专题03 函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题03函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用 目录 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 类型二、函数图像变换与多个变换的复合问题 类型三、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 类型四、含参问题中参数取值范围的确定 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)中w的取值范围问题 压轴专练 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的参数步骤和方法: (1)求：确定函数的最大值和最小值，则，； (2)求：确定函数的周期T＝，则可得ω= (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口 例1．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（    ） A．2， B．2， C．2， D．4， 变式1-2．（多选）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数图象的对称轴为直线 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 变式1-3．已知函数的部分图象如图，则在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-4．（多选）如图，这是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 类型二、函数图像变换与多个变换的复合问题 函数图像变换的两种方法 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度 例2.为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 变式2-1．（多选）函数（，）的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 变式2-2．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式2-3．（多选）已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有个零点 变式2-4．已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位后得到函数的图象. (1)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； (2)实数满足对任意，都存在，使得成立，求的取值范围. 类型三、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 这类问题的本质是数形结合，将方程根的个数转化为两个函数图像的交点个数，再结合三角函数的周期性、值域等性质分析： 一、核心解题方法：数形结合法 ①方程转化：把含三角函数的方程整理为f(x)=g(x)形式。左边通常是三角函数（如sinx、cosx、tanx），右边是常数、一次函数、二次函数等易画图像的函数。 ②分析函数性质：明确两边函数的关键特征——三角函数关注周期（如sinx周期2π、tanx周期π）、值域（sinx/cosx∈[-1,1]、tanx∈R）、单调区间；右边函数关注定义域、值域、单调性（如y=kx+b的斜率影响倾斜方向）。 ③画图找交点：在同一坐标系中绘制两函数图像，结合三角函数的周期性重复绘制，按定义域范围统计交点个数，重点关注临界位置（如三角函数的顶点、零点，右边函数与三角函数值域的边界交点） 二、关键技巧突破 ①分类讨论参数：若方程含参数（如asinx+b =0、sinx=kx），按参数范围分类（如a=0、a≠0；k的正负、|k|大小），分析不同情况下图像的位置关系。 ②利用对称性简化：借助三角函数的奇偶性（如sin(-x)=-sinx）、轴对称性（如cosx关于x=kπ对称），减少重复画图，快速判断对称区间的交点个数。 ③避开易错点：注意定义域限制（如x∈[0,4π] 需明确范围）、三角函数的间断点（如tanx在x=π/2+kπ处无定义）、临界交点是否重合（如y=1与y=sinx在x=π/2+2kπ处仅一个交点） 例3．（1）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则 . （2）函数在区间内的零点个数为__________. 变式3-1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________. 变式3-2．关于的方程在上解的个数是____________. 变式3-3．若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________. 变式3-4.已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式并求出的增区间； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围． 变式3-5.已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围． 类型四、含参问题中参数取值范围的确定 确定参数取值范围，本质是以数形结合为核心，抓住“临界状态、值域边界、单调性分界”，结合三角函数的周期、值域、对称性分析，通过分类讨论覆盖所有可能情况 一、核心解题方法 1.数形结合法（最常用） ①方程转化：将含参方程整理为三角函数=含参函数（如sinx=kx+b、cosx=m）。 ②分析图像特征：三角函数固定其周期、值域、顶点等关键节点；含参函数重点关注参数对图像的影响（如kx+b中k决定斜率、b决定上下平移，m决定水平线高度）。 ③找临界位置：参数变化会导致含参函数图像平移/伸缩，找到“刚好有交点、交点个数变化、相切”的临界状态，列出临界方程求解参数，再确定参数范围。 2.值域法（针对“asinx+bcosx=c”型） ①化简左边：用辅助角公式将asinx+bcosx化为Asin(x+φ)（其中A=√(a²+ b²)）。 ②利用值域列不等式：因sin(x+φ)∈[-1,1]，故|c|≤A，代入A的表达式解参数（若c含参则直接解，a/b含参则转化为关于参数的不等式）。 3.单调性法（针对复合三角函数含参） ①确定复合函数结构：如y=sin(ωx+φ)（ω、φ为参数）或y=asin²x+bsinx+ c（a、b为参数）。 ②结合单调性列条件：根据题目给出的单调区间、最值点等信息，列出关于参数的不等式（如ω影响周期和单调性，需保证单调区间与三角函数本身的单调区间匹配） 例4．已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 变式4-1．已知函数（其中，，）的图像如图所示. (1)求函数的解析式及其对称轴方程； (2)将函数的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到了函数的图像，若函数在上单调递增，求的取值范围. 变式4-2．已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 变式4-3．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围． 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)中w的取值范围问题 ω的取值范围需结合三角函数的周期性、单调性、图像特征（零点、最值）等条件，搭配ω>0（常规隐含条件）列不等式求解 ①平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围 ②涉及单调性、零点与“ω”结合的问题，要认真审题，结合题中的条件，画出简图，根据单调性、零点求出参数的取值范围（值），然后赋值，或转化为不等式或不等式恒成立问题，求参数的取值范围或最值 ③极值、最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围 ④解决对称性与“ω”结合的问题，先认真读题，将所给的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，再根据对称性建立方程求解，注意k的取值范围 例5．已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 变式5-1设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________ 变式5-2.已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为___________. 变式5-3．若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（    ） A．最小值为，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．无最小值，最大值为 D．最小值为，最大值为 变式5-4.已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为 变式5-5.已知函数，现有如下说法： ①若，函数在上有最小值，无最大值，且，则； ②若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为； ③若在上至少有2个解，至多有3个解，则； 则正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式5-6.（多选）已知为偶函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 压轴专练 一、单选题 1．函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 2．函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，则原函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4．已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 7．先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（   ） A．1 B． C．2 D． 8．把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．函数在区间的值域是 10．已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递减 C．将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为 D．若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为 11．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．图象关于对称 D．若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 三、填空题 12．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 13．已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是 ． 14．已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 四、解答题 15．已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16．已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的最小正周期及表达式； (2)将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 17．如图，函数的图象经过点和，将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值． 18．已知函数），若的图象过三点，其中点为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 19．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． 条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③：的图象经过点． (1)确定的解析式； (2)将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移个单位，然后横坐标不变纵坐标变为原来的，就得到了的图像，令，求的最大值及取得最大值时的值 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用 目录 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 类型二、函数图像变换与多个变换的复合问题 类型三、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 类型四、含参问题中参数取值范围的确定 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)中w的取值范围问题 压轴专练 类型一、由函数图象确定三角函数的解析式中的A、ω、φ 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的参数步骤和方法: (1)求：确定函数的最大值和最小值，则，； (2)求：确定函数的周期T＝，则可得ω= (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口 例1．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可. 【详解】由图知，， ，∴， 又， ， ∴函数的解析式为． 故选：D 变式1-1．函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（    ） A．2， B．2， C．2， D．4， 【答案】C 【分析】先由图象确定周期，求解，再代入最值点，求解. 【详解】设函数的周期为， 则由图象知，， 解得，； 由图象点在函数的图象上，则 ，则， 则，解得， 又已知，则. 故选：C. 变式1-2．（多选题）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数图象的对称轴为直线 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】 利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，由图可知， 设函数的最小正周期为，则，，，则， 由得，解得， 又，，，A正确； 对于B选项，由，得，B正确； 对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度， 得的图象，C错误； 对于D选项，由得， 由的图象可知，要使函数在区间上的值域为， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 变式1-3．已知函数的部分图象如图，则在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数图像求得三角函数里的，写出函数解析式，从而找到在时的零点个数. 【详解】设周期为，则， 由图知， 或， 由图知在递减区间上成立，所以， ，且， 则， 所以， 即， 因为， 所以时，， 则， 由， 或， 所以在上有2个零点. 故选：B 变式1-4．（多选）如图，这是函数的部分图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据图象，依次求得和的值，结合诱导公式确定正确答案. 【详解】因为，所以，又，所以，则， 故. 将点的坐标代入， ， 而，则，所以. 则，B正确； 若，则，A错误； 而，C正确； 若，则，D错误. 故选：BC 类型二、函数图像变换与多个变换的复合问题 函数图像变换的两种方法 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度 例2.为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换规律分析判断即可 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． 故选：A 变式2-1．（多选）函数（，）的图象如图所示，先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 【答案】ABC 【分析】利用的图象求出函数解析式，再通过伸缩、平移变换得到的解析式，利用三角函数性质判断奇偶性、增减区间、对称轴和对称中心. 【详解】由图得函数的周期，所以， 因为函数的图像过点，所以， 所以． 因为，所以，所以， 先将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到的图象， 再将所得函数的图象向左平移个单位长度， 得到， 对于A选项，函数为偶函数，所以A项错误； 对于B选项，令，则， 而，所以B项错误； 对于C选项，令，则， 所以函数的对称中心为，所以C项错误； 对于D选项，令，则， 所以函数的对称轴为，当时，有，所以D项正确． 故选：ABC． 变式2-2．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值. 【详解】 根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度, 可得。由,可知。即 所以。的最大值为,的最小值为 则的最大值为,的最小值为。所以的最大值为 故选:A 变式2-3．（多选）已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在上有个零点 【答案】AC 【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期是，所以， 则， 把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为， 因为为奇函数，所以， 即， 因为，所以，，所以， 对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，当时，， 函数在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故C正确； 对于D，由，得，即， 令，解得，又，所以或， 所以函数在上有个零点，分别为、，故D错误. 故选：AC. 变式2-4．已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位后得到函数的图象. (1)方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围； (2)实数满足对任意，都存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）将方程的解转化为函数的图象与直线有且只有一个交点，结合图象求解范围即可； （2）条件转化为，易求的最大值为.求函数在的最大值，则利用整体换元法，转化为二次函数轴动区间定最值问题分类讨论求解再整合即可. 【详解】（1）已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的得到的图象， 再将所得函数图象纵坐标伸长到原来的2倍得到的图象， 再将所得函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象， 则， 当时，， 方程在上有且只有一个解， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 由函数图象可知，，或， 解得，或， 故实数的取值范围为.    （2）设函数 若实数满足对任意，都存在，成立， 则. ，则； 由， 令，由为增函数， 则， 设，，图象开口向上，对称轴为. 当，即时，， 则，解得，则； 当，即时，， 则，解得，则. 综上，的取值范围为. 类型三、与实数解个数相关的问题（方程根与图像交点） 这类问题的本质是数形结合，将方程根的个数转化为两个函数图像的交点个数，再结合三角函数的周期性、值域等性质分析： 一、核心解题方法：数形结合法 ①方程转化：把含三角函数的方程整理为f(x)=g(x)形式。左边通常是三角函数（如sinx、cosx、tanx），右边是常数、一次函数、二次函数等易画图像的函数。 ②分析函数性质：明确两边函数的关键特征——三角函数关注周期（如sinx周期2π、tanx周期π）、值域（sinx/cosx∈[-1,1]、tanx∈R）、单调区间；右边函数关注定义域、值域、单调性（如y=kx+b的斜率影响倾斜方向）。 ③画图找交点：在同一坐标系中绘制两函数图像，结合三角函数的周期性重复绘制，按定义域范围统计交点个数，重点关注临界位置（如三角函数的顶点、零点，右边函数与三角函数值域的边界交点） 二、关键技巧突破 ①分类讨论参数：若方程含参数（如asinx+b =0、sinx=kx），按参数范围分类（如a=0、a≠0；k的正负、|k|大小），分析不同情况下图像的位置关系。 ②利用对称性简化：借助三角函数的奇偶性（如sin(-x)=-sinx）、轴对称性（如cosx关于x=kπ对称），减少重复画图，快速判断对称区间的交点个数。 ③避开易错点：注意定义域限制（如x∈[0,4π] 需明确范围）、三角函数的间断点（如tanx在x=π/2+kπ处无定义）、临界交点是否重合（如y=1与y=sinx在x=π/2+2kπ处仅一个交点） 例3．（1）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，且，则 . 【答案】 【分析】设，根据图形可得，，，结合题意求，结合函数周期性运算求解. 【详解】不妨设， 可得，， 由图可知在一个周期内， 则，，， 又因为，即，可得，解得， 则，解得， 所以， 可知的最小正周期， 所以. 故答案为：. （2）函数在区间内的零点个数为__________. 【答案】3 【分析】将函数在区间内的零点个数转化为函数的交点个数，利用数形结合法求解. 【详解】函数，即， 在同一坐标系中作出的图象，如图所示： 由图象知，在区间内的零点个数为3， 故函数在区间内的零点个数为3. 故答案为：3 变式3-1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为__________. 【答案】 【分析】 推导出函数是周期为的周期函数 ，然后作出函数与函数在区间上的图象，利用对称性可求得函数在区间上的零点之和. 【详解】 由于函数为定义域为的奇函数，则， ，所以，函数是周期为的周期函数， 作出函数与函数在区间上的图象，如下图所示： 由图象可知，函数与函数在区间上的图象共有个交点，且有对关于直线对称， 因此，函数在区间上的所有零点的和为. 变式3-2．关于的方程在上解的个数是____________. 【答案】4031 【分析】 计算函数的周期为2；化简函数的表达式，画出函数图像得到答案. 【详解】 的周期为2；画出函数图像，如图所示： 当时：每个周期内有2个交点，共有2014个交点；当时：有1个交点； 当时：每个周期内有2个交点，共有2016个交点； 故共有4031个解。故答案为：4031. 变式3-3．若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】在同一坐标系内画出与的图像，利用数形结合去求的取值范围 【详解】 则单调递增区间为，单调递减区间为， 又， 又函数的图像与仅有两个不同交点， 则的取值范围是 故答案为： 变式3-4.已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式并求出的增区间； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由图象结合正弦函数的性质求得的解析式，再利用整体代入法即可求得的增区间； （2）先由图象的变换得出函数的解析式，再由正弦函数的性质得出的值域，从而得解. 【详解】（1）由图象可知，，则， 又，所以，故， 因为点在上，则，即， 所以，即，又，故， 所以， 令，得， 所以的增区间为. （2）先把的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图像对应的解析式为， ，则， 所以，即， 因为在上有解，即在上有解， 所以，即的取值范围为. 变式3-5.已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由图可知，．因为，所以，． 代入有， ∴， 又∵，∴，∴； （2）由题意知变换后 当时，令，即， 函数在时单调递减，此时， 函数在时单调递增，此时， 等价于有两解． 所以当时符合题意，即a的取值范围为 类型四、含参问题中参数取值范围的确定 确定参数取值范围，本质是以数形结合为核心，抓住“临界状态、值域边界、单调性分界”，结合三角函数的周期、值域、对称性分析，通过分类讨论覆盖所有可能情况 一、核心解题方法 1.数形结合法（最常用） ①方程转化：将含参方程整理为三角函数=含参函数（如sinx=kx+b、cosx=m）。 ②分析图像特征：三角函数固定其周期、值域、顶点等关键节点；含参函数重点关注参数对图像的影响（如kx+b中k决定斜率、b决定上下平移，m决定水平线高度）。 ③找临界位置：参数变化会导致含参函数图像平移/伸缩，找到“刚好有交点、交点个数变化、相切”的临界状态，列出临界方程求解参数，再确定参数范围。 2.值域法（针对“asinx+bcosx=c”型） ①化简左边：用辅助角公式将asinx+bcosx化为Asin(x+φ)（其中A=√(a²+ b²)）。 ②利用值域列不等式：因sin(x+φ)∈[-1,1]，故|c|≤A，代入A的表达式解参数（若c含参则直接解，a/b含参则转化为关于参数的不等式）。 3.单调性法（针对复合三角函数含参） ①确定复合函数结构：如y=sin(ωx+φ)（ω、φ为参数）或y=asin²x+bsinx+ c（a、b为参数）。 ②结合单调性列条件：根据题目给出的单调区间、最值点等信息，列出关于参数的不等式（如ω影响周期和单调性，需保证单调区间与三角函数本身的单调区间匹配） 例4．已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式； （2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案. 【详解】（1）若选①②： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以． 因为，所以，所以函数的解析式为； 若选①③： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以，即，因为，所以． 所以函数的解析式为； 若选②③： 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以， 因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以即， 因为，所以，所以函数的解析式为； （2）把的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到， 即，由得， 因为在区间上的最大值为2， 所以在区间上的最大值为1， 所以，所以，所以的最小值为. 变式4-1．已知函数（其中，，）的图像如图所示. (1)求函数的解析式及其对称轴方程； (2)将函数的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到了函数的图像，若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)，对称轴方程为； (2). 【分析】（1）由图象可得、求出，五点法求，再由正弦型函数的性质求对称轴方程； （2）根据图象平移可得，利用正弦型函数的单调性确定. 【详解】（1）由图知，，，则， 由，即，故，， 所以，，又，则， 故． 令，得， 所以的对称轴方程为． （2）将上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到图象，函数在上单调递增, 因为，则， 而，即， 所以当，即时，在单调递增； 所以． 变式4-2．已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由图象可得：，，所以， 又，则，所以， 代入得：， 则，，解得：，， 又，所以，故． （2）由（1）知：， 所以，即， 又，所以，则， 令，则有恒成立， 所以， 解得：， 故的取值范围为 变式4-3．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由周期公式计算周期即可，整体代入法解表达式即可求得单调递减区间. （2）先求复合函数的值域，然后将问题转化为存在性问题即可，结合余弦函数单调性即可得解. 【详解】（1）函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）， 由于，所以， 故原题等价于对任意的，存在，使得， 由题意首先，当时，， 而，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 综上所述，实数b的取值范围为. 类型五、y＝Asin(ωx＋φ)中w的取值范围问题 ω的取值范围需结合三角函数的周期性、单调性、图像特征（零点、最值）等条件，搭配ω>0（常规隐含条件）列不等式求解 ①平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围 ②涉及单调性、零点与“ω”结合的问题，要认真审题，结合题中的条件，画出简图，根据单调性、零点求出参数的取值范围（值），然后赋值，或转化为不等式或不等式恒成立问题，求参数的取值范围或最值 ③极值、最值与“ω”结合的问题，可以画出简图，利用三角函数的最值或周期，列出关于ω的不等式，通过解不等式求参数的最值或范围 ④解决对称性与“ω”结合的问题，先认真读题，将所给的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+B的形式，再根据对称性建立方程求解，注意k的取值范围 例5．已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意是周期的整数倍，求出的表达式，从而求出其最小值. 【详解】,的周期为, 将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合， 是周期的整数倍，，， ，的最小值等于.故选：B 变式5-1设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】根据正弦函数的单调性，求出函数的单增区间，由（），可得： ，所以 ，整理即可得解. 【详解】根据正弦函数的单调性，可得：（）， 所以：，解得：， 整理可得： ，当有解，解得.故答案为：. 变式5-2.已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为___________. 【答案】 【分析】 根据，得函数的对称轴为，所以有可得，解得，再分类讨论又在区间上单调递增和递减两种情况，对每一种情况列出关于的不等式组，解之可求得的值. 【详解】 因为，所以函数的对称轴为，所以即，解得， ,又在区间上单调，所以 （1）若在区间上单调递增，则 ∵ ，∴， ∴，即，解得， 所以，且，所以当时，满足题意； （2）若在区间上单调递减，则 ∵ ，∴， ∴，即，解得， 所以，且，此时无解， 综上可得满足题意；故答案为：. 变式5-3．若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（    ） A．最小值为，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．无最小值，最大值为 D．最小值为，最大值为 【答案】C 【分析】由图象过点求出，然后解，得，再分析在上有且只有两个时，的取值只能是，从而可得的范围， 【详解】由题可知，即，∴， 又∵，，∴. 令，得，解得 又∵，在上有且只有两个零点， ∴只能取1，2，故，解得， ∴，∴，没有最小值．故选：C. 变式5-4.已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为 【答案】 【详解】因为对都有，所以，可得， ，， 又在上单调，，， 即，由可得，或， 当时，，，都有， 且当时，，即函数在上单调递增，因此符合题意； 当时，，，都有， 且当时，，即函数在上单调递减，因此符合题意， 所以的取值集合为. 故答案为：. 变式5-5.已知函数，现有如下说法： ①若，函数在上有最小值，无最大值，且，则； ②若直线为函数图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，且在上单调递减，则的最大值为； ③若在上至少有2个解，至多有3个解，则； 则正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，因为时，有最小值，所以， 所以，得到， 因为在区间上有最小值，无最大值，所以，即，令，得，故①错误； 对于②，根据题意，有， 得出，即，得到或，故②正确； 对于③，令或， 则或， 故需要上述相邻三个根的距离不超过，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过，即，解得，故③正确， 故选：C 变式5-6.（多选）已知为偶函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】ABC 【分析】先求出函数的解析式，然后逐项判断即可求解. 【详解】对A：若，为偶函数，则，，所以，A选项正确； 对B：若的最小正周期为，则，所以，故B正确； 对C:由，得，若在区间上有且仅有个最值点， 则，得，故C正确； 对D：因为，若， 则或， 得或， 又，所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC. 压轴专练 一、单选题 1．函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象变换及对称性求解得，，从而可求最小正值. 【详解】∵将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 又函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数， 由可得，，解得：，， 因为是使变换成立的最小正值，由时，可得． 故选：C． 2．函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，则原函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出，进而得出函数的解析式，再利用函数性质求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期是以及， 所以由，则， 设图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象， 则， 由图象关于原点中心对称可知，， 又，所以， 所以， 当时，， 所以 所以原函数在区间上的值域为， 故选：D. 3．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得. 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：A 4．已知函数在上恰有个零点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恰有个零点，求出的范围，再分、两种情况讨论即可. 【详解】因，，则， 因函数与的零点完全相同， 则函数在上恰有个零点，等价于函数在上恰有个零点， ①若，即，则， 则不可能存在个零点； ②若，即，因为区间关于对称， 则，得 综上，的取值范围是. 故选：B 5．已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可. 【详解】由题意有：， 所以， 由有， 又函数在区间上恰有4个零点， 所以，解得，即， 故选：B. 6．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 7．先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数图象的变换得出解析式，然后根据三角函数的图象性质分析满足题意的值，即可解出. 【详解】由题意可得，函数（且）， 所以由三角函数周期性性质可知， 方程有无数个解方程有解方程有解， 设，因为且， 所以当为奇数时，， 当时，， 综上，的值域为，所以的取值范围为. 故选：D. 8．把函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得到的解析式后，结合正弦函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得， 又的图象关于点对称， 则，，解得，， 则，，又， 则当时，有最小值. 故选：B. 二、多选题 9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．函数在区间的值域是 【答案】AC 【分析】结合正弦型函数性质分析图象可得函数的解析式，再借助代入检验法计算可得A、B；由图象分析可得C；结合正弦函数图象计算可得D. 【详解】由图可得，又，则， 由图可得，故， 则，又，故， 由图可得， 解得，又，则， 即； 对A：当时，， 由是函数的对称轴， 故是的对称轴，故A正确； 对B：当时，， 由不是函数的对称中心， 故不是的对称中心，故B错误； 对C：由前知，，故C正确； 对D：当时，， 则，则，故D错误. 故选：AC 10．已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递减 C．将函数的图象向右移个单位长度，可得到函数的图象，则函数的解析式为 D．若函数（）在上恰有三个零点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据余弦函数对称中心的性质代入检验判断A，利用余弦型函数的单调性判断B，根据平移变换及诱导公式判断C，利用换元法及余弦函数的性质判断D. 【详解】因为，所以函数的图象不关于点对称，故A错误； 当时，令，而在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故B正确； 将函数的图象向右移个单位长度，得到，故C正确； ，当时，， 即在上恰有三个零点，所以， 解得，故D错误. 故选：BC 11．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．图象关于对称 D．若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 【答案】ACD 【分析】选项A，将点代入求出，由求出，由和，结合图像得到，结合，求出；选项B，由求出的范围，从而得到在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项B不正确；选项C，由对称轴为，计算得解； 选项D，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍求出函数，由得到的范围，求出时，，又的最大值为4，最小值为，结合图像得到，计算得解. 【详解】选项A，，在的图象上， ，，，，， ，，， 在轴左侧，，，， 的最大值为4，最小值为，又，， ，，，，，故选项A正确； 选项B，，，，， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 故选项B不正确； 选项C，，对称轴为，，当时，对称轴为，故选项C正确； 选项D，， 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数， ， ，， 当时，即时，， 的最大值为4，最小值为， ，，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 【答案】 【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得． 【详解】依题意，， 由是偶函数，得，， 而，则． 故答案为：． 13．已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，可求得，利用函数图像经过，可求得，结合单调性可得，进而可求得的取值范围. 【详解】∵为函数的最大值，为函数的最小值，所以，， 又，所以必有，解得， 又函数图像经过，因此，结合，得出， 则，因为，当时，， 所以，得，，所以，解得． 当时，； 当时，令，因时，， 故从开始，各区间相互重叠，其并集为， 因此的取值范围是. 故答案为：. 14．已知函数的部分图象如图所示，设，给出以下四个结论： ①函数的最小正周期是；②函数在区间上单调递增； ③函数的图象过点；④若在上有且仅有两个极大值点，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】由图求得判断①，由解析式结合正弦函数性质判断②③④. 【详解】由图，，解得，①错误； 所以， 又图象经过，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以， 当时，，此时且单调递减， 所以，且单调递增，②正确； 因为，所以的图象过点，③错误； 由，得， 在上，的第一个极大值点，第二个极大值点，第三个极大值点， 因为在上有且仅有两个极大值点，所以，④正确； 故答案为：②④. 四、解答题 15．已知函数的最小正周期为． (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间； （2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围． 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以，所以． 令，得， 故的单调递减区间为． （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 再将所得图象向左平移个单位长度得到． 令 令，则， 因为，所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数的取值范围为． 16．已知函数，其中，该函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为. (1)求函数的最小正周期及表达式； (2)将函数的图象上各点横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位得到的图象，若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可得解析式； （2）根据函数图象平移得，再由正弦型函数的区间单调性及已知函数的区间零点个数，数形结合求出参数范围. 【详解】（1）由于函数以为对称中心，且与其相邻的一条对称轴为， 所以，故周期，而，所以， 又由函数一条对称轴为，所以有， 又，故，所以函数的表达式为； （2）由题意，得， 因为，所以，且时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且， 因为函数在上恰有一个零点， 即与的图象在上恰有一个交点， 画出图象如下：    由图可知，的取值范围为. 17．如图，函数的图象经过点和，将图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），然后把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），最后再把图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数的解析式及其单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为. (2) (3) 【分析】（1）先根据经过的点坐标和图象求出，然后根据图象的变化求出的解析式，进而根据正弦函数的单调性求出单调递增区间. （2）先化简函数的解析式，然后根据的范围求出值域即可. （3）先化简的解析式，然后求出其零点，进而求得的最小值. 【详解】（1）因为函数经过点， 所以，所以，解得. 所以，因为，所以. 所以函数. 根据函数图象的平移等变化，可得出. 当时，单调递增， 解得，所以的单调递增区间为. （2）因为，所以. 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以在上的值域为. （3），令，则. 所以或， 解得或. 函数的每个周期内有2个零点，要使得函数在区间内恰有20个零点， 则至少需要9个完整周期加1个零点， 所以的最小值为. 18．已知函数），若的图象过三点，其中点为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据图像最高点求出，由周期求出，然后再把代入解析式可求出，最后根据图像的伸缩变化即可求解； （2）根据诱导公式把不等式转化为，令，不等式转化为，对于解法一，利用分离参数转化为函数最值即可求解；对于解法二，令，问题转化为求，利用二次函数分类讨论区间与对称轴的关系即可求解. 【详解】（1）由题意得，得， 又，则， 所以. 由，得，由图知在上单调递增， 所以， 又，只可能，所以， 所以， 将图象上横坐标变为原来的倍， 得到，再向右平移个单位长度， 得到，即. （2）由（1）知， 所以不等式可化为： ， 即对任意的恒成立， 令，则，且， 原不等式转化为恒成立， 解法一： 即对恒成立， 当时，易知不等式恒成立； 当时，，即对恒成立， 因为在上单调递减，故， 所以的取值范围为. 解法二： 设函数， 当时，对称轴在上单调递增， 要使，只需，解得； 当时，由于，故恒成立； 当时，对称轴，只需，解得； 综上所述，. 19．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． 条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③：的图象经过点． (1)确定的解析式； (2)将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再将图像向右平移个单位，然后横坐标不变纵坐标变为原来的，就得到了的图像，令，求的最大值及取得最大值时的值 【答案】(1)； (2)当，或，时，取得最大值 【分析】（1）分别将条件①②③化简，结合三角函数的性质代入计算，即可得到其解析式； （2）由三角函数的图像变换得到函数的解析式，再结合换元法，由二次函数的最值即可得到结果. 【详解】（1）由图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 可得的最小正周期，， 此时， 选条件①②， 因为，所以， 因为图象的一个对称中心为，所以， 因为，所以，所以； 选条件①③， 因为，所以， 因为的图象经过点，则， 即，， 因为，即，所以， 所以，解得， 所以； 选条件②③， 因为图象的一个对称中心为， 所以，所以， 因为，所以，所以， 因为的图象经过点，则， 即，，即，所以， 所以； （2）将纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，解析式变为， 再将图像向右平移个单位，解析式变为， 然后横坐标不变纵坐标变为原来的，可得， ， 令，， 函数可化为， 对称轴为，在上单调递增，上单调递减， 且，所以， 即的最大值为， 此时，， 即或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $