学案04基本不等式-2026届高三数学一轮复习

2023 级高三数学一轮复习学案(04) 基本不等式 编写教师:姜冬艳审稿教师:薛玉财 新教材课程标准: 1. 了解基本不等式的推导过程; 2. 会用基本不等式解决简单的最值问题; 3. 会求与基本不等式有关的恒 (能) 成立问题; 4. 理解基本不等式在实际问题中的应用; 6. 掌握基本不等式在其他知识中的应用. 一、基础知识梳理(阅读教材必修一(44)页一(49)页) 1. 教材内容重现 (1)教材 39 页探究、教材 45 页探究:(数形结合证明重要不等式、基本不等式) (2)教材 44 页基本不等式分析法证明；(明确分析法书写要求) (3)教材 49 页拓广探索第 7、8 题. (实际问题的分析与解决) 2. 知识点一 基本不等式: (1)基本不等式成立的条件:_____. (2)等号成立的条件:当且仅当_____时,等号成立. (3)其中 叫做正数 的算术平均数, 叫做正数 的几何平均数. 基本不等式的变形: ① ；② ；③ . 以上不等式等号成立的条件均为 . 知识点二利用基本不等式求最值 (1)已知 都是正数,如果积 等于定值 ,那么当_____时,和 有_____. (2)已知 都是正数,如果和 等于定值 ,那么当_____时,积 有_____. 注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“_____” 知识点三两个基本不等式的变形公式 (1) 或 (2) 或 (3) (当且仅当 取等号) (4) , (当且仅当 取等号) (5) ,且 谨防两个易误点 (1)在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其是题目中多次使用基本不等式, 等号成立的条件必须相同, 否则会造成错误. (2)尽量对式子进行化简、变形,再利用一次基本不等式求最值. 知识点四 与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 如图,对于函数 , 若 . (1) 当 时, ; ( 2 )当 时, 在区间 上单调递增, ； ( 3 )当 时, 在区间 上单调递减, . 因此,只有当 时,才能使用基本不等式求最值,而当 时只能利用对勾函数的单调性求最值. 二、典型例题 题型一 基本不等式的理解及常见变形 例 1 (多选)下列说法不正确的是( ) A. 的最小值是 4 B. 不等式 与 成立的条件是相同的 C. 的最小值为 2 D. 存在 ,使得 成立 题型二 基本不等式的性质 命题点 1 直接法 例 2 (1) 若实数 满足 ,则 的最小值为 ( ) A. 1 B. C. 2 D. (2)当 时, 的最大值为_____. 命题点 2 配凑法 例 3 (1) 函数 的最小值为 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 (2) 已知 ,且 ,则 的最小值为_____. 命题点 3 常数代换法 例 4 (多选) 已知 为正实数,且 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. 的最大值为 4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 2 命题点 4 消元法 例 5 已知实数 满足 ,则 的最小值是 ( ) A. B. C. D. 命题点 5 构造不等式法 例 6 (多选) (2024・郑州模拟) 已知正数 满足 ,则下列结论正确的是 ( ) A. 的最小值为 2 B. 的最大值为 2 C. 的最小值为 2 D. 思维升华(1)前提:“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. ●(3)条件最值的求解通常有五种方法:一是直接法；二是配凑法；三是将条件灵活变形,利用常数 “1 ” 代换的方法；四是消元法；五是构造不等式法. 题型三 基本不等式的实际应用 例 7 如图,某生态园将一个三角形地块 的一角 开辟为水果园种植桃树,若 为 , 的长度均大于 200 米,现在边界 处建围墙,在 处围竹篱笆. (1)若围墙 与 总长度为 200 米,如何围可使得三角形地块 的面积最大？ (2)已知 段围墙高 1 米, 段围墙高 1.5 米,造价均为每平方米 100 元. 若围围墙用 20000 元, 问如何围可使竹篱笆用料最省? 题型四 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例 8 设 ,若 是 与 的等差中项,则 的最小值为 ( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 思维升华 基本不等式常作为工具, 与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、 立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇,常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 三、课堂练习 1. 正数 满足 ,则 的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 若 ,且 ,则( ) A. B. C. D. 的最大值为 3. 已知 ,则 的最小值是_____. 4. 若 均为正实数,则 的最小值为_____. 5. 已知 求: (1) 的最大值； (2) 的最小值. 6. 已知函数 . ( 1 )求 的最小值； (2)若 恒成立,求 的取值范围. 2023 级高三数学一轮复习作业(04) 东北师范大学附属中学 基本不等式编写教师:姜冬艳 审稿教师:薛玉财 1. 已知 ,且 ,则 的最小值是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 2. 若 ,且 ,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 3. (2025・南京模拟) 已知 ,则 的最小值为_____. 4. 已知函数 的值域为 ,其中 ,则 的最小值为_____. 5. (2024・咸阳模拟) 已知函数 ,若 ,且 ,求 的最小值. 6. (2024・宿州模拟) 定义:对于数 ,若它们除以整数 所得的余数相等,则称 对于模 同余,记作 . 已知正整数 满足 ,将符合条件的所有 的值按从小到大的顺序排列,构成数列 . 设数列 的前 项和为 ,求 的最小值. 值 学科网（北京）股份有限公司 $