精品解析：上海市金山中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

金山中学2025学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 1. 函数的定义域为________. 2. 已知全集，集合，则＝_____． 3. 已知，是3的倍数，则可用列举法表示为__________． 4. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________. 5. 设，方程的解集为________ 6. 已知，则的值为_____． 7. 若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值为__________． 8. 对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是__________． 9. 已知，关于的方程的两个实数根为，且，则_________. 10. 若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 11. 定义实数运算且则实数的取值范围是_______. 12. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 15. 已知，则关于的方程 ） A. 一定有不相等的两个实数根 B. 一定有两个相等的实数根 C. 可能有两个相等的实数根 D. 没有实数根 16. 已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，全集为. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知幂函数为关于轴对称，且，. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 19. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 20. 现有集合，集合 （1）判断中哪些元素属于集合B； （2）求证：若，则； （3）求证：若，则有且为奇数. 21. 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“高位点”，同时点是点的“低位点” （1）试判断和中哪一个为高位点； （2）已知点是点的“高位点”，判断点是否是点的“低位点”，并证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数k，使得点既是点的“低位点”，又是点的“高位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金山中学2025学年度第一学期高一年级数学学科期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分. 1. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域规则建立不等式求解即可. 【详解】由题意得，得到，解得 可得的定义域为. 故答案为： 2. 已知全集，集合，则＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出并集与补集的定义，即可求解． 【详解】由题设或， 所以. 故答案为：． 3. 已知，是3的倍数，则可用列举法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，再结合交集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 且是3的倍数，所以. 故答案为：. 4. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由幂函数所过的点求参数a，即可得函数表达式. 【详解】由题设，，可得， ∴幂函数表达式为. 故答案为：. 5. 设，方程的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式取等的条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为， 当且仅当，解得或， 故方程的解集为. 故答案为：. 6. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由对数运算、指数运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 7. 若x，y，z均为正数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】由x，y，z均为正数，， 得， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 8. 对任意的，，函数和的图象的公共点个数可能是__________． 【答案】1或2或3 【解析】 【分析】利用幂函数的图象特征分类判断即可得解. 【详解】函数的图象过原点，在第一、三象限，且图象关于原点对称， 任意的，，函数是幂函数，由幂函数图象都过点， 得函数的图象与的图象在第一象限有1个公共点， 当是0或负偶数时，的图象关于轴对称，不过原点，因此它们只在第一象限有1个公共点； 当是正偶数时，的图象关于轴对称，过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是负奇数时，的图象关于原点对称，不过原点，因此它们的图象有2个公共点； 当是正奇数时，的图象关于原点对称，过原点，因此它们的图象有3个公共点， 所以公共点个数可能是1或2或3. 故答案为：1或2或3 9. 已知，关于的方程的两个实数根为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，， 且，即， 因为， 则，解得，即， 所以. 故答案为：30. 10. 若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为方程只有1解，求实数的值求解. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以集合中有且只有1个元素，即方程只有一解. 由. 由或. 因为方程只有一解，所以或（因为是方程的增根）， 所以或. 故实数的取值集合为. 故答案为： 11. 定义实数运算且则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得,再求解不等式即可. 【详解】由可知满足 即所以或即 故答案为 【点睛】本题考查新定义函数问题,明确定义运算代入再求解绝对值不等式即可.属于中等题型. 12. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出结果. 【详解】由题意，得 ，所以 . 由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1， 若 ，则 ，于是 ； 此时且 ，无正整数解； 若，集合有共同元素1和9，则， 所以 ，且，而， 所以， 当 时， ； 当 时， ； 因此满足条件的共有2个，分别为. 故答案为: 或 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，其中第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对ABC，根据，结合不等式的性质推导即可；对D，举反例判断即可. 【详解】对A，则，故，故A错误； 对B，，则，且，故，故B错误； 对C，，则，且，故，即，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：C 14. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有， 故一定不是等腰三角形； 故选：D. 15. 已知，则关于的方程 ） A. 一定有不相等的两个实数根 B. 一定有两个相等的实数根 C. 可能有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及判别式即可求解. 【详解】由，得，且， 所以 ， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等. 故选：C. 16. 已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】运用元素和集合的关系判断即可. 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，全集为. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由交集，并集定义结合题意可得答案； （2）分，两种情况，结合题意可得答案. 【小问1详解】 此时，则，； 【小问2详解】 当时显然满足要求，故，即 当时，则有，即 综上得. 18. 已知幂函数为关于轴对称，且，. （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值. （2）由（1）可得，再根据奇偶性与单调性求解即可. 【小问1详解】 由，得幂函数在区间上单调递减， 则，解得，又，则的值为， 由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数， 所以. 【小问2详解】 由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减， 不等式，则， 故，且，即， 解得或，所以的取值范围是. 19. 某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶． （1）据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收入月总成本) 【答案】（1）20元 （2）当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元 【解析】 【分析】（1）设提价元，根据“下月总利润不低于原来的月总利润”列不等式，求得的取值范围，从而求得最高售价. （2）求得下月总利润的表达式，利用基本不等式求得下月总利润的最大值以及此时的售价. 【小问1详解】 设提价元，由题意，每瓶饮料的利润为元，月销售量为万瓶， 所以提价少月销售总利润为万元． 因为原来月销售总利润为(万元)，月利润不低于原来月利润， 所以，即， 所以，所以售价最多为(元)， 故该饮料每瓶售价最多为20元． 【小问2详解】 由题意，每瓶利润为元，月销售量为万瓶，设下月总利润为， 整理得 因为，所以， 所以， 当且仅当时取到等号， 故当每瓶售价为19元时，下月的最大总利润为45.45万元． 20. 现有集合，集合 （1）判断中哪些元素属于集合B； （2）求证：若，则； （3）求证：若，则有且为奇数. 【答案】（1）， （2） 当时，令，为整数， 则， 显然都是整数，因此， 当时，，则，所以. （3） 由， 得， 则都是整数，为整数， 因此，即， 由是整数，得是偶数，或都是奇数，则是奇数，是奇数， 所以且是奇数. 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可. （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证. （3）根据给定条件可得，进而求出，再推理说明是奇数即可. 【小问1详解】 由，得； 由，得； 由没有倒数，得； 由，得， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“高位点”，同时点是点的“低位点” （1）试判断和中哪一个为高位点； （2）已知点是点的“高位点”，判断点是否是点的“低位点”，并证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素m，总存在正整数k，使得点既是点的“低位点”，又是点的“高位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由. 【答案】（1） （2）点是点的“低位点”．证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由高位点的定义直接判断即可； （2）先由点是点的“高位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“低位点”. （3）借助（2）的结论证明点既是点的“高位点”，又是点的“低位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值. 【小问1详解】 因为，所以为高位点； 【小问2详解】 点是点的“低位点”，证明如下： 点是点的“高位点”，． 又均大于0，，， ，即， 点是点的“低位点”． 【小问3详解】 若点是点的“高位点”，可证点既是点的“高位点”，又是点的“低位点”． 证明如下：点是点的“高位点”，， 均大于0，，， ， 即，点是点的“高位点”． 同理可得，即， 点是点的“低位点”． 点既是点的“高位点”，又是点的“低位点”． 要使点是的“高位点”，则，解得， 所以当时，点是的“高位点”， 根据题意知，点既是点的“低位点”，又是点的“高位点”对恒成立， 根据上述结论可知，当，时，满足条件． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $