专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，，于点B，且，交CB的延长线于点E，则的面积为（    ） A．18 B．9 C．6 D．4.5 例2（24-25八年级上·湖南永州·期末）小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是 米． 例3（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，且，则收购站应建在离点多远处？ 例4（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， (1)如图1，为上一点，，．求证：； (2)如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 例5（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）在中，三点都在直线上，且，其中． (1)如图1，当时，求出线段之间的数量关系； (2)如图2，当时，若，延长，交直线于点，求的面积． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 例4（25-26八年级上·河北廊坊·月考）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第60页有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，，，求的长．” (1)琪琪通过分析，得到下面的解题思路：利用“角角边”证得与全等，进而得出，，最后求得的长为_____； (2)类比探究：如图2，点，在的边，上，点，在内部的射线上，，分别是，的外角，已知：，．求证：； (3)拓展应用：如图3，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，将沿点逆时针旋转得到．请直接写出线段，，之间的数量关系__________． 例5（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，是以的顶点为端点的一条射线，，，分别是射线上的两点，连结，． (1)如图1，若，，，求证：． (2)如图2，若，请判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点，以下结论不正确的是（   ） A． B．当为的中点时， C．若，则 D．当时， 2．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 3．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）． A． B．8 C． D． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，中，，则x的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．2.5 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，于点D，于点E，，则 ． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则 ． 10．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在上，，若，，则等于 ． 11．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 13．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，中，，延长到点，使，作射线于点，并在射线上截取，连接．猜想与的数量关系和位置关系，并证明． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，若，，则______． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，猜想的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，在中，，，中，，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，的面积为______． 15．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）已知：如图，是等腰直角三角形，直线经过点，直线，直线，垂足分别为． (1)求证：； (2)探究与的数量关系，并证明你的结论． 16．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 17．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； 【变式运用】（3）如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； 【拓展迁移】（4）如图5，在中， ，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 18．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知：，，，，垂足分别为点D，点E． (1)如图1，①线段和的数量关系是________； ②请写出线段，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，请直接写出线段，，之间的数量关系． 19．（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 21．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 22．（25-26八年级上·全国·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．已知在 中，，，在中，，，并提出了相应的问题． (1)【发现】如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ，，，求 的长．请补全下面小芳的解题过程． 解：∵，∴． ∴，∴． (2)【类比】如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，过点 作，垂足为点 ．猜想、、 之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，若 ，，，连结．请直接写出的面积． 23．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24．（25-26八年级上·河南漯河·阶段练习）在中，，，，三点都在直线上，． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为：______________，与的数量关系为____________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为（s）．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 25．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 8 12 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（25-26八年级上·山西大同·期中）如图，在中，，，于点B，且，交CB的延长线于点E，则的面积为（    ） A．18 B．9 C．6 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为； 故选D． 例2（24-25八年级上·湖南永州·期末）小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是 米． 【答案】26 【分析】本题考查全等三角形的应用；由题意可得，从而得出对应边，最后得出结果. 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 故答案为：26． 例3（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，且，则收购站应建在离点多远处？ 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，可利用证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵、两村到收购站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：收购站应建在离点． 例4（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）几何世界就像一场探险，而“转化思想”就是你手中最明亮的那盏灯．请用“转化”的眼光去解决以下问题， (1)如图1，为上一点，，．求证：； (2)如图2，，，，的延长线交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）以及利用转化思想构造全等三角形是解题的关键． （1）通过角度关系推导角相等，再结合已知的直角和边相等，利用判定三角形全等； （2）通过作辅助线构造全等三角形，先证，再证，从而推导出与的数量关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：，证明如下： 过点作，交的延长线于点， 同理（1）可得， ， ， ， ， ∴， ． 例5（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）在中，三点都在直线上，且，其中． (1)如图1，当时，求出线段之间的数量关系； (2)如图2，当时，若，延长，交直线于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）结合以及三角形外角性质，得，又因为，即可证明，故，得出，即可作答． （2）同（1）证，可得，根据不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，可得，即可作答． 【详解】（1）解：的数量关系为：，过程如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：依题意，与（1）同理得， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴（同高，三角形的面积比等于底的比） ∴． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，是经过点的一条线段，且，在的两侧，于点，于点，若，，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，垂直定义，同角的余角相等，由，，得，通过同角的余角相等得，证明，所以，然后通过线段和差即可求解，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 例2（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再结合已知条件，可证明，得到，，从而可求出，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 例3（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图：过点B作于点E，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】解：如图：过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：18． 例4（25-26八年级上·河北廊坊·月考）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第60页有这样一道习题：“如图1，，，，，垂足分别为，，，，求的长．” (1)琪琪通过分析，得到下面的解题思路：利用“角角边”证得与全等，进而得出，，最后求得的长为_____； (2)类比探究：如图2，点，在的边，上，点，在内部的射线上，，分别是，的外角，已知：，．求证：； (3)拓展应用：如图3，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，将沿点逆时针旋转得到．请直接写出线段，，之间的数量关系__________． 【答案】(1)0.8 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据解题思路得到，，由求解即可； （2）由三角形的外角性质，结合已知条件得到，，然后证明得到，，进而可证得结论； （3）先得到，，再进行角度运算可得，然后证明得到，进而进行线段的和与差可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， 故答案为：0.8． （2）证明：，，， ，， 在和中， ， ，， ； （3）解：． 证明：依题意，， ，，又，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 例5（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，是以的顶点为端点的一条射线，，，分别是射线上的两点，连结，． (1)如图1，若，，，求证：． (2)如图2，若，请判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2),理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，同角的余角相等，三角形的外角的定义及性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）根据同角的余角相等得到，再利用“”证明即可； （2）类比于（1）证明，推出，进而代换，即可说明，，三条线段之间的数量关系； 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在与中， ， ； （2）解：，理由如下： ， ，即， ， ， 在与中， ， ； ， ， ． 1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点，以下结论不正确的是（   ） A． B．当为的中点时， C．若，则 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，由三角形的外角性质可判定；利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得到和的度数即可判定和；同理可证明，即可判定，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴，故选项正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴， 当为的中点时，， ∵， ∴，即，故选项正确，不合题意； 、若，则， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； 、当时，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故选项正确，不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（    ）分钟后，与全等． A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，运用分类讨论的思想.设运动x分钟后与全等，则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果. 【详解】解：∵于点A，于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，，， ∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述：运动4分钟后与全等. 故选：C. 3．（25-26八年级上·山东聊城·阶段练习）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出、，求出的长即可解答． 【详解】解：由题意可知：，， ， ． ， 在和中， ， ， ，， 、分别为和， ， ∵妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推， ， ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）． A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确添加辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点E作于点G，则，先证明得到，，则有，进而推出得到，再利用线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点E作于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰直角中，，点F为上一点，连接，过点C，B分别作于点D，交的延长线于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，中，，则x的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先判断出，再结合，，可判断，得出，从而根据，得出方程解出即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴x的值是3． 故选：B． 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，于点D，于点E，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，得出，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：1． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其证明方法是解题的关键． 根据题意可证 ，可得 ，再根据 ，由此即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 故答案为：2． 10．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在上，，若，，则等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．通过角度关系推导出三角形全等，再利用线段比例和全等性质求解的长度． 【详解】解：∵，且， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ， ∴（）． ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．过点E作于点H，先证明，得到，结合题意可推得，再证明，可得，即得答案． 【详解】解：过点E作于点H， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：5． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；过作于，过作于，由“三线合一”得，再由“”可判定，从而由全等三角形的性质得，再，即可求解；掌握性质及判定方法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 故答案为16． 13．（25-26八年级上·北京大兴·期中）如图，中，，延长到点，使，作射线于点，并在射线上截取，连接．猜想与的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 根据证明三角形全等即可． 【详解】，，理由如下： ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， ． 14．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，若，，则______． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，猜想的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，在中，，，中，，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，的面积为______． 【答案】(1)5 (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）首先证明，利用“”证明即可；由全等三角形的性质可得，据此求解即可； （2）首先证明，利用“”证明，进而可得，即可证明结论． （3）过点C作，交延长线于点于G，证明，求得，利用面积公式进而求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：5； （2）解：，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）解：如图3，过点C作，交延长线于点于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）已知：如图，是等腰直角三角形，直线经过点，直线，直线，垂足分别为． (1)求证：； (2)探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是解决本题的关键． （1）根据题意可得，再通过角的转化可得，则可以利用证明； （2）根据可得，进而即可得到解答． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，直线，直线， ∴， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，直线过点． (1)当时，如图1，分别过点，作于点，于点，求证：． (2)当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为t秒． ①___________，当在路径上时，___________，（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 【答案】(1)证明见解答过程 (2)①；；②当与全等时，秒或 5 秒或秒 【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，利用定理证明； （2）①由轴对称的性质可得出答案； ②动点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动，点沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】（1）证明：∵直线， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：①由题意得，， 则， 根据题意得， 由轴对称的性质可知，， ， 故答案为：． ②由轴对称的性质可知，， ， ， ∴当时，与全等， 当点沿路径运动时，， 解得，（不合题意）， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，， 解得，， 当点沿路径运动时，由题意得，． 解得，， 综上所述，当与全等时，秒或 5 秒或秒． 17．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； 【变式运用】（3）如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； 【拓展迁移】（4）如图5，在中， ，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明； （2）证明，，，得到； （3）过点作于点，证明，则，证明，则，即可得到； （4）为直角边，和 为直角边，，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ （4）当为直角边，时，如图，作，过点D作于点F， ∵， ∴， 由（1）同理可得到， ∴， ∴ ∴ 当为直角边，时，如图，作，过点D作于点F， ∵， ∴， 由（1）同理可得到， ∴， ∴ 综上可知，的面积为或． 18．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）已知：，，，，垂足分别为点D，点E． (1)如图1，①线段和的数量关系是________； ②请写出线段，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）①利用垂直证明即可； ②根据①中全等三角形的性质得到等边再进行等量代换； （2）证明，得到等边进行等量代换． 【详解】（1）解：①，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ②由①知， ，， 故线段，，之间的数量关系为； （2），， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ，， , 故线段，，之间的数量关系为． 19．（25-26七年级上·山东东营·期中）【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，请猜想线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； 【问题探究】 （2）如图2，在中，点为上一点，，，， ，求． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，为边上的高，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）7；（3）10或4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系即可得出结果； （2）证明，得到，根据线段的和差关系进行求解即可； （3）分和两种情况，分别构造一线三垂直全等模型，进行求解即可． 【详解】解：（1），证明如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵，是高， ∴，， ∴； 当是以为直角边的等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时，则，过点作，交的延长线于点，如图，则， 同（1）法可得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，，作，如图， 同（1）法可得：， ∴， ∴； 综上：的面积为或． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]；[模型应用]；[深入探究]见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 21．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析    （2），证明见解析    （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，即可； （2）利用证明，即可得出结论； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 22．（25-26八年级上·全国·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．已知在 中，，，在中，，，并提出了相应的问题． (1)【发现】如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作，垂足为点 ，过点 作，垂足为点 ，，，求 的长．请补全下面小芳的解题过程． 解：∵，∴． ∴，∴． (2)【类比】如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，过点 作，垂足为点 ．猜想、、 之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段 上，且顶点 在线段上时，若 ，，，连结．请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）过点 作 的延长线于点 由两个三角形全等的判定定理得到，从而，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：补全小芳的解题过程如下： 在 和中， ，，， ， ，， ． （2）、、 之间的数量关系是，理由如下 ， ． ， ， ． 在 和 中， ，，， ， ，． ， ． （3）解： 的面积为． 如图，过点 作 的延长线于点 ， ， ， ． ，， ， ， ． 在 和 中， ，，， ， ， ， ， 23．（24-25八年级上·山东德州·期末）【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【小题1】； 【小题2】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找全等三角形，利用全等三角形对应边相等找边之间的关系． 根据垂直的定义可得：，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得：，，从而可得； 根据，，，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； 解：， 理由如下， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ． 24．（25-26八年级上·河南漯河·阶段练习）在中，，，，三点都在直线上，． (1)若． ①如图1，若，则与的数量关系为：______________，与的数量关系为____________； ②如图2，猜想，与的数量关系并说明理由． (2)如图3，若，，点在线段上以2cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为（s）．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)， 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①通过垂直与等角关系证得，根据全等三角形的性质可得出结论； ②借助三角形内角和定理进行等角代换，得到，证明，再根据全等三角形的性质进行线段的等量代换即可； （2）假设存在，根据，分、两种情况讨论求出对应的、值． 【详解】（1）解：①，， ， ， ， 在和中， ， ，， 则与的数量关系为，与的数量关系为． ②， ， ， 在和中， ， ，， ， 故，与的数量关系为． （2）假设存在，使得与全等， 由于，则有、； 运动的时间为时，，， 当时， ，即， ，即， ，； 当时， ，即， ，即， ，； 故当和，与全等． 25．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3）解：，大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $