精品解析：福建省安溪第一中学、惠安第一中学、泉州实验中学、晋江市养正中学等四校2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷

安溪一中、惠安一中、实验中学、养正中学 2025年秋季高一年期中联考 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 命题者：蔡祥波 审核者：林文聪 黄志斌 陈新洪 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 2. 若，则的化简结果是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 17 B. 15 C. 11 D. 9 4. 已知幂函数的定义域为R，则的值为（ ）． A. B. 3 C. 或3 D. 2 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，所有正确的结论是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 函数的最小值为2 10. 已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. D. 时，取得最小值 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，，则__________. 13. 函数的单调减区间是_____． 14. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 函数是定义在上的偶函数，且. （1）求的解析式 （2）求的值域； 17. 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． （1）写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 18. 已知函数的定义域为. （1）用单调性的定义证明在上是增函数； （2）若函数是上的减函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围. （3）存在，使不等式成立，求实数取值范围. 19. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安溪一中、惠安一中、实验中学、养正中学 2025年秋季高一年期中联考 考试科目：数学 满分：150分 考试时间：120分钟 命题者：蔡祥波 审核者：林文聪 黄志斌 陈新洪 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【详解】根据已知条件有：图中阴影部分表示， ，所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为：. 故选：B 2. 若，则的化简结果是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 3. 已知，则的值为（ ） A. 17 B. 15 C. 11 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得，即. 故选：A. 4. 已知幂函数的定义域为R，则的值为（ ）． A. B. 3 C. 或3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以， 计算可得或， 当时，，定义域为，所以舍去，所以. 故选：B． 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知函数的定义域求得的定义域，再由在的定义域内求得的取值范围. 【详解】解：由题意得： 函数的定义域是 设 ，则的定义域为 ，解得. 故选：B 6. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7. 定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的图象，然后分析时的取值，根据值域结合图象确定出的最大值. 【详解】在平面直角坐标系中作出的图象如图所示， 令，解得或，所以， 令，解得，所以， 由题可知，当在区间上的取值范围为时， 当且仅当时取得最大值，且最大值为， 故选：B. 8. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，所有正确的结论是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 函数的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，B；求解不等式，判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，若，则，因为，所以，所以.所以选项A正确； 对于B，若，则；若，则, 所以.所以选项B正确； 对于C，不等式等价于，解得，或. 因为或是或的一个真子集，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，所以选项C正确； 对于D，因为当时，， 其中当时，，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为3，所以选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. D. 时，取得最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数和函数的周期性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数满足，取，得，A正确； 对于B，当或，而当时，， 又是上的奇函数，因此，B错误； 对于C，由，得，又， 所以，所以， ，即的周期为12， 所以，，C错误； 对于D，先作出在的图像，再由是上的奇函数及 关于对称作出在的图像， 如下图可知一个周期内时，取得最小值，D正确. 故选：AD. 11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集合” B. 是“可分集合” C. 四个元素的集合可能是“可分集合” D. 五个元素的集合不可能是“可分集合” 【答案】ABD 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设，讨论当在集合，，，，中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D； 【详解】对于A，去掉3后，,2,不满足定义，,2,3,不是“可分集合”， A正确； 对于B，集合所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合5,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合,9,与,7,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合,3,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合,9,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合,7,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 因此集合是“可分集合”， B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾， 因此,,,一定不是“可分集合”， C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有，或者②， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾； 由①④或②③得，矛盾， 因此集合,,,,不是“可分集合”， D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，，则是__________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可得. 【详解】全称量词命题，的否定是存在量词命题：. 故答案是：. 13. 函数的单调减区间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 14. 设函数，若是函数最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为， 当且时，则，这与矛盾， 不合乎题意，所以，， 因为二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在上为增函数， 根据题意，则有，此时，； 当时，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时，不存在. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案； （2）根据已知可推得A，分以及，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案. 【小问1详解】 解可得，或， 所以，或. 当时，， 所以或. 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件， 所以，. 又或，. 当，有，即，显然满足； 当时，有，即. 要使A， 则有或， 解得或. 综上所述，或. 16. 函数是定义在上的偶函数，且. （1）求的解析式 （2）求的值域； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得,再代入求解即可； （2）化简可得,再根据求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的偶函数， 则，解得，则， 又因为，故，， 此时，即函数为偶函数， 所以，，， 【小问2详解】 ，，所以， 则，故， 所以，， 所以，函数的值域为. 17. 如图1，有一个半径为2半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． （1）写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； （2）当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 【答案】（1），；. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，过点作于点，连接，由题中条件，表示出，进而可得出周长的函数关系式；令，由换元法，结合二次函数的性质，即可求出周长y的最大值. （2）由（1）知，等腰梯形的各边长，由的不同取值范围，求出梯形位于直线左侧的图形的面积. 【小问1详解】 由题意可得，过点作于点，连接， 因为半圆的半径为2，线段的长度为x， 则，，，所以， 因此， 所以这个等腰梯形的周长为，其中， 即，； 令，因为，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此梯形周长的最大值为. 【小问2详解】 由（1）知，当梯形的周长取得最大值时，， 等腰梯形的下底，腰， 等腰梯形的高， 则当时，； 当时，； 当时，； 所以，. 18. 已知函数的定义域为. （1）用单调性的定义证明在上是增函数； （2）若函数是上的减函数，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围. （3）存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义化简，判断符号进而可证明. （2）根据的单调性化简不等式为，然后根据的单调性求出最小值，即可求出不等式的解集. （3）先对不等式进行变形，设，根据是奇数判断出是单调递增的奇函数，进而求出的范围. 【小问1详解】 设，，且， 则， ，，且，所以，，， 所以，则有， 即，所以在上是增函数； 【小问2详解】 由于函数是上的减函数，且， 所以， 又，所以，即在上恒成立， 由（1）可知在上是增函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 不等式即， 设，原命题即存在，使不等式成立. 因为，所以为正奇数， 所以在上单调递增，又为上的奇函数，所以是上的增函数. 所以原命题即存在，使不等式成立， 存在，使不等式成立， 所以，也即. 19. 设函数， （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）详见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由不等式解集为，得：方程的两根为，3且.根据韦达定理，可求得的值，从而得到的值； （2）若，则不等式可转化为，即，讨论相应方程两根的大小关系，并结合一元二次不等式的解法即得； （3）由，得，将转化成，利用基本不等式求得的最小值.讨论和两种情况，可得的最小值. 【小问1详解】 由不等式的解集为，得：方程的两根为，3，且， 由根与系数的关系可得：，解得，， 所以 . 【小问2详解】 由，得，又因为， 所以不等式化为，即. 因为，令，则，或. 若，则，所以的解集为； 若，当时，由，得，所以的解集为； 当时，，所以的解集为； 当时，，所以的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由已知得，，. 因为，所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，，所以（当且仅当，时等号成立）； 当时，，所以（当且仅当，时等号成立）； 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $