专题5.5 导数在研究函数中的应用（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题5.5 导数在研究函数中的应用（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 函数零点（方程根）的个数问题】 1 【题型2 函数零点（方程根）的参数范围问题】 4 【题型3 利用导数证明不等式】 9 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 14 【题型5 利用导数研究存在性问题】 18 【题型6 利用导数研究双变量问题】 22 【题型7 导数中的新定义问题】 25 【题型8 导数在实际问题中的应用】 31 知识点1 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 函数零点（方程根）的个数问题】 【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】求出函数的导数并求出单调区间，确定极值情况，再结合零点存在性定理求解. 【解答过程】函数的定义域为R， 求导得， 由，得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值，极小值，而， 因此函数在上有唯一零点0；在与分别有唯一零点， 所以所求零点个数为3. 故选：C. 【变式1-1】（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，进而得函数的极值，即可得函数的零点个数. 【解答过程】，， 令，得或；令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． 故选：C． 【变式1-2】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； （3）结合函数单调性与零点存在性定理分析即可得. 【解答过程】（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）， 令，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点； （3）由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则， 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为. 【变式1-3】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若，求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)两个零点 【解题思路】（1）先求函数在该点的函数值和导数值，再利用导数的几何意义，即可求切线方程. （2）对函数求导，解出临界点，再根据参数的取值分类讨论其单调性，即可得解. （3）将零点问题转化为函数与直线的交点个数问题，结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的最小值以及函数在区间端点（极限情况）的函数值，即可判断交点个数，从而得到零点个数. 【解答过程】（1）由已知，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由已知，且. 令，解得. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. 当时，，此时在上单调递增. （3）要求函数的零点个数，即求函数与直线的交点个数. 由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上单调递减，在上单调递增. 所以，又，所以， 又当和时，， 所以函数与直线有两个交点，故函数有两个零点. 【题型2 函数零点（方程根）的参数范围问题】 【例2】（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数研究函数的单调性，进而作出函数的图像，令，要使得函数恰有4个零点，则关于的方程要有两个根，不妨设或，即，令，利用导数研究单调性，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【解答过程】由题意有：当时，，由，所以在单调递减， 当时，，所以， 由，所以在单调递增，在单调递减， 作出的图像： 令，由有， 由图可知，要使得函数恰有4个零点， 则关于的方程要有两个根，不妨设或， 由有，令，所以， 当时，，当或时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 作出的图像： 由图可知：当时，直线与的图像的两个交点的横坐标满足或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用但函数判断出分段函数，当时，单调递增和值域，当时，先减后增，有极小值，要使得有三个零点成立，转化为不等式成立即可． 【解答过程】解：当，恒成立，故在上单调递增， 当，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有极小值为：，函数的图象如下图： 要使得函数有三个零点， 则，即， 解得：， 故选：C． 【变式2-2】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 【变式2-3】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）求导后分及讨论即可得； （2）（i）结合（1）中所得单调性，分及讨论后利用最小值需小于零，结合零点存在性定理即可得解；（ii）当时，只需证明，构造函数求导后结合单调性即可得；当时，结合零点所在区间即可得. 【解答过程】（1）， 当时，，则，故在上单调递增； 当时，令，解得或（负值，舍去）， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）（i）若，在上单调递增，不可能有两个不同零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则有，即， 解得，即， 又时，，， 故存在，使得， 即的取值范围为； （ii）由，则，由，则， 若，即时，有， 要证，只需证， 又，即只需证， ， 令，， ， 令，，则， 则在上单调递减， 又， 则当时，，故在上单调递增， 又， ， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，时，， 故，则，即有，即； 若，即时， 由，，， 故，故； 综上所述：. 知识点2 导数中的不等式证明 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【题型3 利用导数证明不等式】 【例3】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求导得，再代入计算求出即可； （2）设，再求导得到其最小值即可证明. 【解答过程】（1）由，可得， 所以切线斜率为． （2）令， 则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，． 【变式3-1】（25-26高三上·福建漳州·月考）已知(为常数) (1)当时，求在处的切线. (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）当时，求出，再由点斜式求解即可； （2）对求导，分和，判断与的大小即可得出单调性； （3）构造函数，对求导，结合（2）中的结论，可证得，即可证出当时，. 【解答过程】（1）当时，. ，∴切点为· ，∴切线斜率. ∴切线方程为，即.· （2）， 当时，恒成立，∴在单调递增； 当时，由，由 ∴在单调递减，在单调递增.· 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增.· （3）构造函数. 设，则，函数在上单调递增，且， 当时，，在上单调递减，所以在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以在上单调递增. ∴当时，的最小值为· ∴当时，， ∴在单调递增， ∴当时 ∴当时，. 【变式3-2】（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）分别构造，，求导，确定单调性及最值，即可求证； （2）根据题意，当时，，故只需证明，进而利用导数方法证明函数的最小值大于0即可. 【解答过程】（1）当时，， 令，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 所以，即； 令，， 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 所以，即， 综上：. （2）当时，， 要证明，只需证明， 故只需证明. . 因为函数和函数在上单调递增，所以在上单调递增. ， 所以必定存在唯一一个零点，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由，得，， 所以， 所以. 所以，当时，. 【变式3-3】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． （2），，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． （3）证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 知识点3 导数中的恒（能）成立问题 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例4】（25-26高三上·四川·阶段练习）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析得在区间上恒成立，故只需利用导数求的最小值即可. 【解答过程】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高三上·福建·阶段练习）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得恒成立，构造函数，求导根据函数单调性可得的最大值即可得答案. 【解答过程】因为函数， 在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 因为 ，所以. 故选：B. 【变式4-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出该点的函数值与函数在该点的导数值，再利用点斜式直线方程化简求解即可． （2）要使恒成立，只需，令，求导结合零点存在定理得的单调区间，进而求得在上的最小值即可得解． 【解答过程】（1）已知，将代入函数可得． 又， 将代入导数中，得到切线的斜率． 已知点，斜率，代入可得切线方程，即． （2）要使恒成立，只需． ，则． 令，． 因为时，，所以，即在上单调递增． 又， ， 所以存在，使得． 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增． 由上述分析可知，在处取得最小值，即． 因为，即，整理得， 两边同时除以，可得，即， 将代入中： 所以，要使对恒成立，只需． 【变式4-3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知函数，函数， (1)求的单调区间； (2)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用导数求解单调区间即可. （2）结合导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数证明不等式即可. （3）构造函数，求出导函数，对再一次求导后，还要第三次求导，然后由时的导数值的正负分类讨论求解即可． 【解答过程】（1）由题意得的定义域为， 因为，所以， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意得， 则， 令， 化简得， 则，令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到， 即成立，可得， 故得证. （3）因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 则在上恒成立， 令，且满足题意， 而，令， 则，令， 则， 则在上是增函数，即在上单调递增， 得到，当时，， 此时在上单调递增，即在上单调递增， 则，可得在上单调递增， 得到恒成立，原不等式恒成立， 当时，则，又， 得到， 则由零点存在性定理得，存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 即在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 即在上单调递增，而， 则当时，，此时在上单调递减， 可得，不合题意， 综上，的取值范围是． 【题型5 利用导数研究存在性问题】 【例5】（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【解答过程】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【解答过程】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 【变式5-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或. 【解题思路】（1）求出的导函数，研究单调性，即可得到函数的最小值； （2）对参数a分类讨论，明确函数的单调区间； （3）原问题等价于在区间上存在一点，使得，即求函数的最小值即可. 【解答过程】（1）的定义域为， 当时，，， 令得，令得，令得， 所以的单调递增区间为，递减区间为， 所以在处取得最小值. （2）， 则， ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，不存在减区间. （3）在区间上存在一点，使得成立， 即在区间上存在一点，使得， 即函数在上的最小值小于等于零. 由（2）可知 当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，满足， 所以； 当，即时，在上单调递增. 所以最小值为，由可得，满足， 所以； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可得最小值为，因为，所以， 故，此时不成立. 综上讨论可得所求的范围是：或. 【变式5-3】（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【解答过程】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 知识点4 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型6 利用导数研究双变量问题】 【例6】（24-25高二下·湖北·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据极值点为导函数零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【解答过程】由题知，的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，则①， 令，因为，所以， 将代入①整理可得， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【答案】C 【解题思路】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D. 【解答过程】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且， 所以，解得，所以A正确； 对B，，且，，故，， 所以，所以B正确； 对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定， 所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，所以D正确； 故选：C. 【变式6-2】（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数分析函数的单调性，可求出函数的最大值； （2）设，代入，可将化简为，设，对求导，得出的单调性，可求出在上的值域. 【解答过程】（1）函数的定义域为，，令，解得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，即. （2）由题意可得，整理得， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递增，所以. 所以的取值范围为. 【变式6-3】（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知得求； （2）的两个极值点是方程的两正根，可得范围及，代入得，求的值域即得. 【解答过程】（1）因为，所以， 又曲线在处的切线与垂直， 所以，解得. （2）因为，， 所以的两个极值点是方程的两正根， 所以，解得， 所以 ， 令，则， 所以在单调递减， 当时，，且， 所以的取值范围是. 【题型7 导数中的新定义问题】 【例7】（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数的导函数，结合“巧值点”的定义逐个求解判断. 【解答过程】对于A，由，得，所以， 所以有无数个“巧值点”，所以A错误； 对于B，由，则， 令，则，显然，则，显然不成立， 所以无解，故不存在“巧值点”，故B正确； 对于C，由，得，由，得， 即为函数的“巧值点”，所以C错误； 对于D，由，得，令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，所以存在，使， 即，所以为函数的“巧值点”，所以D错误. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对函数求导，得到关于的方程，根据“二倍阶值点”的定义，探究方程的解是否存在，逐个选项进行判断即可求解. 【解答过程】对于A， ， ， 由，得 ，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于B， ， ， 由，得 ， 因为，，解得， 所以函数存在“二倍阶值点”； 对于C， ， ， 由，得 ， 令 ， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值也是最小值，且， 所以无解， 所以函数不存在“二倍阶值点”； 对于D， ， ， 由，得， 令 ，， 所以在上单调递增， 又，， 根据零点存在性定理可知在上存在零点， 所以方程有解， 所以函数存在“二倍阶值点”. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二下·全国·阶段练习）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【解题思路】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【解答过程】（1） 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 【变式7-3】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1），，利用导数判断其单调性后可证函数，与“具有性质”. （2）根据函数具有性质得，令，，利用极值点偏移的方法可证，故可得原不等式成立； （3）令， ，利用导数可证在前者为减函数，后者为增函数，再结合不等式的性质可证函数与“具有性质”. 【解答过程】（1）令，， 所以，所以在上单调递增， 不妨设，所以，即， 即， 所以， 所以函数，与“具有性质”. （2）证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. （3）证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 知识点5 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型8 导数在实际问题中的应用】 【例8】（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解题思路】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【解答过程】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高三上·河北·阶段练习）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，得该圆柱的体积，设，利用导数研究单调性进而求最大值即可. 【解答过程】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以， 所以该圆柱的体积， 设，则，由， 得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则该圆柱体积的最大值是. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（    ）（参考数据：，） A．0.32元 B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元 【答案】C 【解题思路】设该纸箱底面边长为a米，侧棱长为h米，写出成本表达式，利用导数即可求出其最小值. 【解答过程】该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米， 则纸箱的体积，表面积， 成本为， 则，令，得， 则．当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，P有最小值， 所以（元）， 故选：C． 【变式8-3】（2025高三·全国·专题练习）某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【解题思路】设，求出修建费用关于的函数解析式，根据单调性得出求出函数极值点，得出结论． 【解答过程】设海里，在陆地上修建管道没海里费用为，修建总费用为， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 当时，取得最小值，故而取得最小值． 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 导数在研究函数中的应用（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 函数零点（方程根）的个数问题】 1 【题型2 函数零点（方程根）的参数范围问题】 2 【题型3 利用导数证明不等式】 3 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 5 【题型5 利用导数研究存在性问题】 6 【题型6 利用导数研究双变量问题】 7 【题型7 导数中的新定义问题】 8 【题型8 导数在实际问题中的应用】 9 知识点1 导数中的函数零点（方程根）问题 1．导数中的函数零点（方程根）问题 利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法： (1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决. (2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y= g (x)图象的交点问题. 2．与函数零点（方程根）有关的参数范围问题的解题策略 与函数零点（方程根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况. 【题型1 函数零点（方程根）的个数问题】 【例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2025·云南红河·三模）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 【变式1-3】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若，求函数的零点个数. 【题型2 函数零点（方程根）的参数范围问题】 【例2】（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【变式2-3】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 知识点2 导数中的不等式证明 1．导数中的不等式证明 (1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可. (2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题． 【题型3 利用导数证明不等式】 【例3】（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线斜率； (2)当时，求证：． 【变式3-1】（25-26高三上·福建漳州·月考）已知(为常数) (1)当时，求在处的切线. (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，； 【变式3-2】（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当时，求证：； (2)当时，求证：． 【变式3-3】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 知识点3 导数中的恒（能）成立问题 1．不等式恒（能）成立问题的求解方法 解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法： (1)分离参数法解决恒（能）成立问题 ①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题． ②恒成立； 恒成立； 能成立； 能成立. (2)分类讨论法解决恒（能）成立问题 分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 【题型4 利用导数研究不等式恒成立问题】 【例4】（25-26高三上·四川·阶段练习）已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三上·福建·阶段练习）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【变式4-3】（25-26高三上·湖北黄冈·期中）已知函数，函数， (1)求的单调区间； (2)若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【题型5 利用导数研究存在性问题】 【例5】（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数，． (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调区间； (3)若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围． 【变式5-3】（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 知识点4 导数中的双变量问题 1．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 【题型6 利用导数研究双变量问题】 【例6】（24-25高二下·湖北·期中）函数的两个极值点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【变式6-2】（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【变式6-3】（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）已知. (1)若曲线在处的切线与垂直，求实数的值； (2)若函数存在两个不同的极值点，求的取值范围. 【题型7 导数中的新定义问题】 【例7】（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）若存在使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，不存在“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·河北衡水·期中）若函数的定义域为，且存在，使得，则称是的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·全国·阶段练习）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【变式7-3】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 知识点5 导数在解决实际问题中的应用 1．导数在解决实际问题中的应用 (1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解. (2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果. (3)利用导数解决实际问题的一般步骤 【题型8 导数在实际问题中的应用】 【例8】（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式8-1】（25-26高三上·河北·阶段练习）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（    ）（参考数据：，） A．0.32元 B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元 【变式8-3】（2025高三·全国·专题练习）某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $