3.2.2 双曲线的几何性质(2)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

回忆一下 方程 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 3.2.2 双曲线的简单几何性质 例1：求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4； (2)以直线为渐近线，过点 . 典例精析 (2) (1) 或 (1)渐近线方程为 (即)的双曲线系方程 可设为　 方法总结 (2)与双曲线或 共渐近线的双曲线系方程 可设为或. 　 (3)与双曲线 离心率相等的双曲线系方程 可设为或，这是因为离心率不 能确定焦点位置. 巧设双曲线方程的技巧： 注:(1)(2)中的表示焦点在轴上的双曲线；表示焦点在轴上的双曲线. 4 方法总结 (4)与双曲线或 有公共焦点的双曲线系方程可设为或 　 巧设双曲线方程的技巧： 总结： 根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. 5 双曲线焦点到渐近线的距离为_____. b 拓展性质1：双曲线焦点一准线的距离: 双曲线的通径是过焦点且与同一支相交时的最短弦. 拓展性质2：双曲线的通径: 双曲线的通径: 若过双曲线的其中一个焦点且垂直于焦点所在坐标轴的直线与双曲线交于两点, 则被双曲线截得的弦叫做双曲线的通径,长为 通径 x y O F1 • F2 • P Q 双曲线上的点到同侧焦点距离最小为c-a，到异侧焦点距离最小为c+a 焦点在x轴或y轴上，通径长都为 例2：(1)如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为 . 典例精析 (2)已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为( ). A. B. C. D. D 方法总结 求双曲线离心率的方法： 10 例3：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹. 解：由题意可得 典例精析 P125例5 思考:将上例与椭圆一节中的例(页)比较, 你有什么发现？ 例6: 动点与定点的距离和到定直线 的距离的比是常数 求动点的轨迹. 例5:动点与定点的距离和到定直线 的距离的比是常数 求动点的轨迹. 例4：已知和2的分别为1和2， 2 =4，动圆M与内切，与外切，则动圆的轨迹为___________. 典例精析 双曲线的一支 归纳总结 2.双曲线焦点到渐近线的距离为b. 1.有公共渐近线的双曲线系方程. 3.双曲线通径长为 . 4.求轨迹方程的常用方法：直译法，定义法，相关点法. 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)以直线为渐近线，过点； (2)求以椭圆 的焦点为焦点,以直线 为渐近线的双曲线方程; (2) (1) 随堂小测 3.不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|=6a,得|PF1|=4a,|PF2|=2a,|F1F2|=2c, 则在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,由余弦定理得 (2a)2=(4a)2+(2c)2-2·4a·2c·cos 30°, 随堂小测 课本P126 1 课后作业 课本P128 5，8，10 1.若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解． 2.若已知a，b，可直接利用e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))得解． 3.若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数， 且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 2．已知双曲线的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为　　　　　.  3．设F1,F2是双曲线C: 的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则双曲线C的离心率　　　　　.  解析:2. ∵a>,∴<1, ∴y=x的倾斜角小于45°,∴=tan, ∴a=,c==2,∴e=. 整理得(e-)2=0,故e=. $