第五章 一元函数的导数及其应用（举一反三讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 平均变化率 1．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 2．（24-25高二下·四川·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西抚州·期末）若质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 题型2 利用导数的定义解题 1．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数在处的导数，则 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型3 函数图象与导函数的关系 1．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） ①        ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 5．（24-25高二下·广东梅州·期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 题型4 导数的运算 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数，则 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25高二下·广东惠州·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·重庆·期中）曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广西桂林·期末）函数在处切线的斜率是 ． 5．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围； (2)当时，求曲线过点的切线方程． 题型6 利用导数判断单调性、求单调区间 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 4．（24-25高二下·新疆·期末）函数的单调递减区间为 ． 5．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 题型7 由函数的单调性求参数 1．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 5．（2025高二下·河南南阳·专题练习）设函数和函数. (1)曲线在点处的切线与曲线相切于点， 求、的值； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 题型8 利用导数求函数的极值 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 4．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是 . 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数在处切线的方程； (2)求函数的极值． 题型9 利用导数求函数的最值 1．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）函数的最小值为（   ） A．-1 B．1 C． D． 3．（24-25高二下·陕西榆林·期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为 ． 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在上的最大值、最小值. 题型10 导数在实际问题中的应用 1．（24-25高二下·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（    ）（参考数据：，） A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元 4．（24-25高二下·广东广州·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 ． 5．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设． (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 平均变化率 1．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率公式计算可得. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A. 2．（24-25高二下·四川·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由平均速度的定义求解即可. 【解答过程】由题意可得平均速度是. 故选：A. 3．（24-25高二下·江西抚州·期末）若质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出导函数即可求瞬时速度，再由求出平均速度即可得解. 【解答过程】由题得，所以该质点在时的瞬时速度为， 该质点从到这两秒内的平均速度为. 故选：A. 4．（24-25高二下·全国·随堂练习）如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【答案】 【解题思路】根据图象求解函数表达式，即可由平均变化率的计算公式求解. 【解答过程】由图可知在上的函数表达式为，即可， 故当时，， 在上的函数表达式为，即可， 当 在区间上的平均变化率为， 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)14m/s 【解题思路】（1）根据平均速度的计算公式计算； （2）利用（1）代入求解即可； （3）求平均速度在时的极限即可. 【解答过程】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 题型2 利用导数的定义解题 1．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义计算进行求解. 【解答过程】由， 则. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数与极限的定义求解． 【解答过程】， 所以， 故选：D. 4．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数在处的导数，则 ． 【答案】 【解题思路】由导数的定义求解即可. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【解答过程】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 题型3 函数图象与导函数的关系 1．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【解答过程】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B. 2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【解答过程】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义以及两点斜率公式即可求解. 【解答过程】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D. 4．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） ①        ② ③    ④ A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【解题思路】结合函数的图象，利用导数的几何意义和割线的倾斜角与斜率的关系逐一判断即得.， 【解答过程】 对于①和②，分别过点作函数的图象的切线， 由图易得，直线的倾斜角满足，故直线的斜率， 根据导数的几何意义，可得，即②正确，①错误； 对于③，过点作直线，则直线的斜率为， 由图知，直线的倾斜角满足，故，即，故③正确； 对于④，如图，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，连接， 则，于是直线的斜率， 由图知直线的倾斜角满足，故，即，故④正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·广东梅州·期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出函数在处的切线，根据导数的几何意义即可求解. 【解答过程】作出函数在处的切线，如图所示.根据导数的几何意义及图中切线的斜率可知. 故选：B. 题型4 导数的运算 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由导数的运算公式及简单复合函数求导法则逐个判断即可. 【解答过程】对于A：，错误， 对于B：，错误， 对于C：，正确， 对于D：，错误， 故选：C. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数 ，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【解题思路】对求导，注意是常数，将代入导函数中，可求得，进而可求． 【解答过程】因为函数 ，所以， 令，可得， 所以，所以． 故选：B. 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值，逐一验证各选项的正确性. 【解答过程】选项A: ，故A错； 选项B: ，故B对； 选项C：，故C对； 选项D: ，故D对. 故选：A. 4．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】 【解题思路】求导赋值得即可得，，代入求值即可. 【解答过程】因为，所以， 令，可得， 解得，所以，， 所以. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】由基本初等函数的导数公式结合导数的依次运算可得. 【解答过程】（1） ． （2） ． （3） ． （4）． （5）． 题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【解答过程】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：C. 2．（24-25高二下·广东惠州·期中）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】曲线在处的切线的斜率就等于函数 在处的导数，求出函数 的导数，可得切线倾斜角的正切值等于，由此求得倾斜角的大小． 【解答过程】因为，所以，故． 设切线的倾斜角为，则，又，所以， 故选：． 3．（24-25高二下·重庆·期中）曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将函数求导，代入即得切线的斜率. 【解答过程】由题意得， 则所求切线的斜率为. 故选：A. 4．（24-25高二下·广西桂林·期末）函数在处切线的斜率是 ． 【答案】3 【解题思路】根据导函数的几何意义，求出在曲线上一点的切线的斜率. 【解答过程】由题意得，则， 在处切线的斜率， 故答案为：3. 5．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围； (2)当时，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1) (2)或． 【解题思路】（1）求出函数的导数，由解不等式得出结果. （2）分成点为切点和不是切点两种情况分别求解切线方程. 【解答过程】（1）由题意可得． 因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立， 即恒成立，则， 解得，即a的取值范围是． （2）当时，，则． 当是切点时，所求切线斜率， 则所求切线方程为． 当不是切点时，设所求切线与曲线的切点为， 由导数的几何意义可得， 整理得，即， 解得或(舍去)， 则切点，所求切线斜率，. 故所求切线方程为． 综上，所求切线方程为或． 题型6 利用导数判断单调性、求单调区间 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解答过程】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 2．（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【解答过程】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【解题思路】利用导数，再进行赋值求解，然后根据导数的正负来求单调区间即可． 【解答过程】求导得：，再令得： ， 再由，令得; ，联立上两式可得：， 故， 由，满足解得：或， 所以的单调递增区间为，， 故选：B． 4．（24-25高二下·新疆·期末）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解题思路】根据导数正负情况即可得解. 【解答过程】由题可得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型7 由函数的单调性求参数 1．（2025高二下·全国·专题练习）已知函数在单调递增，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数求出函数的单调增区间为，利用集合关系列不等式求解即可. 【解答过程】由得，令，得． 当时，，所以的单调增区间为， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【解答过程】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【解答过程】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 4．（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】求得导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，求得的取值范围. 【解答过程】∵，∴，     ∵函数在区间上单调递增， ∴在区间上恒成立， 由于在区间上单调递增， ∴必须且只需 解得， 故答案为：. 5．（2025高二下·河南南阳·专题练习）设函数和函数. (1)曲线在点处的切线与曲线相切于点， 求、的值； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用导数的几何意义可求出曲线在点处的切线方程为，利用导数的几何意义可得出，即可求得实数、的值； （2）分析可知，对任意的恒成立，设，可知对任意的恒成立，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解答过程】（1）解：因为，则， 所以，，， 故曲线在点处的切线方程为， 又因为与曲线相切于点，且， 所以，，解得. （2）解：因为函数在区间内单调递增， 当时，恒成立， 因为，故当时，恒成立， 所以，，解得或. 而当或时，均不是常函数， 故若函数在区间内单调递增，则的取值范围为或. 题型8 利用导数求函数的极值 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解答过程】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【解题思路】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【解答过程】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A. 4．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是 . 【答案】4 【解题思路】由题意求出函数的解析式，然后利用导数分析单调性求解极值即可. 【解答过程】定义域为， ， 由题意得， 故， 令得，或，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数在处切线的方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为6，极小值为26 【解题思路】（1）对函数求导，求出切线的斜率和切点的坐标，即可求出切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，判断函数的单调性，确定函数的极值. 【解答过程】（1）因为函数， 所以求导得. 所以.又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）因为. 令，解得或. 当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值为，极小值为. 题型9 利用导数求函数的最值 1．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导，得到函数单调性，故. 【解答过程】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）函数的最小值为（   ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】由不等式，当且仅当时等号成立，结合指数、对数运算可得可得解. 【解答过程】证明：令，所以， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 即，即，当且仅当时等号成立. ， 由（当且仅当时等号成立）， （令，则在上单调递增， 又因为，， 所以在上有唯一解.） 所以的最小值为1. 故选：. 3．（24-25高二下·陕西榆林·期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】先利用导数确定函数的单调性，从而确定，然后再利用导数确定的最大值. 【解答过程】因为，所以的定义域为，， 当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意； 当时，令得，此时单调递减， 令得，此时单调递增， 所以当时，取得最小值，即， ， 令得，此时单调递增，令得，此时单调递减， 所以当时，取得最大值，即. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值. 【解答过程】由题意，， 所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增. 又，， 所以，函数在区间上的最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. (3)最大值为40，最小值为. 【解题思路】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【解答过程】（1）因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. （2）由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. （3）由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 题型10 导数在实际问题中的应用 1．（24-25高二下·福建福州·期中）一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒容积最大时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】由题意可得，利用导数求解即可. 【解答过程】解：由题意可知此容器为长方体，底面为正方形，边长为，高为， 所以， 则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以当时，取最大值. 故选：B. 2．（24-25高二下·广西·期中）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为（    ）万条时，该软件能获得最高收益. A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【解题思路】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【解答过程】设收益为元，由题意， 则，， 当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为19万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C. 3．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）网购已成为人们习以为常的生活方式，大量的网购增加了人们对快递的需求，快递量几何级增长，快递包装箱的消费量也十分惊人，瓦楞纸板是最主要的快递包装材料，如何使用更少的纸板来包裹更多的物品，这对于环境保护和商家的利益都是非常重要的问题．现某商家需设计一体积为的纸箱．要求纸箱底面必须为正方形，为了保护易碎的商品，纸箱的底面和顶面必须用双层瓦楞纸板制成．已知瓦楞纸板的市场价格大约为1元/，则一个纸箱的成本最低约为（    ）（参考数据：，） A．0.32元． B．0.44元 C．0.56元 D．0.64元 【答案】C 【解题思路】设该纸箱底面边长为a米，侧棱长为h米，写出成本表达式，利用导数即可求出其最小值. 【解答过程】该纸箱为正四棱柱，设其底面边长为a米，侧棱长为h米， 则纸箱的体积，表面积， 成本为， 则，令，得， 则．当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，P有最小值， 所以（元）， 故选：C． 4．（24-25高二下·广东广州·期末）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】依题意方盒的底面边长为 的正方形，高为，即可求出的取值范围，则无盖方盒的容积为，，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值. 【解答过程】依题意方盒的底面边长为 的正方形，高为， 则，即， 所以无盖方盒的容积为，， 则， 令，解得或； 令，解得． 因为函数的定义域为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，所以， 即该方盒容积最大为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设． (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】(1) (2)；. 【解题思路】（1）设包装盒的底面边长为，高为，将、用表示，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值； （2）求得关于的函数表达式，利用导数法可求得的最大值及其对应的值，进而代入计算得出高及底面边长的比值. 【解答过程】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则由题意可得，，，其中， 所以， 因此，当时，取得最大值； （2）根据题意，由（1）有， ，由得，（舍）或. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；. 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值. 此时包装盒的高与底面边长的比值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $