精品解析：吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

长春市第二实验中学2025~2026学年度上学期期中考试 高一数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第四章4.2结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，从而得到答案. 【详解】由，得，所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据是幂函数先求解出的值，然后代入于解析式可求结果. 【详解】由题知，解得， ， 故选：C. 4. 已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数性质，可得到函数必过的定点，从而进行指数运算即可. 【详解】因为，所以函数过定点， 即，则， 故选：A. 5. 不等式的解集是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，和是方程的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，和是方程的根， 所以，即，，则． 故选：D． 6. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与. A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数三要素对选项中的两函数进行逐一判断即可得出结论. 【详解】①中两函数定义域不同，故这两个函数不是同一函数； ②的定义域为，的定义域为，这两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与是同一函数； 所以是同一函数的是③④. 故选：C. 7. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当,即，时，取等号. 故选：C. 8. 已知函数，若，则（ ） A －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】分,和三种情况讨论,再根据分段函数解析式求解即可. 【详解】当时，，由得，无解； 当时，，由得，解得； 当时，由得，解得，舍去． 故．所以． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，则，C错误； 对于D，由，，得，D正确. 故选：BC 10. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值可以为（ ） A. －7 B. 0 C. 3 D. 7 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据二次函数的单调性求出该函数的最大值，然后根据指数函数的单调性求出的值域，进而根据要求可得，从而判断结果. 【详解】函数，对称轴为， 所以该函数上单调递增，在上单调递减， 因为，. 该函数的最大值为. 而在上单调递减，所以. 所以，即，所以选项A,B,C均符合，而D不符合. 故选：ABC. 11. 已知满足，且时，，．则（ ） A. 是奇函数 B. 是上的增函数 C. D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据赋值法，从而判断抽象函数的奇偶性，单调性，从而判断各选项. 【详解】对于A，令可得，所以， 令，得， ，即， 所以是奇函数，故A正确； 对于B，设，则， ， 又，即， ， 所以是定义在上的增函数，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，即， 又是定义在上的增函数， ，解得， 不等式的解集为，故D错误； 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域的求法可得答案. 【详解】，， 的定义域为． 故答案为： 13. 已知“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】得到原命题的否定后可得其否定为真，再讨论是否为0，结合二次不等式的性质计算即可得. 详解】由题意，，， 当时，符合题意； 当时，． 综上，实数的取值范围是． 14. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____. 【答案】14 【解析】 【分析】对的取值范围分类讨论后可求函数值，从而求中所有元素的和. 【详解】由题意知， ①当时，，，， ②当时，，，， ③当时，，，， ④当时，，，， ⑤当时，，，， 故中所有元素的和为. 故答案为：14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）9 【解析】 【分析】（1）根据指数运算法则求解； （2）将两边平方可得，再平方可得，进而代入求解. 【详解】（1）原式． （2）由，故可得，整理得． ，整理得， 故． 16. 已知函数 （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【小问1详解】 任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求； （2）求时，函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质可得，计算即可； （2）令，则，利用，可求解析式； （3）由已知可得是定义在上的偶函数，且在上为严格增函数，从而可得，求解即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的偶函数； ，即； 【小问2详解】 令，则，则， 又由函数为偶函数，则， 即时，； 【小问3详解】 由（1）知， 由（2）可知，， 在上为严格减函数. 又是定义在上的偶函数，则在上为严格增函数. 所以， 解得. 故实数a的取值范围为. 18. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元 【解析】 【分析】（1）根据利润毛收入成本可得结果； （2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值. 【小问1详解】 由题意可得， 所以函数的函数关系式为 【小问2详解】 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，此时 综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元. 19. 我们把函数叫做双曲正弦函数，记作；把函数叫做双曲余弦函数，记作．（其中常数） （1）请从下面两个公式中选择一个证明．（若两个公式都证明，按第一个证明计分） ①； ②． （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点．若是函数的图象的局部对称点，求实数的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）将双曲正、余弦函数解析式分别代入式子左边与右边，计算化简得相同结果即证； （2）先判断函数的单调性和奇偶性，再根据单调性和奇偶性转化为解含参的一元二次不等式即可； （3）根据局部对称函数的定义得到，令，求出，根据单调性求出的最小值，进而求出的最大值. 【小问1详解】 证明：选择①，证明如下： 由定义可得，， ， 故． 若选择②，证明如下： ， ． 故． 【小问2详解】 因为在上都是增函数， 所以在上是增函数． 因为，所以在上是奇函数， 关于的不等式 转化为， 即， 所以，则， 当时，解得或； 当时，解得， 当时，解得或； 故当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或． 【小问3详解】 ， 由是函数的图象的局部对称点， 可得，， 代入整理得， 设，则，， 则， 所以， 当时，和均为增函数， 所以在上是增函数， 所以，所以， 故实数的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第二实验中学2025~2026学年度上学期期中考试 高一数学试卷 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第四章4.2结束. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 已知函数（，且）图象过定点（m，n），则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式解集是，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与. A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①④ 7. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值可以为（ ） A －7 B. 0 C. 3 D. 7 11. 已知满足，且时，，．则（ ） A. 是奇函数 B. 是上的增函数 C. D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 13. 已知“，”为假命题，则实数的取值范围是_____． 14. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）； （2）已知，求的值． 16. 已知函数 （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求； （2）求时，函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围. 18. 《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19. 我们把函数叫做双曲正弦函数，记作；把函数叫做双曲余弦函数，记作．（其中常数） （1）请从下面两个公式中选择一个证明．（若两个公式都证明，按第一个证明计分） ①； ②． （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若在函数定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点．若是函数的图象的局部对称点，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $