精选母题第7讲：一元一次方程的10种应用 2025-2026学年苏科版七年级上学期数学精选母题系列

Xue 2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第7讲：一元一次方程的10种应用 母题1：古代问题 “鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 名师点拨 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 变式1．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 变式2．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 变式3. 《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸） 变式4. 在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 母题2：销售问题 春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 名师点拨 【答案】(1)60元 (2)120个 【知识点】有理数除法的应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 变式1．某合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元，种水果收购单价为15元． (1)，两种水果各购进多少千克？ (2)已知种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 变式2．某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． (1)国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． (2)若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 变式3. 小区旁边的联家超市“双十一”当天对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 李明两次去该超市购物，分别付款198元和554元．若张亮现在去一次购买李明分两次购买的同样多的物品，他比李明少付款多少元？ 变式4. 小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 母题3：方案问题 某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 名师点拨 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的4人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 变式1．国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 变式2．光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 变式3．在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 变式4．某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 母题4：收费问题 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 名师点拨 【答案】(1)， (2)吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月： ，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费： (元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 变式1．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 变式2．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 变式3．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 变式4．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 母题5：行程问题 育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 名师点拨 【答案】(1)；30 (2)联络员第一次追上前队用了小时 (3)联络员第一次与后队相遇用了小时 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）根据两队行驶的速度列出算式求出后队第一次追上前队所用时间即可；根据速度、路程和时间关系，求出联络员行驶的路程即可； （2）设联络员第一次追上前对用了x小时，根据联络员第一次追上前队需要行驶的路程与前队行驶的总路程相等，列出方程，解方程即可； （3）设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意列出方程，求出y，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 后队第一次追上前队用的时间为： （小时）， 后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为：（千米）， （2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得： ， 解得，， 即联络员第一次追上前队用了小时； （3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得： ， 解得：， ∴， 即联络员第一次与后队相遇用了小时． 变式1．一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 变式2．甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 变式3．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 变式4．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 母题6：工程问题 一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 名师点拨 【答案】甲单独完成还需要4天半完成． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲单独完成还需要x天，根据题意，列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ，解得， 答：甲单独完成还需要4天半． 变式1．一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，丙队单独做天可以完成．如果先由三队合作天，剩下的由甲队单独完成，那么甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 变式2．甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 变式3．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 变式4．列方程解下列问题： 某科技公司研发了阿尔法和贝塔两款文本处理软件．第一次测试中，使用这两款软件在标准模式下交替处理一份78000字的文本，阿尔法每秒钟处理的文本字数比贝塔少60字，贝塔先处理200秒，然后阿尔法加入贝塔一起再共同处理了300秒后完成这次测试． (1)求在标准模式下，阿尔法和贝塔每秒钟处理的文本字数分别为多少字？ (2)第二次测试中，阿尔法在处理文本速度不变的情况下，处理时间比它在第一次测试中所用时间增加了，同时由于贝塔软件进入节能模式，处理文本的速度下降为标准模式中的，处理时间比它在第一次测试中所用时间增加了，第二次测试中两款软件处理的文本总字数比第一次测试增加了，求a的值． 母题7：日历问题 如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 名师点拨 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍； (2)成立，5x； (3)不能是． 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 【详解】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 变式1．观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 变式2．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 变式3．如图，表中给出的是2024年11月的月历，任意选取“H”型框，框中含有7个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为x，则： (1)求这7个数的和为多少？ (2)这张月历中这7个数的和可能是49吗？说明理由． 变式4．将连续的奇数1，3，5，7，…，排成如下的数表：十字框框出5个数（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 母题8：配套问题 某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 名师点拨 【答案】名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排名工人生产螺栓，安排名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 变式1．在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 变式2．在一次实践活动中，老师组织七年级某班的学生用硬纸板制作圆柱形收纳盒，已知该班共44名学生，其中女生比男生少2人，在限定时间内每名学生可剪出筒身50个或剪出筒底120个． (1)求该班男、女生各有多少人？ (2)若要求一个筒身配两个筒底，为了使限定时间内剪出的筒身与筒底恰好配套，求老师应该分配多少名学生剪筒底？ 变式3．北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 变式4．某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 母题9：比例问题 如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 名师点拨 【答案】 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得： ， 解得. 答：横幅字距为． 变式1．列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 变式2．在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 变式3．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 变式4．为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 母题10：数轴问题 如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 名师点拨 【答案】(1)30，40 (2)15秒或5秒 (3)14秒或10秒 【知识点】绝对值方程、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设数轴上点B对应的数是x，根据点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N的距离为5，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N分别到点B的距离相等，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设数轴上点B对应的数是x， 根据题意得：， 解得：， ∴， 数轴上点B对应的数是30，点B到点A的距离是 故答案为：30，40； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过15秒或5秒，点M，N的距离为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过14秒或10秒，点M、N分别到点B的距离相等． 变式1．已知，点在数轴上对应的数为，其满足，点表示原点，分别从出发沿数轴同时向负方向匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________， ___________； (2)设运动时间为秒，当为何值时，恰好有； 变式2．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 变式3．点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，______是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是______（用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 变式4．【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：． 【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6； ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ Xue 2025—2026学年七年级上学期数学精选母题系列 精选母题第7讲：一元一次方程的10种应用 母题1：古代问题 “鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 名师点拨 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 变式1．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 【答案】天 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天，根据“快马追上慢马时，两匹马所走的路程相同”列出方程求解即可．正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】解：设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天， 依题意得：， 解得：， 答：快马天可以追上慢马． 变式2．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【答案】84岁 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 变式3. 《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸） 【答案】6.5尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据拉直后绳子还多四尺五寸，将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设木头长x尺， 根据题意，得， 解得， 答：木头长6.5尺． 变式4. 在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 【答案】(1) ，， (2) 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程．熟练掌握列代数式，解一元一次方程是解题的关键． （1）根据人数，车数的关系列代数式和方程即可； （2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得车数为辆；由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得车数为辆；然后根据车辆数量相等列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为人； 由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为人； 根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为； 故答案为：； （2）解：设乙小组共有人， 依题意得，． 母题2：销售问题 春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 名师点拨 【答案】(1)60元 (2)120个 【知识点】有理数除法的应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 变式1．某合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元，种水果收购单价为15元． (1)，两种水果各购进多少千克？ (2)已知种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 【答案】(1)种水果购进，种水果购进 (2)种水果的销售单价为元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设种水果购进，则种水果购进，根据该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设种水果的销售单价为元，根据种水果运输和仓储过程中质量损失，要使种水果获得的利润，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设种水果购进，则种水果购进． 根据题意，得， 解得，． 故种水果购进，种水果购进． （2）解：设种水果的销售单价为元． 根据题意，得，解得． 故种水果的销售单价为元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 变式2．某商厦以每件80元的价格购进某种商品100件，提高50%后标价．在国庆假期期间，该商厦用打折销售的方式，回馈顾客，活动结束后经统计，有90件商品以每件赚4元的价格售出． (1)国庆假期期间，商厦销售该商品时，打_______折． (2)若商厦在销售完这批商品后想获利8%，则剩余的商品应打多少折？ 【答案】(1)七； (2)剩余的商品应打九折． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题涉及商品的进价、标价、折扣以及利润的计算，需要根据这些量之间的关系，通过设未知数建立方程来求解折扣． 【详解】（1）解：设国庆假期期间打x折 商品进价为每件80元，提高后的标价为元 打x折后的售价为元 已知有90件商品以每件赚4元的价格售出，根据售价-进价=利润， 可得： 化简方程： 移项：，即 解得，所以打7折． （2）解：设剩余的商品应打x折． 由题意，得， 解得． 故剩余的商品应打九折． 【点睛】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，掌握根据商品销售中的进价、标价、折扣、利润之间的关系，建立方程求解折扣是解题的关键． 变式3. 小区旁边的联家超市“双十一”当天对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠． 李明两次去该超市购物，分别付款198元和554元．若张亮现在去一次购买李明分两次购买的同样多的物品，他比李明少付款多少元？ 【答案】少付款39.6元或22元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】先分析李明两次购物的原价情况，再计算张亮一次购买的付款金额，最后与李明两次付款总和比较得出少付的金额．本题主要考查了一元一次方程的应用及分段计价问题，熟练掌握根据不同价格区间列方程求解是解题的关键． 【详解】解：因为，所以李明付款元所购商品原价有两种情况： 原价为元，原价为元． 因为，设李明付款元购买的实际价格为元，则： ， 张亮一次购买的实际价值为元或元． 当实际价值为元时，付款： （元）， 少付款：（元） 当实际价值为元时，付款： （元）， 少付款：（元）， 答：张亮决定一次去购买李明分两次购买的同样多的物品，比原来少付款39.6元或22元 变式4. 小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)甲超市付款264元，乙超市付款270元 (2)元 (3)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：甲超市付款元，乙超市付款元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时， 需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品， 需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省元． 母题3：方案问题 某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 名师点拨 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 变式1．国庆期间，七年级（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩，如图是购买门票时，明明与他爸爸的对话，试根据图中的信息，解答下列问题： (1)明明他们一共去了几个成人?几个学生? (2)请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱? (3)购完票后，明明发现七年级（2）班的张小涛等8个学生和他们的12个家长共20人也来购票，请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)学生人数为4人，成人人数为8人 (2)购团体票更省钱，理由见解析 (3)买16人的团体票，再买4张学生票 【知识点】有理数乘法的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设成人人数为x人，则学生人数为人，由题中所给的票价单可得出关于x的一元一次方程，解此方程即可得出成人与学生各有多少人数； （2）已知购个人票的价钱，再算出购团体票的价钱，哪个更低哪个就更省钱； （3）由第二问可知购团体票要比购个人票便宜，再算出购16张团体票和4张学生票的价钱与全部购团体票的价钱比较，即可得最省的购票方案． 【详解】（1）解：设成人人数为x人，则学生人数为人，则： 由题中所给的票价单可得： 解得： 学生人数为人，成人人数为8人． 答：学生人数为4人，成人人数为8人． （2）如果买团体票，按16人计算，共需费用： 元 所以，购团体票更省钱． （3）若成人和学生分开买票，费用：（元）， 若购买团体票，费用：（元） 最省的购票方案为：买16人的团体票，再买4张学生票． 变式2．光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 【答案】(1)一班购票需要800元 (2)二班有44人 (3)三班有45人 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据方案一列式计算即可； （2）设2班有x名学生，根据购票费用为702元，列出一元一次方程，解方程即可； （3）根据3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：一班购票需要800元； （2）解：设二班有x人， 由题意，得 解得 答：二班有44人； （3）解：由题意，得 解得， 答：三班有45人． 变式3．在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生； (2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，读懂题意、列出方程和算式是解题的关键． （1）设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）购买15张团体票需元，再与350比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得：，解得：， ∴（人）． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买15张团体票，需（元）， ∵， ∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱． 变式4．某体育用品店出售某品牌的篮球和羽毛球．已知羽毛球的标价为每个5元，篮球的标价为每个40元．节假日期间，为了让利顾客，该店推出两种优惠方案： 甲方案：篮球和羽毛球都按标价打九折出售． 乙方案：买一个篮球送一个羽毛球． 某顾客现要购买40个篮球和a个羽毛球． (1)当时，分别计算按甲、乙两种方案购买，该顾客需付款多少元？ (2)购买羽毛球多少个时，两种方案的收费相同？ 【答案】(1)甲方案1890元，乙方案1900元 (2)购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】该题考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）分别根据甲方案和乙方案的优惠解答即可； （2）根据“两种方案的收费相同”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：甲方案需付款：； 乙方案需付款：； （2）解：， 解得：， 答：购买羽毛球80个时，两种方案的收费相同． 母题4：收费问题 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 名师点拨 【答案】(1)， (2)吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 变式1．某省公布的居民用电阶梯定价听证方案如下：     第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档次提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量度，则需交电费的计算过程如下 元． (1)如果按此方案计算，小华家5月份的电费为元，请你求出小华家5月份的用电量； (2)依此方案，请你用学过的数学方法说明：若小华家某月的电费为元，则小华家该月用电量属于第几档？ 【答案】(1)小华家5月份的用电量是度 (2)当时，小华家该月用电量属于第一档；当时，小华家该月用电量属于第二档；当时，小华家该月用电量属于第三档． 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示用电量在某一档时的电费是解题的关键． （1）先计算出用电度和用电度的电费分别为元和元，可知小华家月份的用电量大于度而小于度，设小华家月份的用电量是度，可列方程，解方程求出的值即可； （2）由（1）可知，，则该月用电量为第一档；，则该月用电量为第二档；，则该月用电量属于第三档，由此即可确定小华家该月用电量属于第几档． 【详解】（1）解：元，元， 用电度和用电度的电费分别为元和元， ， 小华家月份的用电量大于度而小于度， 设小华家月份的用电量是度， 根据题意得， 解得， 答：小华家月份的用电量是度． （2）由（1）可知，当时，小华家该月用电量属于第一档； 当时，小华家该月用电量属于第二档； 当时，小华家该月用电量属于第三档． 变式2．为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1)20 (2)44 (3) (4)或元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查根据实际问题列出代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出不同情况下的代数式是解题关键． （1）根据题意，的用水应该分两部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （2）根据题意，的用水应该分三部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （3）根据题意可得该户居民4月用水超出，设该户居民4月用水，根据题意，列出方程，即可求解； （4）根据题意，分两种情况：按照相应的收费标准列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民2月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：20 （2）解：该户居民3月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：44 （3）解：∵用水，则应交水费∶元元， ∴该户居民4月用水超出， 设该户居民4月用水，根据题意得： ， 解得：， 即该户居民4月用水； 故答案为：； （4）解：该户居民5月份用水， 当时，则5月份应交元； 当时，则5月份应交元； 综上所述，5月份应交水费元或元． 变式3．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 变式4．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)小王家这个月用水40吨 (3)小王家11月份用水13吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意、正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水x吨，然后根据题意、列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水m吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得：， ∴，解得：． （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水x吨， 由题意，得，解得：． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水m吨，则10月份用水吨． ①当，由题意可得： ，解得：． ②当，由题意可得： ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上，小王家11月份用水13吨． 母题5：行程问题 育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 名师点拨 【答案】(1)；30 (2)联络员第一次追上前队用了小时 (3)联络员第一次与后队相遇用了小时 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）根据两队行驶的速度列出算式求出后队第一次追上前队所用时间即可；根据速度、路程和时间关系，求出联络员行驶的路程即可； （2）设联络员第一次追上前对用了x小时，根据联络员第一次追上前队需要行驶的路程与前队行驶的总路程相等，列出方程，解方程即可； （3）设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意列出方程，求出y，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 后队第一次追上前队用的时间为： （小时）， 后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为： （千米）， （2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得： ， 解得，， 即联络员第一次追上前队用了小时； （3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得： ， 解得：， ∴， 即联络员第一次与后队相遇用了小时． 变式1．一队学生从学校出发去部队军训，以5的速度行进4.5时，一名通讯员以14的速度骑自行车从学校出发追赶队伍，他在离部队6处追上了队伍，求学校到部队的路程． 【答案】学校到部队的路程是13千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系列出方程． 设学校到部队的路程是x千米，根据追及时间建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设学校到部队的路程是x千米， 根据题意得：， 解得， 答：学校到部队的路程是13千米． 变式2．甲、乙两人同时从地出发去地，甲骑自行车，速度是，乙步行，速度为．若甲出发后在路上遇到熟人交谈了半小时后，仍以原速前进地，结果甲、乙两人同时到达地，问、两地的路程是多少？ 【答案】、两地的路程是 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设、两地的路程是，根据题意列出一元一次方程，求解即可．理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设、两地的路程是， 由题意可得：， 解得：， 答：、两地的路程是． 变式3．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【答案】(1)车出发 小时相遇 (2)车出发小时或 小时后两车相距千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设车出发后 小时相遇，根据两车相向而行，车的总路程为千米，列出一元一次方程； （2）设车出发 小时后两车相距千米，根据题意，分两种情况列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车出发后 小时相遇 则 解得： 答：车出发后小时相遇 （2）解：设车出发 小时后两车相距千米 ① 解得： （小时） ② 解得：（小时） 答：车出发小时或 小时后两车相距千米 变式4．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离火车站10千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有28分钟．这时唯一可以利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时． (1)当小汽车出现故障时，乘这辆车4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站，问这四个人步行的距离为多少千米？这8个人全部到达火车站需要多少分钟？ (2)再设计一种方案，使得8人全部到达火车站的用时小于（1）中的方案，并通过计算说明． 【答案】(1)千米，分钟 (2)见解析 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，在此题中，要联系生活实际．同时要会用线段图在草稿上画出示意图，找到正确的等量关系列出方程． （1）设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米，根据路程÷速度=时间列方程求解； （2）要想8人都能赶上火车，应考虑尽量让车走的同时，人也在走，先用小汽车把第一批人送到离火车站较近的某一处，让第一批人步行，与此同时第二批人也在步行中；接着小汽车再返回接第二批人，使第二批人与第一批同时到火车站，据此求解． 【详解】（1）解：设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为千米， 根据题意得， 解得． （小时）， （分钟）， 答：这四个人步行的距离为千米；这8个人全部到达火车站所需时间为分钟． （2）解：方案：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内4个人送到某地方后，让他们下车步行，小汽车立即返回接出现故障汽车内的4个人，使得两批人员最后同时到达车站．两批人员步行的距离相同．如图，D为无故障汽车人员下车地点，C为故障汽车人员再次上车地点． 设，根据题意得， 解得． 所以（小时）， 所以（分钟）． 因为， 所以此方案可行． 母题6：工程问题 一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 名师点拨 【答案】甲单独完成还需要4天半完成． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲单独完成还需要x天，根据题意，列出一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲单独完成还需要4天半． 变式1．一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，丙队单独做天可以完成．如果先由三队合作天，剩下的由甲队单独完成，那么甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 【答案】甲队还需要天才能完成这项工程 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲队还需要天才能完成这项工程，三队合作天完成的工作量是，甲队单独完成的工作量为，根据最后完成了总工作量，可列方程为，解方程即可求出甲队单独工作的时间． 【详解】解：设甲队还需要天才能完成这项工程， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：甲队还需要天才能完成这项工程． 变式2．甲、乙两公司一起竞标了一项工程．若甲、乙两公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少10天． (1)甲、乙两公司合作需要多少天完成？ (2)若甲、乙两公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ 【答案】(1)12 (2)5 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】(1)设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据“甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用天”列出方程，求出的值，即可求出两公司合作的天数； (2)设乙公司还需要天可以完成此工程，利用“甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量=工程总量”，可列出关于的一元一次方程，求出天数即可. 【详解】（1）解：设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天． 根据题意，得：， 解得， 则，所以（天）． 答：甲、乙两公司合作需要12天完成． （2）解：设乙公司还需要天可以完成此工程． 根据题意，得：， 解得． 答：乙公司还需要5天可以完成此工程． 变式3．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 变式4．列方程解下列问题： 某科技公司研发了阿尔法和贝塔两款文本处理软件．第一次测试中，使用这两款软件在标准模式下交替处理一份78000字的文本，阿尔法每秒钟处理的文本字数比贝塔少60字，贝塔先处理200秒，然后阿尔法加入贝塔一起再共同处理了300秒后完成这次测试． (1)求在标准模式下，阿尔法和贝塔每秒钟处理的文本字数分别为多少字？ (2)第二次测试中，阿尔法在处理文本速度不变的情况下，处理时间比它在第一次测试中所用时间增加了，同时由于贝塔软件进入节能模式，处理文本的速度下降为标准模式中的，处理时间比它在第一次测试中所用时间增加了，第二次测试中两款软件处理的文本总字数比第一次测试增加了，求a的值． 【答案】(1)阿尔法每秒钟处理的文本字数为60字，贝塔每秒钟处理的文本字数为120字 (2)25 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设阿尔法每秒钟处理的文本字数为x字，贝塔每秒钟处理的文本字数为字，根据处理一份78000字的文本，贝塔先处理200秒，然后阿尔法加入贝塔一起再共同处理了300秒后完成，列出方程，求解即可； （2）根据第二次测试中两款软件处理的文本总字数比第一次测试增加了，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设阿尔法每秒钟处理的文本字数为x字，贝塔每秒钟处理的文本字数为字，根据题意，得 解得： ∴ 答：阿尔法每秒钟处理的文本字数为60字，贝塔每秒钟处理的文本字数为120字． （2）解：根据题意，得 解得：， 答：a的值为25． 母题7：日历问题 如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 名师点拨 【答案】(1)带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； (2)成立，； (3)不能是． 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 【详解】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 变式1．观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分的个数，你知道他们之间有什么关系吗？写出你认为正确的一个结论； (2)小强一家外出游玩了天，这天的日期之和是，小强一家几号外出的？ (3)像上面第（1）题那样现在要用一个方框去框该月历上的九个数，这九个数的和可能是吗？如果不能，请说明理由；如果能，请求出框出的这九个数． 【答案】(1)上下相差，左右相差 (2)小强一家是号外出 (3)能，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出数字排列规律． （1）通过观察发现：上下相差；左右相差； （2）由已知直接表示出这个数和等于，即可求出； （3）分别表示出这个数，根据这个数的和是，得出方程，解出的值后判断即可． 【详解】（1）解：由图形可得：上下相差，左右相差； （2）解：设小强一家号外出， 由题意得：， 解得：， 答：小强一家是号外出； （3）解：设最中间的一个数为， 则这九个数可表示为：，，，，，，，，， 由题意得，， 解得：， 这个数的和可能是，这9个数分别为12，13，14，19，20，21，26，27，28． 变式2．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用)、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式； （1）找到表格中的，结合表格可得答案； （2）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：用长方形框框出的四个数中左上角的数为18， 右下角的数为，这四个数之和为. （2）解：记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． （3）解：不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 变式3．如图，表中给出的是2024年11月的月历，任意选取“H”型框，框中含有7个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为x，则： (1)求这7个数的和为多少？ (2)这张月历中这7个数的和可能是49吗？说明理由． 【答案】(1) (2)这张月历中这7个数的和不可能是49 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外6个数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外6个数，再将7个数相加，即可用含的代数式表示出这7个数的和； （2）假设这张月历中这7个数的和能是49，根据这7个数的和是49，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可得出，不符合题意，进而可得出假设不成立，即这张月历中这7个数的和不可能是49． 【详解】（1）解：∵“H”型框中的正中间的数为， ∴另外6个数分别为， ∴这7个数的和为； （2）解：这张月历中这7个数的和不可能是49，理由如下： 假设这张月历中这7个数的和能是49， 根据题意得：， 解得：， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， ∴这张月历中这7个数的和不可能是49． 变式4．将连续的奇数1，3，5，7，…，排成如下的数表：十字框框出5个数（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 【答案】(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍 (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍 (3) (4)这5个数分别为393、403、405、407、417 【知识点】数字类规律探索、日历问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用 【分析】本题主要考查列代数式、数字的规律及一元一次方程的应用，根据数列的构成特点得出5个数之间的关系，列出方程依据条件取舍是解题的关键． （1）求出这5个数的和即可得； （2）根据表中的数，易发现另外的四个数中，上下的数相差是12，左右的数相差是2．根据这一关系进行表示各个数，再求和； （3）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得； （4）根据五个数的和为2024或2025列方程求解后，依据数列为奇数列即可判断． 【详解】（1）解：， 十字框框住的5个数的和是17的5倍； （2）解：如图所示： ， 若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍； （3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为， ； （4）解：5个数之和不能等于2024， 当时，得， 不是奇数， 个数之和不能等于2024； 5个数之和能等于2025， 当时，得， 是奇数， 个数之和能等于2025，这5个数分别为393、403、405、407、417． 母题8：配套问题 某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 名师点拨 【答案】名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排名工人生产螺栓，安排名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 变式1．在手工制作课上，老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时可以剪筒身40个或剪筒底120个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人，女生26人 (2)不配套；从男生中抽调4人去支援女生 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设七年级2班有女生人，根据七年级（2）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，列出方程进行求解即可； （2）设从男生中调y人去支援女生，根据一个筒身配两个筒底，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解∶ 设七年级2班有女生人，则有男生人． 由题意，得 解得： ∴， 答：七年级（2）班有男生24人，女生26人． （2）男生每小时剪出筒底数为：(个) 女生每小时剪出筒身数为 (个) 因为，所以原计划每小时剪出的筒身与筒底不配套． 设从男生中调y人去支援女生，根据题意： 得， 解得∶ 答：应从男生中抽调4人去支援女生，才能使剪出的筒身筒底刚好配套． 变式2．在一次实践活动中，老师组织七年级某班的学生用硬纸板制作圆柱形收纳盒，已知该班共44名学生，其中女生比男生少2人，在限定时间内每名学生可剪出筒身50个或剪出筒底120个． (1)求该班男、女生各有多少人？ (2)若要求一个筒身配两个筒底，为了使限定时间内剪出的筒身与筒底恰好配套，求老师应该分配多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)该班有女生21人，男生23人 (2)应该分配20名学生剪筒底 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设该班有女生x人，男生人，根据“共有学生44人，女生比男生少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，在限定时间内剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设该班有女生x人，男生人，依题意得 ， 解得， 所以，该班有女生21人，男生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， 所以，应该分配20名学生剪筒底． 变式3．北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功，随着航空航天的发展，航空航天模型也受到大家的喜爱，某车间生产航空航天模型，为提高生产量，在原有13名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人． (1)求调入工人的人数； (2)调入工人后，车间内每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件和2个部件组成一个模型，为使每天生产的部件和部件刚好配套组成模型，应该安排生产部件和部件的工人各多少名？ 【答案】(1)12人 (2)10名工人生产部件，15名工人生产部件 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． （1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的2倍多1人”列方程，解方程即可得到答案； （2）先求出工人总人数，设y名工人生产部件，则名工人生产部件，再根据“每名工人每天可以生产60个部件或80个部件，1个部件需要2个部件”列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设调入工人的人数为人， 根据题意得：， 解得， 所以调人工人的人数为12人． （2）解： 调人12名工人后，车间有工人（名）， 设名工人生产部件，则名工人生产部件， 因为每天生产的部件和部件刚好配套， 所以， 解得， 所以， 所以10名工人生产部件，15名工人生产部件，可使每天生产的部件和部件刚好配套． 变式4．某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成多少套该产品？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)24 (2)32 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设有人生产A型部件，有 人生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； （2）设安排 个人生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件；根据生产的两种部件正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，在将其代入中，即可求出结论； 【详解】（1）解：设有人生产A型部件，有 人生产B型部件； 根据题意：得 解得： 所以（套） 答：按照这样的生产方式，该车间每天能配套生产组成24套该产品. （2）解：设安排个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件； 根据题意：得 解得： ∴（套） 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品. 母题9：比例问题 如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 名师点拨 【答案】 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 变式1．列方程解应用题：洗衣机厂某月计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共2550台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为，洗衣机厂该月计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．根据比例设三种型号的洗衣机分别为台，台，台，再结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设计划生产Ⅰ型洗衣机台，则Ⅱ型洗衣机台，Ⅲ型洗衣机台， 由题意得，， 解得：， 则（台）， （台）， （台）， 答：洗衣机厂该月计划生产Ⅰ型洗衣机510台，Ⅱ型洗衣机765台，Ⅲ型洗衣机1275台． 变式2．在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据喜欢5大科学主题的人数为48列方程求解即可． 【详解】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 变式3．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 变式4．为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【答案】 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x， 根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x）， 解得：a， 则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程． 母题10：数轴问题 如图，已知A、B两点在数轴上，点A在原点O的左边，表示的数为，点B在原点的右边，且点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发向右运动，同时，点N以每秒2个单位长度的速度从点O出发向右运动． (1)数轴上点B对应的数是 ，点B到点A的距离是 ； (2)经过几秒，点M，N的距离为5？ (3)经过几秒，点M，N分别到点B的距离相等？ 名师点拨 【答案】(1)30，40 (2)15秒或5秒 (3)14秒或10秒 【知识点】绝对值方程、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设数轴上点B对应的数是x，根据点B到原点O的距离是点A到原点O距离的3倍，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N的距离为5，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； 当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是，根据点M、N分别到点B的距离相等，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设数轴上点B对应的数是x， 根据题意得：， 解得：， ∴， 数轴上点B对应的数是30，点B到点A的距离是 故答案为：30，40； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过15秒或5秒，点M，N的距离为5； （3）解：当运动时间为t秒时，点M对应的数是，点N对应的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过14秒或10秒，点M、N分别到点B的距离相等． 变式1．已知，点在数轴上对应的数为，其满足，点表示原点，分别从出发沿数轴同时向负方向匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度． (1)直接写出线段___________， ___________； (2)设运动时间为秒，当为何值时，恰好有； 【答案】(1)8，12 (2)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了数轴上动点．熟练掌握非负数性质，数轴上动点对应的数，数轴上两点间的距离，一元一次方程应用，化简绝对值等知识． （1）用非负性可求a，b的值； （2）由线段关系列出方程，可求解； 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案为：8，12． （2）解：∵， ∴． 即． ∴． 当时，； 当时，． 答：当t为4秒或7.2秒时，恰好有． 变式2．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换． (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是__________． A． B． C． D． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是__________． (2)翻折变换 ①折叠纸条，若表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示__________的点重合； ②如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A，B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，求点C表示的数． 【答案】(1)①D；②1012 (2)①，② 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的翻折、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠与平移，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． （1）①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案；②根据前边几次跳动得出规律计算可得； （2）①根据表示的点与表示3的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案；②根据折痕处的点为对折后重合两端点的中点，由中点到两端点的距离相等可计算求解；③通过来推出对应的数，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得：， 故选：D． ②如果向左为“”，向右为“”， 机器人跳动过程可以用算式表示为：， 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是； 故答案为：； （2）解：①∵表示的点与表示3的点重合， ∴折痕处的点表示的数为， 设表示2024的点与表示x的点重合，则， 解得：， ∴表示2024的点与表示重合； 故答案为：； ②根据题意可知点表示的数为， ∵点A、表示的数分别是、10，点C为折点， ∴点C表示的数：． 变式3．点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，______是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是______（用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 【答案】（1）点A；（2）①见解析；②或；（3）或5 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出两点的距离，再根据伙伴点的定义判断即可； （2）①分类讨论，点在之间，点在点的右侧，画出图形即可； ②根据①的图形结合，分类讨论，列式求解即可； （3）由题意得点A表示的数为，点O表示的数为，点D表示的数为，分当点O在点A和点D之间和当点D在点A和点O之间时，两种情况讨论，． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴点A是【C，O】的伙伴点； ∵，， ∴， ∴点B不是【C，O】的伙伴点； ∵，， ∴， ∴点D不是【C，O】的伙伴点； 故答案为：点A； （2）①根据点P是【E，F】的伙伴点的定义得， 如图，点和是所作的点； ②设点P表示的数分别为x， 若点，F表示的数分别为e，f，且， ∴，解得； 若点，F表示的数分别为e，f，且， ∴，解得； 综上，点P表示的数是或； 故答案为：或； （3）由题意得点A表示的数为，点O表示的数为，点D表示的数为， 当点O在点A和点D之间时，且， ∴， 解得； 当点D在点A和点O之间时，且， ∴， 解得； 综上，t的值为或5． 变式4．【概念学习】 定义：点，，为数轴上的任意三点（点不与，重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，，，则点是的“2值点”，记作：． 【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6； ①若点，，表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是________； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是________； 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值； 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点，表示的数分别是，且，不与，重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）①；②0或；（2）或；（3） 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，根据新定义列出方程，认真理解新定义是解题的关键． （1）①求出两点之间距离，根据题中新定义再判断即可． ②设点所表示的数是x，根据得出，求解即可． （2）由题意得出，，根据，得出，列出方程或，求解即可． （3）由题意得出，，根据，得出，结合，化简得出，表示出，，得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点，，表示的数分别是，，3， ∴，故点不是的2值点； ，故点不是的2值点； ，故点是的2值点； 故答案为：； ②设点所表示的数是x， ∵， 则， 解得：或， 故答案为：0或； （2）由题意，，， ∵， ∴， 即或， 解得：或； （3）由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $