 。 任何数与 0 相乘：都得0，例如。 （二）有理数乘法的运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即。例如。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。例如 。 型 习 练 题 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．0 B． C． D． 2．下列算式中与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．0 B． C．2 D． 5．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入，则输出的结果为（   ） A．15 B．13 C．11 D．12 有理数乘法运算律 6．对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 7．，应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 8．若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法结合律的是（    ） A． B． C． D． 9．要使计算简便，可运用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 10．运用了乘法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和结合律 有理数乘法的实际应用 11．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“”的方式记录近视情况，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．现有6位同学的验光记录如下： ，，，，，． 通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正，在这6位同学中，有（    ）位同学需要持续佩戴眼镜． A．1 B．2 C．3 D．4 12．某食堂买了5袋白菜，以每袋20千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．98千克 D．102千克 13．在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却到，金属丝最后的长度比原长度约伸长（    ） A． B． C． D． 14．六（2）班有8名同学进行羽毛球比赛，每两名同学要进行一场比赛，一共要比赛（ ）场． A．4 B．16 C．28 D．56 15．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 多个有理数的乘法 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2) 19．计算． (1) (2) (3) 20．计算： (1)； (2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.9有理数的乘法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 （一）有理数的乘法法则 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如 。 任何数与 0 相乘：都得0，例如。 （二）有理数乘法的运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即。例如。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。例如 。 型 习 练 题 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法，根据乘法的基本性质，零乘以任何数都等于零可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列算式中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的加法，减法及乘法运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的运算进行排除选项即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意； 选项B：，故不符合题意； 选项C：，故符合题意； 选项D：，故不符合题意； 故选C． 3．若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 【详解】解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 4．若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有是负数， 故选：C． 5．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入，则输出的结果为（   ） A．15 B．13 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，将代入，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 当时，， 则输出的结果为11， 故选：C． 有理数乘法运算律 6．对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，有理数加法运算律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 在计算过程中，步骤①将展开为，使用了分配律；步骤②将重新排列为，改变了加数的顺序，使用了加法交换律． 【详解】解：∵步骤①中： ， 这符合分配律：（此处为减法形式）． ∴①使用了分配律． ∵步骤②中： ， 这改变了加数的顺序，但未改变分组， 符合加法交换律：． ∴②使用了加法交换律． 故选：A． 7．，应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法的分配律，根据乘法的分配律即可得出答案，掌握乘法的分配律是解题的关键． 【详解】解：根据乘法分配律可得：， 故选：C． 8．若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法结合律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法运算律．乘法结合律是指三个数相乘时，先乘前两个数或先乘后两个数，结果相同，即．分析各选项：A为加法交换律，B为加法结合律，C为乘法交换律，D符合乘法结合律． 【详解】解：乘法结合律的定义是； A：，表示加法交换律； B：，表示加法结合律； C：，表示乘法交换律； D：，即，表示乘法结合律． 故选：D． 9．要使计算简便，可运用（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查的是运算定律应用，解答这道题的关键是明确各种运算律的特点，以及能正确分析算式的特点． 根据分数分母特点，以及乘法交换律和结合律的特点，即可解题． 【详解】解：， 则要使计算简便，可运用乘法交换律和结合律； 故选：C． 10．运用了乘法（    ） A．交换律 B．结合律 C．分配律 D．交换律和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律的理解，熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键．根据乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再将所得的积相加（或相减），结果不变，由此进行解答即可． 【详解】解∶ 运用了乘法分配律， 故选∶C． 有理数乘法的实际应用 11．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“”的方式记录近视情况，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．现有6位同学的验光记录如下： ，，，，，． 通常，近视超过200度时就要持续佩戴眼镜进行视力矫正，在这6位同学中，有（    ）位同学需要持续佩戴眼镜． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的应用，有理数乘法的应用，根据题意，近视度数等于验光记录D值的绝对值乘以100．计算每位同学的近视度数，并统计超过200度的人数． 【详解】解：∵近视度数， ∴对于，度数为度度； 对于，度数为度度； 对于，度数为度度； 对于 ，度数为度度； 对于，度数为度 度； 对于，度数为度度． ∴超过200度的同学有2位， 故选B． 12．某食堂买了5袋白菜，以每袋20千克为标准，超过的千克数记为正数，称重后的记录分别为（单位：千克），，，，请大家快速准确地算出5袋白菜的总质量是（    ） A．千克 B．2千克 C．98千克 D．102千克 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，通过计算标准总质量和记录的总和得出实际总质量即可 【详解】解：标准总质量千克， 记录总和千克， 实际总质量千克， 故选：C 13．在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短，把的这种金属丝加热到，再使它冷却到，金属丝最后的长度比原长度约伸长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据温度变化规则，计算金属丝从加热到再冷却到的长度变化，先加热上升，伸长；再冷却下降，缩短，即可求解金属丝最后的长度比原长度约伸长多少． 【详解】解：由题意得， ∵ 从加热到，温度上升，∴ 伸长， ∵ 从冷却到，温度下降，∴ 缩短， ∴ 总长度变化为 故金属丝最后的长度比原长度约伸长 故选：C． 14．六（2）班有8名同学进行羽毛球比赛，每两名同学要进行一场比赛，一共要比赛（ ）场． A．4 B．16 C．28 D．56 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算的实际应用，每名同学都要与其他7名同学比赛一场，而相同两名同学之间的比赛只算一场，据此求解即可． 【详解】解：场， ∴一共要比赛28场， 故选：C． 15．水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降，那么3天后水位变化用算式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，水位下降记为负，每天变化为-4 cm，3天后水位变化为每天变化与天数的乘积，据此求解即可． 【详解】解：∵水位下降为负， ∴每天变化为． ∵经过3天， ∴总变化为， 故选：C． 多个有理数的乘法 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据“乘以任何数都等于” 计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算和乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据有理数的加减法计算即可； （2）根据有理数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算和有理数的乘法运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据有理数的加减运算知识，进行作答，即可求解； （2）根据有理数的乘法运算知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：． （2）解：． 19．计算． (1) (2) (3) 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则即可解题； （2）根据有理数的乘法法则即可解题； （3）根据有理数的加减混合运算法则即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $