精品解析：广东省粤东四校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025-2026年度第一学期高二四校期中联考 数学 揭阳一中 潮州金中 梅县东山中学 汕头金中海湾学校 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 4. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 5. 若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“圆的一条切线过点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点（点在轴上方），且，，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知在正方体的棱长为2，点E，F分别是直线与上的点，则线段EF长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于，的方程，下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得该方程表示两条直线 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 10. 已知点，是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 的最小值为1 C. 四边形面积的最小值为1 D. 直线恒过定点 11. 已知球是棱长为的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 若，则动点的轨迹长度为 D. 若，则的大小为定值 三、填空题：本小题3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 13. 已知直线将圆的周长平分，其中，，则的最小值为__________. 14. 已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是____________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的大小. （2）若，求面积的最大值. 16. 已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 17. 已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． （1）若弦长，求直线的方程； （2）求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 18. 如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. （3）在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第一学期高二四校期中联考 数学 揭阳一中 潮州金中 梅县东山中学 汕头金中海湾学校 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一般式直线方程求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线方程，则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为. 故选：D 2. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 3. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为. 故选：B 4. 已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数运算性质，利用周期性和奇偶性转化为求，然后代入已知函数解析式求值即可. 【详解】因函数的周期为2，且为奇函数， 故. 故选：B 5. 若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，结合点到直接的距离公式运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 且圆心到直线的距离， 由题意可知：，则， 即，解得或， 所以m的取值范围为. 故选：A. 6. “”是“圆的一条切线过点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，首先方程要表示圆，再结合切线过点，则点在圆上或圆外，然后求解即可． 【详解】方程表示圆，则， ，解得或， 由于圆的一条切线过点， 所以，， 所以的取值范围是， 所以“”是“圆的一条切线过点”的充要条件． 故选：C． 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点（点在轴上方），且，，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，则，，，再在利用勾股定理可得，进而得到即可求解． 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得， 所以，，直线的斜率， 而，直线的斜率． 故选：B． 8. 已知在正方体的棱长为2，点E，F分别是直线与上的点，则线段EF长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设，表示出EF长度即可求出. 【详解】以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x抽，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设，则， 故 ， 当且仅当时取等号.故的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于，的方程，下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得该方程表示两条直线 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不同的取值范围，结合直线、圆、椭圆的方程特征来逐一分析选项. 【详解】对于A，当，，方程表示两条直线，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则，方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当时，，则，方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故D错误. 故选：AC. 10. 已知点，是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 的最小值为1 C. 四边形面积的最小值为1 D. 直线恒过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两圆外离可判断A；由向量关系得，，然后利用圆的性质得，利用点到直线的距离判断B；求得四边形的面积可判断C；由题可知点，在以为直径的圆上，利用两圆相减可求得直线方程，即可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心，半径为1， 圆的圆心，半径为2，因为， 所以圆与圆相离，故有四条公切线，A错误. 对于B，因为，，所以，，连接， 则，所以当最小时，最小. 当，即为圆心到直线的距离时，最小，， 所以，B正确. 对于C，由题意得，， 所以四边形的面积， 由选项B可知，C正确. 对于D，设，因为，是圆的切线， 所以点，在以为直径的圆上.因为， 所以以为直径的圆的方程为， 整理得， 与圆的方程相减得直线的方程为， 化简得， 由，得，即直线恒过定点，D正确. 故选：BCD 11. 已知球是棱长为的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 若，则动点的轨迹长度为 D. 若，则的大小为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体内切球半径为棱长的一半，结合球的表面积公式可求得A正确；以为原点建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量求法可求得球心到平面的距离，结合三棱锥体积公式可知体积最大值为，知B错误；分别取中点，易知平面平面，可知所求轨迹为平面与内切球的交线，根据截面圆半径可求得C正确；根据椭圆定义可知点在以为焦点，长轴长为的椭球面上，结合椭圆与圆的对称性可知D正确. 【详解】对于A，球为棱长为的正方体的内切球， 球的半径，球的表面积，A正确； 对于B，以为原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得，，； 球心到平面的距离， 平面，平面，， 又， 三棱锥体积最大值为，B错误； 对于C，由正方体性质得面，且内切球半径， 分别取中点，如图所示， ，，平面， 平面，平面，平面， 平面，平面，又，平面， 平面平面，平面， 则点轨迹为平面与内切球的交线，即为截面圆的周长， 易知球心平面， 则到平面的距离为平面与平面的距离， 截面圆半径，点轨迹长度为，C正确； 对于D，由题意知：， 又，点在以为焦点，长轴长为的椭球面上， 点在以为球心，为半径的球面上，点在椭球面与球面的交线处， 则平面截球与椭球的截面图如图所示， 由椭圆与圆的对称性可知：点位于时，为定值，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本小题3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 【答案】##0.28 【解析】 【分析】由，利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】. 答案为：##0.28 13. 已知直线将圆的周长平分，其中，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】抓住直线平分圆的周长，即过圆心，可得m、n的关系，然后利用基本不等式可解. 【详解】由题知直线过圆心，所以有，即， 所以，当，即时. 故答案为：. 14. 已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，所以 ，再由的范围，可得的取值范围． 【详解】由椭圆的方程可知，， 可得， 易知圆的圆心，半径为1， 因为，所以 ， 可知恰为椭圆的右焦点，所以， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的大小. （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简边角关系后可求的大小； （2）根据余弦定理和基本不等式可得，从而可求面积的最大值． 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：①， 因为. 故①式可变形为， 即，化简得：， 因为，所以，故. 因为，故. 【小问2详解】 由正弦定理得，所以， 由（1）知，故，则， 由余弦定理得，即，则， 当且仅当时等号成立， 因此， 所以面积的最大值为． 16. 已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）结合圆与圆的位置关系，利用椭圆的定义求解即可； （2）设点，将为钝角转化为且、、三点不共线，然后结合点在椭圆上，利用数量积的坐标运算列不等式求解即可. 【小问1详解】 设动圆的半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为.因为动圆与圆外切，且与圆内切， 所以，所以， 所以曲线是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 设椭圆方程为，所以，，即，， 所以，又， 所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； 【小问2详解】 设点，，， 所以，， 若为钝角，且、、三点不共线， 所以，------① 又由椭圆的方程得，------② 联合①②得，解得 所以点的横坐标的取值范围是. 17. 已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． （1）若弦长，求直线的方程； （2）求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】（1）或； （2）最大，此时. 【解析】 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【小问1详解】 若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； 【小问2详解】 由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 18. 如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） ，分别是，的中点，， 又平面，平面，平面， 又平面，平面平面，， 又，平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明平面，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，然后再求出相关平面的法向量，最后用夹角公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，平面，以为坐标原点，为轴正方向， 为轴正方向，平面内，过作为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，设，则. 依题意可得：，即： 所以，即 于是：， 设平面的法向量为 则，取，可得 再设平面的法向量为， 则，取，得 于是 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. （3）在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可； （3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. 【小问3详解】 设，因为，所以若，则. 当，，时，. 设，，，则，. 所以， 所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）. 对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）. 由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $