精品解析：广东省粤东四校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

命学科网列组卷网 2025-2026年度第一学期高二四校期中联考 数学 揭阳一中潮州金中梅县东山中学汕头金中海湾学校 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个 是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.直线3x+V3y-2=0的倾斜角为() B.Sr D.n 6 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一般式直线方程求出斜率，进而求出倾斜角 【详解】由直线方程3x+√3y一2=0，则直线的斜率为-√5，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为 3 故选：D 2.圆M:(x-3)2+(y+4)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆N的方程是() A.(x+2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-2)2+(y+1)2=1 D.(x+2)2+(y-1)2=1 【答案】D 【解析】 【分析】由题求出M(3,-4)关于x-y-2=0的对称点，据此可得答案 【详解】由题可得圆心M(3,-4),半径为1，设点M关于直线x-y-2=0的对称点为x,y),则 y+4 =-1 x-3 x=-2 → x+3_y=4-2=0 (y=1 ,则N(-2,1),又圆N半径也为1， 2 所以圆N方程为(x+2)2+(y-1)2=1 故选：D. 第1页/共20页 学科网丽组卷网 3.如图所示，三棱柱ABC-ABC中，N是AB的中点，若CA=a,CB=b,CC,=c,则CN=( B B a+6-小 A B(atb+e) C.atb+ 3 D.a+(6+c 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为CN-C西+B丽=CB+)BA=CB+B1+BB)=CB+C-C西+BB =6+6-万+d-a+5+d 故选：B 4.已知函数f(x)是周期为2奇函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=3”+1,则f10g216-1og,2)的值为 () A.3 B.-3 C.-2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数运算性质，利用周期性和奇偶性转化为求f(10g32),然后代入已知函数解析式求值即可 【详解】因函数∫(x的周期为2，且为奇函数， 故f(1og216-l0g,2)=f(4-log32=f(-log,2)=-f(1og,2)=-(3e2+1=-(2+1)=-3 故选：B 第2页/共20页 学科网丽组卷网 5.若圆C:(x-4)2+(y-5)2=9上恰有两个点到直线3x-4y+m=0的距离为1，则m的取值范围为( A(-12,-2)U(18,28) B.(-18,-2)U(12,28) C.(-28,-2)U(12,18) D.(-28,-18)U(2,12) 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知r-1<d<r+1,结合点到直接的距离公式运算求解即可. 【详解】圆C:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心为C4,5),半径r=3, 且圆心C(4,5)到直线3x-4y+m=0的距离d=12-20+m_m-8 5 由题意可知：r-1<d<r+1,则2<m-8<4, 5 即10<m-8<20,解得-12<m<-2或18<m<28, 所以m的取值范围为(-12，-2)U(18,28) 故选：A. 6.“m∈(-o0,-1)U(3,4”是“圆C:x2+y2-2mx+2m+3=0的一条切线过点P(2,1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，首先方程要表示圆，再结合切线过点P(2,),则点P(2,1)在圆上或圆外，然后求解 即可. 【详解】方程x2+y2-2x+2m+3=0表示圆，则(2m)-4(2m+3>0, m2-2m-3=（m-3)(m+1>0,解得m<-1或m>3, 由于圆C的一条切线过点P(2,), 所以22+12-4m+2m+3=8-2m≥0，m≤4， 第3页/共20页 学科网组卷网 所以m的取值范围是(-o0,-1)U(3,4, 所以“(-0，-1U(3,4”是“圆C:x2+y2-2mx+2m+3=0的一条切线过点P2,1”的充要条件. 故选：C. 、已知陌圆C女卫2 +京=1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F,过右焦点E的直线与C交于A,B两 点（点B在x轴上方），且BF,=2F,A,BE⊥AB,则直线AB的斜率为() A.2 B.-2 c D、I 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设AF=x,则BF=2x,AF=2a-x,BF=2a-2x,再在△BAF,利用勾股 定理可得x= ,进而得到k5=tan∠BFE 3 BF_即可求解. BF 2 【详解】 设AF引=x,因为BE=2F,A,所以BF=2x, 由椭圆的定义可得AE=2a-x,BF=2a-2x, 因为B51AB,在△BAE中由勾股定理得9x2+(2a-2x)2=(2a-x2,解得x=g BF21 所以B的-台BF=号，直线8职的斜率太=aBF5=职方 而BF⊥AB,直线AB的斜率k4B= 1-2 KBE 故选：B. 8.己知在正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点E,F分别是直线AB与B,D上的点，则线段EF长度的 最小值为() 第4页/共20页 耐学科网 可组卷网 A.25 B.2 C.5 D.2 3 【答案】A 【解析】 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，设AE=入AB,D,F=uD,B,,表示出EF长度即可求出. 【详解】以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x抽，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AE=1AB,DF=μDB,则E(2,22,2-22),F(2μ，2μ，2)， 故EFE2V(μ-1)2+(u-元)2+元2 =2V222-2μλ+2μ2-2μ+1 2+25 当且仅当元=行a=时取等号故EF的最小值为2 2 3 3 故选：A AZ D B E D C■ y B 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.关于x,y的方程x2sina+y2cosa=1,下列说法正确的是() A.存在实数α，使得该方程表示两条直线 B.若a=工，则该方程表示圆，其半径为V5 4 第5页/共20页 可学科网 可组卷网 C.若a∈ 则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.若a∈ 4’2 则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不同的取值范围，结合直线、圆、椭圆的方程特征来逐一分析选项. 【详解】对于A,当=2kπ，k∈Z,方程y2=1表示两条直线y=±1，故A正确： 对于B,当a=时，方程x+y'=√2表示圆，其半径为，故B错误； 4 对于C,当a∈0， 时，0<sina<cosa<1,则1>1>l,方程sina+y'cosa=l,即 sina cosa x 1 1 表示椭圆，其焦点在x轴上，故C正确： sina cosa π元 对于D,当a∈ 4'2 时，0<cosa<sina<1,则1 ->1,方程x2sin+y2cos=1,即 cosa sina x2 1 1 表示椭圆，其焦点在y轴上，故D错误 sina cosa 故选：AC 10.已知点A,B是圆C:(x-2)+y2=1上的两个动点，圆C1:(x+2)+y2=4,点P是直线 1:x+y=0上的动点，且PA.CA=0,PB.CB=0,下列说法正确的是() A.圆C与圆C有两条公切线 B.PA的最小值为1 C.四边形ACBP面积的最小值为1 D.直线AB恒过定点 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两圆外离可判断A;由向量关系得PA⊥CA,PB⊥CB,然后利用圆的性质得 第6页/共20页 可学科网可组卷网 PA=VCP-1,利用点到直线的距离判断B;求得四边形ACBP的面积S=AP可判断C;由题可知 点A,B在以PC为直径的圆上，利用两圆相减可求得直线AB方程，即可判断D 【详解】对于A,因为圆C:x-2)+y2=1的圆心C(2,0),半径为1， 圆C,:(x+2)2+y2=4的圆心C(-2,0),半径为2，因为CC=4>1+2=3, 所以圆C与圆C相离，故有四条公切线，A错误 对于B,因为PA.CA=0,PB.CB=0,所以PA⊥CA,PB⊥CB,连接CP, 则PA=VCP-CA=VCP-1,所以当CP最小时，PA最小 当CP⊥L,即CP为圆心C(2,0)到直线的距离时，lCP最小，CP=V2, 所以PAn=V2-1=1,B正确 对于C,由题意得，PA=PB, 所以四边形ACBP的面积S=S,4o+Sc=2}AP4C|=AP, 2 由选项B可知Smn=1,C正确， 对于D,设P(t,-,因为PA,PB是圆C的切线， 所以点A,B在以PC为直径的圆上.因为C2,0), 所以以PC为直径的圆的方程为x-t)(x-2)+(y+t)(y-0)=0, 整理得x2+y2-t+2)x+y+2t=0, 与圆C的方程(x-22+y2=1相减得直线AB的方程为(x-2)(t-2)+y(-)=1, 化简得2x-3-t(x-y-2)=0, 2x-3=0 x= 2 31 (x-y-2=0'得 ,即直线AB恒过定点 2-2 D正确 =-2 第7页/共20页 可学科网可组卷网 B 故选：BCD 11.己知球O是棱长为2的正方体ABCD-AB,CD的内切球，M是AA,的中点，N是CC的中点，P是 球O的球面上任意一点，则下列说法正确的是() A.球0的表面积为4π B.三棱锥P-MBC的体积的最大值为1+√5 C.若MP⊥CD,,则动点P的轨迹长度为√2元 D.若PM+PN=3,则∠MPN的大小为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体内切球半径为棱长的一半，结合球的表面积公式可求得A正确；以D为原点建立空间 直角坐标系，利用点面距离的向量求法可求得球心O到平面MBC的距离，结合三棱锥体积公式可知体积最 大值为Scd+R,知B错谈；分别取AB,CD,DD中点GE,F,易知平面EFMG平面 ADC,B,可知所求轨迹为平面EFMG与内切球O的交线，根据截面圆半径可求得C正确；根据椭圆定义 可知点P在以M,N为焦点，长轴长为3的椭球面上，结合椭圆与圆的对称性可知D正确， 【详解】对于A,.球O为棱长为2的正方体ABCD-ABCD的内切球， ∴.球0的半径R=1,∴.球0的表面积S=4πR2=4π，A正确； 对于B,以D为原点，DA,DC,DD正方向为x,y,z轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 第8页/共20页 可学科网可组卷网 ZA 0 i- 则B2,2,0),C(0,2,0),M2,0,1,01,1,1, BM=(0,-2,1,BC=(-2,0,0,0M=(1,-1,0), 设平面MBC的一个法向量为i=(x,y,z, BM.i=-2y+z=0 则 ,令y=1,解得x=0,z=2,.i=0,1,2); BC.i=-2x=0 ∴.球心O到平面MBC的距离d= oM.元1√5 同√55 .BC⊥平面ABB,A,BMC平面ABB1A,,BC⊥BM, 又BM=VAB2+AM2=√5， 对于C,由正方体性质得CD,⊥面ADCB,且内切球半径R=1, 分别取AB,CD,DD中点G,E,F,如图所示， A D G 、M :EG1∥B,C,EF1/CD,BC1C平面ADCB, C,DC平面ADCB,,EGC平面ADCB,EF文平面ADC,B, 第9页/共20页 命学科网可组卷网 :EG∥平面ADCB,EF∥平面ADCB,又EG∩EF=E,EG,EFc平面EFMG, .平面EFMG∥平面ADC,B,∴.CD⊥平面EFMG, 则点P轨迹为平面EFMG与内切球O的交线，即为截面圆的周长， 易知球心O∈平面ADCB, 则O到平面EFMG的距离为平面EFMG与平面ADCB的距离d-CD-V2 42 ∴.截面圆半径r=V√R2-d2= -2 ,∴.点P轨迹长度为2πr=√2π，C正确： 2 对于D,由题意知：MW=2V2, 又PM+PN=3>MW=2V2,点P在以M,N为焦点，长轴长为3的椭球面上， .点P在以O为球心，1为半径的球面上，.点P在椭球面与球面的交线处， 则平面ACCA截球0与椭球的截面图如图所示， 由椭圆与圆的对称性可知：点P位于P,P2,P,P时，∠MPN为定值，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本小题3小题，每小题5分，共15分. 12.已知sin 【答案】 7 #0.28 25 【解析】 【分折1由2a-2a ,利用二倍角的余弦公式计算即得 6 第10页/共20页 2025-2026年度第一学期高二四校期中联考 数学 揭阳一中 潮州金中 梅县东山中学 汕头金中海湾学校 一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C D. 3. 如图所示，三棱柱中，是中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 4. 已知函数是周期为2奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 5. 若圆上恰有两个点到直线的距离为1，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“圆的一条切线过点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线与交于，两点（点在轴上方），且，，则直线的斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知在正方体的棱长为2，点E，F分别是直线与上的点，则线段EF长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于，的方程，下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得该方程表示两条直线 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 10. 已知点，是圆上的两个动点，圆，点是直线上的动点，且，，下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有两条公切线 B. 的最小值为1 C. 四边形面积的最小值为1 D. 直线恒过定点 11. 已知球是棱长为的正方体的内切球，是的中点，是的中点，是球的球面上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 若，则动点的轨迹长度为 D. 若，则的大小为定值 三、填空题：本小题3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 13. 已知直线将圆的周长平分，其中，，则的最小值为__________. 14. 已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是____________. 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求的大小. （2）若，求面积的最大值. 16. 已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 17. 已知圆及点，过点直线与圆交于、两点． （1）若弦长，求直线的方程； （2）求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 18. 如图，在三棱锥中，，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）若直线上存在一点（与都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值. 19. 曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. （1）在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知是函数上动点，为函数上的动点，求的最小值. （3）在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $