亲爱的同学们，大家好。今天我们继续来更新高中数学必修第一册同步提高班视频系列专栏课的第12个专题，函数与方程中的第二类小题型，求函数零点的个数问题。这一类问题也有可能出现在高考进步中的高等级。所以说在高一阶段，希望同学们把这个基本功打好打扎实。今天咱们有两个小例题来着重谈一谈这类题型我们该怎么来解。首先我们看第一类题型，已知FX它的解析式告诉我们了求这个零点的个数。对于这类题型我们有一个最普通的解法是什么呢？直接把它转化成两个图像的焦点问题。大家注意，直接转化成两个图像。因为函数的零点是什么呢？就是令FX等于零这个方程的根。所以说我们可以先这样来写，FX等于2的X次幂减一的绝对值加上X分之1减1，我让它等于，那么这个方程的根就是函数的零点。那么这个方程我们还把它转化成这样一种形式，再进一步变形，转化为二的X次幂减一的绝对值等于一减去X分之一。那我们求这个方程的根可以转化成这两个函数图像的交点的个数问题，那就转化成Y等于二的X次幂减一的绝对值与Y等于一减X分之一的焦点个数问题，那么它的。焦点个数。就是上述方程根的个数，这个是等价转化，这也就是函数与方程以及再求方程转化成函数，转化成双函数的图像交点个数问题。那现在我们来画，根据我们前面的课题，我们讲的专题讲的这个图像的画法。对于Y等于二的X次幂这个函数图像，我们可以先画Y等于二的X次幂的图像，然后把这个图像向下平移一个单位，转化成Y等于2，X次幂减1。最后我们再在外面加上一个绝对值，那么这个就是关于X轴。反正关于X轴范围，也就是相当于在外面加上一个绝对值，就是把X轴下方部分的图像放置到X轴的上方，X轴上方部分图像保持不变。那么对于形如Y等于一减去X分之一这个图像，我们可以给它写成Y等于1加X分之负一。那么这个图像就是由Y等于X分之负一这个反比例函数图像向上平移一个单位，得到了一个函数图像。好，现在我们来画出这个函数的两个函数图像的草图。我们画图的时候要做到草图不炒，就是关键点关键线我们都要把它标到位。这个是Y轴，这个是圆脸。首先Y等于2X次幂的图像向下平移一个单位，向下平移一个单位，来看我这个草图，我现在用一种形式演化，这个是Y等于2X次幂的函数图像。向下平移一个单位之后，大家注意原来X轴是它的渐进线，向下平移之后，它就变成一个有一个新的渐近线，Y等于负一。那么第二个这个图像，我画的第二条线，这个就是我们所说的Y等于2的X方减一的图像。如果加上绝对值的，大家看这个线也跟着平移，那么我们现在用我换个颜色笔，我现在用紫色的线来表示最后的这个图像。最后图像就是把这个X轴上方的这个部分的图像，保持下方放到了上方。但是这个渐进线也有更多平移，来看我画的这条虚线，就是Y等于一这条线，也把它放置上来。好，大家看我这个紫色的这个线，就是左边Y等于二的X次幂减一的整体的距离值的图像。那么第二个图像就是第二个图像，我们现在再换一个颜色笔来画。我们现在用这个绿色的线来画，绿色的Y等于X分之一，我们知道它是在一三象限X分之负一，它在二四象限。如果X分之一在一三象限，X分之负一，它在二四象限，24象限向上平移一个单位，那么它同样就是我们绿色的这条线，它也有两条渐近线，一条渐近线是Y轴，一条渐近线是Y等于一。这边也有一条渐近线我们画上来，但是我这边画上来的时候，大家看这边是经过01，就是我们令X为零的时而不是令这个Y为零的时候，得到的是谁呢？得到X值是一，所以说它是经过一零这个点，这边是无限接近这个。万能离这条线。由图像可以看出来，此题的答案是零个焦点。有同学可能有疑问，老师你这个位置和这个位置有没有交点呢？我们可以看一下这边的，如果说我们的外围一的时候，外围一的时候，它这个刚好是因为我这个图像画的不是标准，就是它这个一准确来讲，这段图像就是一处对应的函数值，就是一就这个点应该是一，所以说这个紫色的线实际上我应该再往上斜一点点就可以了。这个不标准，准确讲应该是斜上来的，就这个焦点是一这个焦点是10，所以说这个就不可能有交点了，所以说此题的答案选A好，这是出城例题2-1，我们就讲到这里。你们在做这道题的时候，还是要注意把握一个什么呢？把握一个我们所说的掌握，把它转化成双函数，而且是两个可画函数图像的各种问题就行了。这是我们要掌握的核心解题技巧。好，下面我们来看一下出城例题2-2。那么这道题也是一样的，这道题我们也可以转化成双函数的。那么根据刚才求成第1-1的这个方法，我们这样转化成可化的函数。我们一样的，我们令FX等于2的X次幂倍的log以0.5就是2分之1为底X的对数减一等于0，就转换成这个方程的根，转化成双函数，把一移过来，再把2X幂除过去。我们得到log以2分之1为底X对数的绝对值应该等于2的X次幂分之一，这个写成2分之1的X次幂的，这个右边是这个代数式，那我们可以转化成Y等于log以2分之1为底X对数的绝对值，它的函数图像与Y等于2分之1X次幂的图像。焦点个数问题，我们可以转化成这两个函数图像。交点个数问题。对于第一个图像，下面我们来做出这个草图。考试的时候什么XY都可以，不用再标了，对吧？可以能省几秒钟就省几秒钟。这个是先画对数函数的图像，我们先把这个下方部分的图像，我们把它画成这个虚线，然后外面加橘子，就是把X轴下方部分的图像翻折到X轴的上方，上方部分的图像保留好，这是这个图像。那么2分之1X次幂的图像，我们知道是单调递减的，单调递减的指数函数。那由图像很明显，只是它是有几个交点的两个焦点，所以此题的答案选B，这道题难度不大，但是你要不会转化的话，这个题还是有点难的。下面我们来看一下复合函数的方程的根那个数，或者是复合函数的零点问题。所有的复合函数大家看这里体现我们都需要换源，注意都需要换源。那么这里面我们可不妨另T等于FX。那么则圆方程就转化成T方加上一个AT等于0。那这个时候我们可以解出T有两根，T1根是等于零或者是谁呢？七等于负A那么现在我们来画这个内函数的图像，内函数的图像比较的简单，内函数的图像我们可以先画Y等于X减一的绝对值。实际上这个题你可以用分段函数的形式来换。你比如说T是等于FX那么就等于一减去一减X的绝对值。我们画成分段函数分段函数。我们看当X大于等于一的时候，大于等于一的话去绝对值就变成X减1，那么就是一减去一个X减一就是一减X再加1，那就是2减X那么第二段就是X小于一小于一的话，取绝对值不变。所以这个就是X通过化简之后，可以画成两段，是从一处一分为二，这是一，这是零。那么对于大于等于一的话，首先经过一一这样一个点，经过一这个点，然后我们看啊在另外一人，是经过20这个点，20这个点它是个单调递减的，它图像是这样，那么YX小于一部分就是这样一个图像。好，最后就是如图所示的这样一个两条折线，折线的形式就是好，现在咱们。来看一下。来看一下有N个不同的实根，那这里面我们就需要讨论了，大家看我现在用不同的颜色代表有可能的情况看有多种。首先我来用黄色的线来表示。反正T等于0，这是T轴对吧？这个是X轴，T等于零已经对应有两个了，已经对应有两根了。现在于零说明有两个焦点，一个是00点，一个是20点，已经有两个了，这是第一类情况。如果A也为零，听好了，如果A也为零，A也为零，说明这两根都是重根，这个N有可能等于2。所以说第一类情况，当A等于0的时候，这N就是2。那么第二种情况我们看，如果说T等于负A这条线，这是T等于负一这条线，也就是说负A小于一的时候，这个时候T0-1跟内函数还有两个交点，那总共是几根呢？总共是四根，所以N可以取4。第三类情况我们看啊，如果说这个负A等于一的时候，你画一条水平的线，那我们现在换一个颜色我们看，然后我们画紫色的线，这个时候大家看T等于负A跟它有一个顶点，就是有一根就是一。那么这个时候就是T内负A对应的有一个根，一再加上T内每两个根总共是三个根。那么第四类情况也就是说TA负A大于一的时候，这个时候T内负一对应的没有根，那还是两根相等于2。你看由这个情况我们看这道题，我们可以这样来转化，就是当有几个实根的时候求A的范围，那我们这个题就由我刚才的这个讨论也很容易可以得出来，这是防尘训练2-1，下面我们来看一下防尘训练2-2。对于防尘训练2-2这一类题型，零点的个数我们可以直接来解，当然你画出图像也行，所以说我们看方法一，方法一就叫做直接法，所以我这个方程序列二也是等一下咱们要总结的这几类常见方法。第一类方法就是直接法，直接的话就是比如说我们看当X小于零的时候，你不求零点吗？那这个时候由FX等于，那这个时候就是X方等于0。所以说解出来X是00，这个是要舍掉了，因为零并不在这个范围之内当。X大于等于0的时候，那么FX就等于2的X次一减2，然后我让它等于0。这个时候很明显二的X次幂就等于22，就是二的1次方，所以就可以解出X等于一一在这个范围之内，所以说是成立的。所以综上可知。FX0点的个数为一。这是第一种计划。我们来看一下凤凰日，我现在来换回这个红色的。我们看方法2. 方法二我们看直接画图，就是图像法。直接做出FX图像，看它与X轴有几个焦点就OK了。那么左边是X方小于0，我们就这样画，这是初中阶段的抛线，但这个位是个空心的，2X次幂减二大于等于零的图像，就原来是这样一条虚线经过01Y等于2X向下平移两个单位，那它图像就移到负一这个位置。你看你们看由这个位置，我们也知道这个是经过10的，有这两个分段的图像与X轴有且只有一个热点，这此题的答案也是一两种方法都行。好，下面我们对函数零点个数判定的方法，我们简单的来讲解一下。第一个直接求零点，就是刚才我们最后一道的习题里面了，有几个点就有几个零点。第二个是用零点存在性定理，就是直接根据FA乘FB的判断，再结合函数的图像与性质来确定函数零点的个数。第三个利用图像交点个数，在作出两函数图像，观察其焦点的个数，即零点的个数。这是常见的三种方法。好，今天的这一个小题型及其常见解法我们就讲到这里，感谢大家的收看，下一期视频我们再见。