四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

仁寿一中北校区高2025级高一（上）期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（     ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 11．“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．则实数的取值范围是 D．，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在区间上单调递增，则_____________． 13. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________． 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知全集，集合，． （1）若，求和； （2）设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16．已知函数.(1)求的定义域；(2)若，求的值；(3)求证：. 17．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）. （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？ 18．（1）已知关于x的不等式的解集为． （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集． （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 19． 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式． 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高一（上）期中考试 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】由题意得， 又，所以，故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】的否定为，故选：B 3. 下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】因为可以作为的一个充分不必要条件对应的集合为的真子集． 集合都不是的真子集， 只有集合是的真子集，故选：C． 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A【详解】由得，即，解得， 故原不等式的解集为故选：A 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】由于，需满足， 解得：且，.故选：A. 6. 若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且，作出函数的图象的示意图如图所示， 由图象知当或时，；当时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为.故选：A 7. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【详解】依题意，在区间上单调递减， 所以，即，解得，所以的取值范围是. 8. 已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题意可得函数在上单调递增，则， 解得或.由函数在上单调递减，在上单调递增，则. 综上所述，的取值范围为.故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列各组函数中，是同一个函数的有（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD【详解】对于A，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以A正确；对于B，易知的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，即B错误；对于C，易知的定义域为，而的定义域为，两函数定义域不同，即C错误；对于D，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以D正确；故选：AD 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确；B：，因为 所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为，所以本选项说法正确； D：因为，所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确，故选：ABC 11．“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．则实数的取值范围是 D．，则实数的取值范围是 【答案】BCD【详解】因为.对于选项A：因为， 所以，故A错误；对于选项B：因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故B正确； 由题意可得：， 对于选项C：因为，可得， 即，则，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于选项D：因为，且，可得， 即，因为在内单调递增，则， 可得，解得，所以实数的取值范围是，故D正确；故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数在区间上单调递增，则______. 【答案】【详解】根据题意可得，解得.故答案为： 13. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】【详解】因为“存在使得”是假命题， 所以“，有”是真命题，即，恒成立， 所以只需，，而函数在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是.故答案为：. 14. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为______________. 【答案】 【分析】设，，利用折叠图形的性质，通过勾股定理得到与的关系，建立面积与的函数关系，再结合基本不等式求其的最大值. 详解】如图： 长方形周长为，不妨设，且，设 ，在中， ，变形得： ，当且仅当“”等号成立 所以面积的最大值为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合， （1）若，求和； （2）设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【小问1详解】全集，集合， 若，则，， 或，则； 【小问2详解】设p：，q：，若p是q成立的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，则需满足，且两等号不能同时取得，解得， 故实数a的取值范围为. 16．已知函数.(1)求的定义域；(2)若，求的值；(3)求证：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）要使函数有意义，只需，解得，所以函数的定义域为． （2）因为，所以，解得. （3）因为，所以，而，所以. 17．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）. （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？ 【答案】（1）第二年 （2）20万元 【分析】（1）由已知可得，若盈利即，即可求解； （2）设年平均利润为，由基本不等式可得当时年平均盈利达到最大值，即可求解. 【小问1详解】由题可知，若开始盈利即， 所以，解得，因为，所以第二年开始盈利； 【小问2详解】设年平均利润，则， 当且仅当，即时等号成立，时，最终获利万元. 18．（1）已知关于x的不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集． （2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（i），；（ii）答案见解析；（2） 【详解】（1）（i）不等式的解集为， 所以1和b是方程的解，且,即得，解得，； （ii）不等式可化为，即， 当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； （2）当时，不等式化，对任意实数x恒成立； 当时，应满足，解得，综上，a的取值范围是 19． 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，， 又.，，. （2） 在上为增函数，理由如下.设， 则，，，， 在上为增函数， （3），， 又在上为递增的奇函数，， 不等式的解集为. 第5页/共8页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $