云南省玉溪市江川区第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

参考答案 1.C2.D 3.D4.B 5.B 6.C 7.B 8.D 9.CD 10.ABD 11.ABD 12.4 13.1 14,-2,2 15.解：(1)记事件A为"选到的学生不经常锻炼”，事件B为“选到的人是女生”，根据条件概率公式， PA=0=品PAB=0-故PBvA=8号 200-5 PA3 即在选到的学生不经常锻炼条件下，是女生的概率为： (2提出假设为H。:学生体育锻炼经常性与性别无关， 则x2=200×乙i, 根据小概率值α=0.01的独立性检验， 有充分的证据推断H,不成立， 因此认为学生体育锻炼经常性与性别有关， 第1页，共6页 16.解：（1)证明：如图，连接AC,交BD于点O,连接A1O,AC1, A D B D 在棱台中，A,B, AB2,则A8三2又点O为AC中点，则OC=A,CBOCILA,C 所以四边形AOCC1为平行四边形，则CC1/iA,O, 又A,OC平面A1BD,CC1￠平面A,BD,所以CC1/i平面A,BD, (2)因为四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD, 又AA1⊥平面ABCD,OB,OCC平面ABCD, 则AA1⊥OB,AA1⊥OC. 如图，以O为原点，OB、OC分别为x轴，y轴，以平行于AA的直线为z轴建立空间直角坐标系， 第2页，共6页 B 则B(V3,0,0,C(0,1,0),D(-3,0,0,A(0,-1,0),A1(0,-1,2),C1(0,0,2), 在直角AACC中，AC=之2，且△ATC怎于△C,则7-2， AT 以i-号AC=0号专D-23.00,A=-5,-10,以=m+=3-号 3 n·BD=-2V3x=0 设平面TBD的法向量i=(x,y,Z),则？ n-r-xy+号=0 3 令y=4,则z=1,所以7=(0,41) 又CC1=(0,-1,2 设CC,与平面TBD所成角为0， 第3页，共6页 则sin0=cosCC1,n=i CC,与平面TBD所成角的正弦值为？v85 85 17.解（由fx= Xe-3.x2, 得：fx)=ae-3x2+e3(-2x=eax-2, 因为f(x)在x=处取得极小值，所以f“(分=0， 代入x=由于。片30且6，故分子需满足：a:-2=0, 2 解得a=4, 因此，fX=e“4X-2,原函数定义域为x∈-0,0)U0,+w e4x-3>0恒成立，故f'(x)的符号由(4x-2)与x3共同决定： 当x<0时，X<0,4X-2<0,故4X2>0,f'(x>0,f(x)单调递增： x3 当0<x<时，>0,4x-2<0,故4x2<0,fX<0,fx单调递减： 当x>时，X>0,4X-2>0,故4X2>0f(x>0,fx单调递增， x3 综上，f(x在-0,0,2+上单调递增，在0，上单调递减： (2)当x∈[，2]时，结合(1)的单调区间 第4页，共6页 fx在子，号1上单调递减，在}，2]上单调递增，故x=处取得圾小值即区间内最小值， 极小值 f= 左端点： 4}-3 e 右端点： f2)se23。 4 e>2故。=128>64因此16g, 由 e24 所以f(x)的最大值为， 最小值为4 18.解：(1)Y的所有可能取值为3,4,5,6， P(Y=3)=(, P(Y=4)=C31 Pv=5j=c号xd, P(Y=6)=, .Y的分布列为 3456 8421 279927 数学期望亚Y=3x+4×4+5×2+6X立4 9 9 (2)依题意，n局比赛中，人类队累计得分为(n+2)分， 即n局中有2局人类队取胜， 第5页，共6页 :当n≥2时，p(nj=Cd 当n=1时，P(1)=0也符合上式， p(n=n-1. n18 公”- i-18 设S=1×i,(), 3s=1xd.6 @-得：35=1+8 .S=9-3(n+2)i, 至4-0s=*2 (3)设“赛满2n+1局人类队获胜”为事件C, 要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满2n一1局人类队胜，记为事件A1, 第一阶段赛满2n-1局人类队负，记为事件A2, ∴.C=A,C+A2C, P(C)=P(A C)+P(A2 C), ①若第一阶段人类队胜，则人类队在前2n-1局至少胜n局， 分为人类队至少胜n+1局和人类队恰好胜n局， (i)若人类队至少胜n+1局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜； （闭若人类队恰好胜，同，且后面两局中人类队均负的概率为c1P8 P(A,C=Am-C-p淇中p=写 ②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了n一1局， 第6页，共6页 而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜， ..P(A2C)=P(A2)P(CVA2)=C2p"' :An+1=P(C)=P(A,C+P(A,C)=A(n）-C3npp其中p=专， A(n+1)-A(n)=C2np"i C2n-1p"ii C2n-1p" .A(n+1)<A(n), 在人类队每局获胜概率为二的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小. 19.解：（证明：当n=1时，由已知得2S,=a,-2+1即a,=S,=1 当n≥2时，由已知得，25.1=0，-2°+1'又2S,=a1-2+1 两式相减得2a,=041-0,-21+2 即g41=30+2,叉因为。，=5=3×1+2=3a,+2 所以当n∈N时，a1=3a+2” 即an+1=3.0+2”=3.0n+1, 2*1222*122”2 如n+1日 _3.an+1' 22 因为0+1=30所以0+1≠0 2 2” 第7页，共6页 所以2+1 3 t1 2分 即a +1是首项为3，公比为3的等比数列， 2 2 2 即an+1= 3 2 所以a=3-2 (2由(1)可知b,=10g(3”-2+2)=n 故对于任意的n∈N,不等式nl1+m-6<·3恒成立， 即>n2+n-6恒成立，设D,= n+n-6, 3” 于是Dn+1-Dn=(i, 整理得D1D,=27-m, 3+1 所以当n≥3时，Dn+1-Dn<0,即D3>D4>D5>..>Dn>…, 当n≤2时，Dn+1-Dn>0,即D3>D2>D1, 所以D,≤D,号即心号 9 所以的取值范围为弓+0 第8页，共6页 3油1问c,=3”-42= 因为3”= i4×元， 所以当n为奇数时， +当为，+ 4 所以T2024=C1+C3+..+C2023+C2+C4+.…+C2024 63+3t+30-1012x3+3+3++3 -1012×1.31-9-1012=33-1-1012 4 4 4 4-41-3 8 而30191=d 8 8 iCo128101+C10281010+.+C1818+C181' 考虑到当k≥2时，8能被16整除， C898=506×1011× 也能被，整除， 16 所以Tm除以16的余数等于3×C8-1012除以16的余数， 而3×C08-1012=2024=16×126+8 所以T如除以16的余数等于g 第9页，共6页 绝密★启用前 云南省玉溪市江川区第一中学2025-2026学年度高三上期中考试 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则(    ) A. B. C. D. 3.在中，角的对边分别为，若，则的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4.已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则取得最小正值时为(    ) A. B. C. D. 5.如图函数图象的解析式可能是(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.某个圆锥容器的轴截面是边长为的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为(    ) A. B. C. D. 8.若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. ， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若，则(    ) A. B. C. D. 10.如图，三棱台中，，平面，，，则(    ) A. 三棱台的体积为 B. 平面 C. D. 若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，则点在侧面上的轨迹长度为 11.椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点对于椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为，椭圆在点处的切线为，过点且与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，且，点，给出下列四个结论，正确的是(    ) A. B. 的最大值为 C. 当点横坐标为时，的内切圆半径 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为          ． 13.已知甲袋中有大小质地完全相同的个红球和个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的个红球和个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是          ． 14.牛顿数列是牛顿迭代法在求函数零点时生成的数列对于函数和数列，若，则称数列为函数的牛顿数列已知数列满足，，其中是函数的牛顿数列则数列的通项公式为          记数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽选了名男生和名女生，统计数据如下表所示： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 从这人中随机选一人，已知选到的学生不经常锻炼，求此人是女生的概率； 试依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼的经常性与性别是否有关． 附：，其中． α 16.本小题分 已知四棱台，，底面四边形为菱形，，且侧棱平面． 证明：平面 记，求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知函数在处取得极小值． 求的值，并求的单调区间 若，求的最大值与最小值． 18.本小题分 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记分，其余记分每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响． 求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望； 若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求； 若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义． 19.本小题分 设数列的前项和为，已知，且． 证明：为等比数列，并求数列的通项公式； 设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以的余数． 第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $