专题02 三角函数图像与性质综合6种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题02三角函数图像与性质综合 目录 类型一、三角函数的周期性 类型二、与三角函数图像有关的判断问题 类型三、三角函数对称性与单调性的综合判断 类型四、含绝对值的三角函数图像与性质分析 类型五、三角函数在给定区间上的最值问题 类型六、图像变换与性质融合题（平移、伸缩、对称） 压轴专练 类型一、三角函数的周期性 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 例1．下列四个周期函数中，与其它三个函数周期不一致的函数是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各自的特点，分别求出函数的周期即可判断. 【详解】对于A，，周期为； 对于B，，周期为； 对于C，，周期为； 对于D，若周期为， 则，， 故的周期不是. 故选：D 变式1-1．以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解. 【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求； 对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求; 对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求； 故选：B 变式1-2．在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（　　） A．①③ B．①④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得. 【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为； ②由翻折变换可知，函数的图象如图： 由图知的最小值周期为； ③由周期公式得，所以的最小值周期为； ④的最小值周期为. 故选：D 变式1-3．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据最值点可得出函数的周期，再求出即可. 【详解】因为，是函数两个相邻的最值点， 所以，， 故选：A 变式1-4.下列函数最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质判断即可. 【详解】AC选项：的最小正周期为，故AC错； B选项：的最小正周期为，故B正确； D选项：不具有周期性，故D错. 故选：B. 类型二、与三角函数图像有关的判断问题 ①利用奇偶性快速判断：若图像关于原点对称，优先考虑正弦型（sin）或正切型（tan）；关于y轴对称，优先考虑余弦型（cos）。 ②抓对称轴与对称中心：正弦函数对称轴过波峰波谷，对称中心是零点；余弦函数相反，可快速锁定函数类型。 ③排除法优先用：先根据周期、振幅排除明显错误的选项，再聚焦剩余选项分析相位，减少计算量。 相位平移口诀：“左加右减，针对x本身”，比如 y=sin(ωx+φ)是y=sinωx向左平移|φ/ω|个单位（φ>0时），避免平移方向出错 例2.函数的部分图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可. 【详解】因为，定义域为R。所以 所以为奇函数，且，排除CD 当时，，即，排除A。故选：B. 变式2-1．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和的情况下，化简函数解析式，根据正切函数和正弦函数的单调性和性质可判断出结果. 【详解】当时，， 此时函数为减函数，且，可排除CD； 当时，， 此时函数为增函数，且，可排除A. 故选：B. 变式2-2．函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除BD，再由当时，，可排除A. 【详解】因为函数定义域为关于原点对称， 且， 则函数为偶函数，故BD错误； 当时，，故A错误，C正确； 故选：C 变式2-3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值求得正确答案. 【详解】的定义域为， 是奇函数，图象关于原点对称，排除CD选项. ，排除A选项，所以B选项正确. 故选：B 类型三、三角函数对称性与单调性的综合判断 三角函数对称性与单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性 例3.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值． 【答案】(1)增区间，；减区间， (2)最大值为，；最小值为， 【分析】（1）将整体代入的单调区间，求出的范围即可； （2）通过x的范围，求出的范围，然后利用的最值的取值求解即可. 【详解】（1）， 令，，得，， 令，，得，， 故函数的单调递增区间为，； 单调递减区间为，； （2）当时，， 所以当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值． 变式3-1．（多选）已知函数的图像关于点，中心对称，则（ ） A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】因为的图象关于点，对称， 所以，， 所以， 因为， 所以， 故， 令，解得， 故在单调递减，正确； ，，，， 根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误； 令，，得，，显然错误； ， 求导可得，， 令，即，解得或， 故函数在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即，故正确． 直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确． 故选：AD． 变式3-2．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．该图象对应的函数解析式为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】AD 【分析】由图象求出函数解析式，再根据正弦函数性质判断各选项. 【详解】由题意，，则， ，又，所以， 所以，A正确； ，所以是图象的对称轴，B错； ，是图象的对称中心，C错； 时，，递减，D正确. 故选：AD. 变式3-3．关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 变式3-4.（多选）已知函数（），下列结论错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确； 当时，， 的图象不关于点对称，故B错误； 当时，，因为在上不单调， 所以函数在区间上不是减函数，故C错误； 当时，为最大值， 的图象关于对称，故D正确． 故选：BC． 类型四、含绝对值的三角函数图像与性质分析 核心解题思路是“先去绝对值→再绘图像→最后分析性质”，围绕“翻折、分段、结合基础性质”展开。一、去绝对值的核心技巧 1.分区间讨论：令绝对值内表达式≥0和＜0，划分定义域分段，转化为不含绝对值的三角函数。 2.利用对称性简化：借助三角函数奇偶性（如|sin(-x)|=|sinx|）或周期性，减少分段次数。 3.区分绝对值位置：明确是“函数整体加绝对值（y=|f(x)|）”还是“自变量加绝对值（y=f(|x|)）”，两者处理逻辑不同。 二、图像绘制的3步方法 1.画基础图像：先绘制不含绝对值的原三角函数图像（如y=sinx、y=cosx、y=tanx）。 2.针对性翻折：函数整体加绝对值（y=|sinx|），将x轴下方图像沿x轴翻折到上方；自变量加绝对值（y=sin|x|），保留y轴右侧图像，左侧按y轴对称复制。 3.标注关键节点：补充顶点、零点、对称轴等，明确图像的分段特征。 三、性质分析的关键要点 1.周期性：整体加绝对值会使周期减半（如y=|sinx|周期为π，原sinx周期为2π）；自变量加绝对值（y=sin|x|）非周期函数。 2.单调性：结合翻折后的图像分段判断，避开原函数的递减区间（翻折后可能变为递增）。 3.最值与奇偶性：翻折后最小值≥0（如|cosx|最小值0），最大值与原函数一致；两类含绝对值的三角函数均为偶函数（满足f(-x)=f(x)） 例4.关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期是 D．在内单调递增 【答案】C 【分析】作出的图象，结合正切函数的性质对选项逐一判断， 【详解】作出的图象如图所示， 对于A，，故是偶函数，故A正确， 对于B，结合正切函数的性质知的图象关于直线对称，故B正确， 对于C，的最小正周期是，故C错误 对于D，结合正切函数的性质知在内单调递增，故D正确， 故选：C 正周期为.故选：A （2）（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的最大值为2 C．函数在单调递增 D．函数的最小正周期是 【答案】AC 【分析】先利用奇偶性定义和三角函数值的分布判断选项AB的正误，再结合函数图象判断CD的正误. 【详解】由知，函数是偶函数，A正确； 当时，取得最大值1，故B错误； 作出函数的图象如下： 由图象易知，函数在单调递增，最小正周期为，故选项C正确，D错误. 故选：AC. 变式4-1．函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 变式4-2．（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．是的一个单调递增区间 C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据正弦函数、正切函数奇偶性判断A，取特值判断B，根据诱导公式判断C，分类讨论判断D. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故A正确； 因为，所以， 且，所以不是函数的递增区间，故B不正确； ，故C正确； 因为当时，，所以， 同理，当时，，即时，，故D正确. 故选：ACD. 变式4-3．（1）已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 的图象关于直线对称 B. 是图象的一个对称中心 C. 的周期为 D. 在区间单调递减 【答案】ACD  【分析】 本题考查三角函数的图象和性质，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 由函数的对称性和诱导公式可判断；由函数的对称性和诱导公式可判断；由周期函数的定义可判断；由正弦函数的单调性可判断． 【解答】 解：由，， 即有， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 由， 故的图象不关于对称，故B错误． 由，故C正确； 当时，单调递减． 所以在区间单调递减，故D正确． 故选：． （2）（多选）关于函数，下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递减 C．在有3个零点 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】对于A，举出反例推翻即可；对于B，求出函数表达式即可验证；对于C，求出函数表达式即可验证；对于D，由周期性结合函数单调性即可验证. 【详解】对于A，， 即不是的最小正周期，故A错误； 对于B，当时，，在区间单调递减，故B正确； 对于C，当时，， 由此可知在有无数个零点，故C错误； 对于D，注意到， 即是以为周期的一个周期函数， 故我们只需考虑它在一个周期内的最大值的情况即可， 由C选项分析可知，当时，， 此时，当且仅当时，等号成立， 综上所述，的最大值为，故D正确. 故选：BD. 变式4-4．（1）函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和的情况下，化简函数解析式，根据正切函数和正弦函数的单调性和性质可判断出结果. 【详解】当时，， 此时函数为减函数，且，可排除CD； 当时，， 此时函数为增函数，且，可排除A. 故选：B. （2）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性以及值域，即可由排除法判断求出． 【详解】设，易知，所以函数为奇函数，即函数的图象关于原点对称，当，，故排除；当时，，排除，所以正确的是D． 故选：D． （3）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，分别讨论，，，的函数关系式，结合正弦函数图象特征，即可求得答案. 【详解】， ①当 化简： ②当 化简： ③当 化简： ④当 化简： 综上所述： 结合正弦函数图象特征可得：只有C满足 故选：C. 类型五、三角函数在给定区间上的最值问题 关键解题技巧 ①利用有界性：sinθ、cosθ的取值范围是[-1,1]，这是最值的基础边界，标准型中A的正负会影响最值对应关系。 ②优先找对称轴：对于y=A sin (ωx+φ)，令ωx+φ=π/2+kπ（正弦）或ωx+φ=kπ（余弦），判断对称轴是否在给定区间内，对称轴处往往是最值点。 ③参数问题分类讨论：若区间或函数中含参数（如ω、φ或区间端点含参），需根据参数范围划分情况，避免遗漏区间与相位范围的对应关系。 例5．已知函数，则函数的最大值为__________． 【答案】1 【分析】利用整体法求解三角函数的最值. 【详解】因为，所以， 所以，所以的最大值为1． 故答案为：1 变式5-1．已知函数，若在上的值域是，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知求出的范围即可. 【详解】，因为，所以 又因为的值域是，所以 可知的取值范围是. 故选：BC. 变式5-2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为2 B．函数的最小值为 C．函数在上单调递减 D．函数在内有且只有一个零点 【答案】BCD 【详解】，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值，为，当时，函数取得最小值，为，所以的最大值为，最小值为，故A错误，B正确；当时，单调递减，且，此时单调递增，所以函数在上单调递减，C正确；当时，先增后减且，易知在内有且仅有一个零点，且，数形结合可知在内有唯一根，即函数在内有且只有一个零点，D正确.故选：BCD. 变式5-3．函数，的值域为 . 【答案】 【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】令，， 因为函数在上单调递增，当时，，即， 又因为函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数，的值域为. 故答案为：. 变式5-4.若关于的方程在内有实数解，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】令，，则在有解，由二次函数性质求参数范围. 【详解】由题意可得，， 令，，则， 若，对称轴为， 所以在单调递增， 因为在有解， 由零点存在性定理可得，， 解得，所以实数的取值范围为：. 故答案为：. 类型六、图像变换与性质融合题（平移、伸缩、对称） 关键变换与性质融合技巧 ①平移与奇偶性融合：若变换后函数为奇函数（过原点），则标准型中φ=kπ且B=0；为偶函数则φ=π/2+kπ且B=0（k∈Z），结合平移量（左移φ/ω或右移-φ/ω）反向推导。 ②伸缩与周期融合：周期T=2π/|ω|，伸缩变换中“横坐标变为原来的1/|ω|倍”对应ω的变化，可通过周期条件直接锁定ω的值。 ③对称变换与对称轴融合：关于x=a对称，则ωa+φ=π/2+kπ（正弦）或ωa+φ=kπ（余弦）；关于原点对称则为奇函数，结合对称变换（如关于x轴对称则A变号）调整参数 例6．已知函数．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数在区间上的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的图象变换，得到，再由，令，即可求解. 【详解】将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数， 当，可得， 令，解得，即函数的单调递减区间为. 故答案为：. 变式6-1已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据函数图象的变关系直接求解； 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， 故答案为：. 变式6-2．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数为 y＝2sin（x2），再利用正弦函数的图象的对称性，求得，k∈z，由此求得的最小值． 【详解】将函数的图象向右平移（＞0）个单位， 可得y＝2sin[2（x﹣φ）]＝2sin（2x2）的图象； 再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 所得图象对应的函数为 y＝2sin（x2）． 再根据所得图象关于直线x对称，可得 2＝kπ，k∈z， 即，故的最小正值为 ，故选C． 变式6-3．已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，将的图象向左平移个单位得到一个奇函数，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知,从而求出,再将最小值代入解析式求出,从而得到,进而根据平移变换得到平移后的解析式,再利用奇偶性求出,即可得出结论. 【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于,所以, 所以,即又当时,函数取得最小值,所以, 则,又,所以,所以, 设将的图象向左平移个单位得到,则,因为是一个奇函数, 所以,即,所以当时,的最小正值是,故选:D. 变式6-4.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值. 【详解】 根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度, 可得。由,可知。即 所以。的最大值为,的最小值为 则的最大值为,的最小值为。所以的最大值为 故选:A 压轴专练 一、单选题 1．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为 ， 因为的图象关于y轴对称， 所以，，解得，， 因为，所以. 故选：D. 2．将函数右移个单位得到函数，则的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平移得出解析式，再应用对称轴方程计算判断. 【详解】函数右移个单位得到函数． 令，得， 当时，得， 故选：D 3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数图象平移后与原图象重合得出与的关系，再结合的最小值求出，最后根据正弦函数对称中心的性质求出曲线的对称中心的横坐标. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后,可得，由于所得图象与原图象重合， 故，可得， ，因为的最小值为2，故当时，的最小值， 即，解得. 所以，令，解得， 故曲线的对称中心的横坐标为. 故选：. 4．已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得为函数的最大值或最小值，即可求出的取值集合，再由周期求出的范围，即可求出的值，从而得解. 【详解】，为函数的最大值或最小值. ，，解得.又 函数的最小正周期满足，且， ，解得，当时，满足题意，. 故选：B. 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数，令，解得且， 所以的定义域为， 又， 所以为奇函数，则函数图像关于原点对称，故排除B、D； 当时，，，，所以，故排除C. 故选：A 6．已知函数，下列选项中错误的是（   ）. A．函数在上为严格增函数： B．对任意，都有； C．函数在上的值域是； D．若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为. 【答案】D 【分析】根据正弦函数的单调性、值域、图象和性质逐项判断即可. 【详解】因为函数，当时， ，根据正弦函数的图象可知此时函数是严格增函数，所以A正确； 因为所以B正确； 因为，所以， 所以根据正弦函数的图象和性质可得其值域为，所以C正确； 令，则，解得. 当时，；当时，；当时，； 若函数在上恰有2个零点，则，所以D错误. 故选：D. 7．已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为函数为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 8．已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件“对任意的，恒成立”得出函数周期，从而得出值，利用“时，取到最大值”得出的表达式，从而得出的表达式，最后结合余弦函数的周期性得出的所有可能值． 【详解】，对任意的恒成立， 函数周期满足， ， ， 当时，取到最大值，， ，即， ， ，则的可能值为： 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，值循环出现． 的所有可能取值集合为：． 故选：C． 二、多选题 9．已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用正切函数的周期性求得判断A；利用正切函数的定义域求解判断B；利用正切函数的单调性求解判断C；利用正切函数的性质解不等式判断D. 【详解】∵，∴，∴，故A错误； ∵，∴， ∴的定义域为，故B正确； 由，解得， ∴的单调增区间为，， 时，单调增区间为，显然，故C正确； 由得，， ∴，， ∵，∴时，a取最大值为，故D正确. 故选：BCD 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 【答案】BC 【分析】根据题意，化简得到，设，结合二次函数的性质，可得判定A错误；化简得到，可判定B正确；证得函数为偶函数，图象关于轴对称，取，得到，设，利用二次函数的性质，可得判定C正确；画出函数的图象，结合图象，求得所有根之和组成的集合，可判定D正确. 【详解】对于A，当，可得， 设，则，且函数在上单调递增， 设，则的图象开口向下，对称轴为， 因为，所以时，单调递增，时，单调递减， 所以函数在上不是单调函数，所以A错误； 对于B，由， 所以函数的图象关于直线对称，所以B正确； 对于C，又由， 且， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称且函数的一个周期为， 函数的图象关于直线对称，取， 则， 设，则，可得， 所以，所以的值域为，所以C正确； 对于D，由B知：函数的图象关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示， 当方程在区间上有一个实数根时，可得方程只有一个根为，则所有根之和为； 当方程在区间上有两个实数根时，可得两根关于对称，此时所有根之和为； 当方程在区间上有四个实数根时，可得四个根两两关于对称，此时所有根之和为， 综上可得方程在区间上所有根之和组成的集合为，所以D不正确. 故选：BC 11．已知函数，下列说法正确的是（     ） A．若函数为偶函数，则 B．若时，且在上单调，则 C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D．若函数在上至少有两个最大值点，则 【答案】ABD 【分析】对于A项，根据正余弦函数奇偶性可得出，从而求出，可判断A；对于B项，根据正弦函数单调性列出不等式，求解可求出范围，从而判断B；对于C项，当时，根据的解从而判断C；对于D项，在上至少有两个最大值点，则，可求出的大致范围，在的范围下逐一讨论区间端点所在范围，可求出的最终范围. 【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则， 则，故A项正确； 对于B项，时，， 因为，所以， 因为在上单调，所以有，解得，故B项正确； 对于C项，当时，，由题意只有两个解， 所以的图象在长度为的区间上与直线只有两个交点，不合题意，故C项错误； 对于D项，， 故，所以，所以. 因为，所以. 由于，所以， 则，解得； ②，解得； ③，解得； ④当时，，满足在上至少有两个最大值点； 综上所述，. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知函数的最小正周期为，，则等于 . 【答案】2 【分析】根据周期得出，再根据结合，得出，最后代入计算求解. 【详解】，又因为得， 所以，即得， 又因为，所以， 因此，. 故答案为：2. 13．已知函数的最小正周期为，给出以下结论： ① ②的对称轴方程为 ③“”是“”的充要条件 ④“”是“为偶函数”的充要条件 则上述结论中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）． 【答案】①③ 【分析】由诱导公式变形判断①；由正弦函数的对称轴求解判断②；根据充要条件的判断③；根据充要条件的定义和偶函数的定义、诱导公式判断④. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，由，得，②错误； 对于③，由，得，反之由，，③正确； 对于④，由①得，当时，是偶函数， 而当时，函数也为偶函数， “”是“为偶函数”的充分不必要条件，④错误． 故答案为：①③ 14．已知且，函数在区间的最小值为3，则在区间的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，利用对称性和单调性可得在区间的最大值. 【详解】由，则， 所以， 当时，，所以， 由于当时，，所以当时，； 故答案为： 四、解答题 15．已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)函数，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数对称轴的性质求出的值，进而确定的解析式； （2）根据正弦函数的取值范围求解不等式； （3）通过换元法将函数转化为二次函数，再结合二次函数的性质和的取值范围求出函数的值域. 【详解】（1）由题可知， 因此， ，，； （2）由，得， ， ； （3） ， 令，则． ，，， 当时，取最大值，为， 当或时，取最小值，为1， 所以函数的值域为． 16．函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意判断函数最小正周期，以及函数上的点的坐标，求出参数，写出函数解析式即可. （2）根据函数单调性，列出不等式，求出解得范围即可. （3）根据函数单调性，求出在给定区间上的值域，进而判断参数的范围. 【详解】（1）当恒成立，此时最小值为，可知最小正周期，所以， 则过点，代入得， 化简得，即，解得， 因为，所以，可得； （2）当时，可得， 解得， 因为，所以当时，得，当时，得， 所以的范围为. （3）当时，， 设， 可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可知， 当在上有两个不相等实数根时. 17．已知函数. (1)求图象的对称中心的坐标， (2)求在上的值域， (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解； （2）由，得到，再结合正弦函数的性质即可求解； （3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1） ， 令， 解得：， 所以图象的对称中心的坐标为； （2）因为，所以， 当，即时，取得最大值，； 当，即时，取得最小值，； 所以在上的值域是 （3）设， 则对任意的，不等式恒成立，等价于： 对任意的，不等式恒成立， 所以， 解得：， 即的取值范围是. 18．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的取值范围； (3)若在上的最大值为，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据三角函数单调性，通过换元法求解不等式，最终求出即可. 通过的范围求整体范围，找出最大值和最小值，根据恒成立条件列出的不等式，最终求解的范围即可. 利用换元法，根据的范围求整体范围，在正弦函数固定长度区间上找出最值差. 【详解】（1）函数的单调递增区间为.       令，，解得，. 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，，. 所以，的最大值为，最小值为0，即.     ，. 因为，，所以. 所以解得，. 故的取值范围为. （3）由题意可得函数在上的最大值为，最小值为. 令，则在上的最大值为，最小值为.          当时，，.   当时，，.      当时，，.         以此类推，当时，. 当时，. 当时，. 综上，的取值范围为. 19．已知函数（，）的最小正周期为T.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并回答下面两个问题. (1)直接写出和的值，并求的对称轴. (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求m的取值范围. 条件①：的图象可由的图象平移得到； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：； 条件④：. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）通过分析①③，①④，①②，②③，②④，③④六种条件组合，选择①③，①④时可推出唯一确定的，，使得函数存在且唯一确定，从而推出，根据函数性质求出对称轴. （2）根据（1）结论，令，由，利用正弦函数的性质推出的单调性和值域，根据单调性和值域讨论与的交点情况，得出的取值范围. 【详解】（1）若选择①②， 由①可得，故最小正周期，故， 取，则当时，，在递增； 且可由向右平移个单位得到； 取，则当时，，故在递增； 且可由向右平移个单位得到， 故此时不唯一，舍； 若选择①③，由①可得，故最小正周期，代入： ，结合，得. 所以，，故. 对称轴：令，解得. 若选择①④，同理可得且最小正周期为， 而由④可得， 结合可得为函数图像的对称轴， 故，而，故即. 对称轴：令，解得对称轴方程为：. 若选择条件②③， 由③可得最小正周期，代入： ， 由，得唯一解为即函数， 当时，， 因为在区间上单调递增；故， 故，此时不唯一，舍； 若选择条件②④， 取 则当时，，故在递增； 而， 取，由前述分析可得满足②④， 故此时不唯一，舍； 若选择条件③④，由③可得最小正周期，代入： ， 由，得唯一解为即函数， 取，则由前述分析得满足③④， 取，则， 此时， 满足， 故此时不唯一，舍； 综上，选择①③或①④，此时，此时对称轴方程为：. （2）令，则. 而当时，单调递增，值域为； 当时，单调递减，值域为. 因为曲线与直线在恰有一个公共点， 故曲线与直线在恰有一个公共点 故. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角函数图像与性质综合 目录 类型一、三角函数的周期性 类型二、与三角函数图像有关的判断问题 类型三、三角函数对称性与单调性的综合判断 类型四、含绝对值的三角函数图像与性质分析 类型五、三角函数在给定区间上的最值问题 类型六、图像变换与性质融合题（平移、伸缩、对称） 压轴专练 类型一、三角函数的周期性 (1)定义法：利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期, (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 例1．下列四个周期函数中，与其它三个函数周期不一致的函数是（       ） A． B． C． D． 变式1-1．以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（      ） A． B． C． D． 变式1-2．在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（　　） A．①③ B．①④ C．③④ D．②③ 变式1-3．若，是函数两个相邻的最值点，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 变式1-4.下列函数最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 类型二、与三角函数图像有关的判断问题 ①利用奇偶性快速判断：若图像关于原点对称，优先考虑正弦型（sin）或正切型（tan）；关于y轴对称，优先考虑余弦型（cos）。 ②抓对称轴与对称中心：正弦函数对称轴过波峰波谷，对称中心是零点；余弦函数相反，可快速锁定函数类型。 ③排除法优先用：先根据周期、振幅排除明显错误的选项，再聚焦剩余选项分析相位，减少计算量。 相位平移口诀：“左加右减，针对x本身”，比如 y=sin(ωx+φ)是y=sinωx向左平移|φ/ω|个单位（φ>0时），避免平移方向出错 例2.函数的部分图象大致为（    ） A．B．C． D． 变式2-1．函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．函数的图像是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 类型三、三角函数对称性与单调性的综合判断 三角函数对称性与单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性 例3.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值． 变式3-1．（多选）已知函数的图像关于点，中心对称，则（ ） A．在区间单调递减 B．在区间，有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 变式3-2．（多选题）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．该图象对应的函数解析式为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 变式3-3．关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 变式3-4.（多选）已知函数（），下列结论错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 类型四、含绝对值的三角函数图像与性质分析 核心解题思路是“先去绝对值→再绘图像→最后分析性质”，围绕“翻折、分段、结合基础性质”展开。一、去绝对值的核心技巧 1.分区间讨论：令绝对值内表达式≥0和＜0，划分定义域分段，转化为不含绝对值的三角函数。 2.利用对称性简化：借助三角函数奇偶性（如|sin(-x)|=|sinx|）或周期性，减少分段次数。 3.区分绝对值位置：明确是“函数整体加绝对值（y=|f(x)|）”还是“自变量加绝对值（y=f(|x|)）”，两者处理逻辑不同。 二、图像绘制的3步方法 1.画基础图像：先绘制不含绝对值的原三角函数图像（如y=sinx、y=cosx、y=tanx）。 2.针对性翻折：函数整体加绝对值（y=|sinx|），将x轴下方图像沿x轴翻折到上方；自变量加绝对值（y=sin|x|），保留y轴右侧图像，左侧按y轴对称复制。 3.标注关键节点：补充顶点、零点、对称轴等，明确图像的分段特征。 三、性质分析的关键要点 1.周期性：整体加绝对值会使周期减半（如y=|sinx|周期为π，原sinx周期为2π）；自变量加绝对值（y=sin|x|）非周期函数。 2.单调性：结合翻折后的图像分段判断，避开原函数的递减区间（翻折后可能变为递增）。 3.最值与奇偶性：翻折后最小值≥0（如|cosx|最小值0），最大值与原函数一致；两类含绝对值的三角函数均为偶函数（满足f(-x)=f(x)） 例4.关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期是 D．在内单调递增 （2）（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数的最大值为2 C．函数在单调递增 D．函数的最小正周期是 变式4-1．函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 变式4-2．（多选）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．是的一个单调递增区间 C． D．当时， 变式4-3．（1）已知函数，则下列说法正确的是(    ) A.的图象关于直线对称 B. 是图象的一个对称中心 C. 的周期为 D. 在区间单调递减 （2）（多选）关于函数，下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递减 C．在有3个零点 D．的最大值为 变式4-4．（1）函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． （2）函数在区间上的图象可能是（    ） A． B． C． D． （3）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 类型五、三角函数在给定区间上的最值问题 关键解题技巧 ①利用有界性：sinθ、cosθ的取值范围是[-1,1]，这是最值的基础边界，标准型中A的正负会影响最值对应关系。 ②优先找对称轴：对于y=A sin (ωx+φ)，令ωx+φ=π/2+kπ（正弦）或ωx+φ=kπ（余弦），判断对称轴是否在给定区间内，对称轴处往往是最值点。 ③参数问题分类讨论：若区间或函数中含参数（如ω、φ或区间端点含参），需根据参数范围划分情况，避免遗漏区间与相位范围的对应关系。 例5．已知函数，则函数的最大值为__________． 变式5-1．已知函数，若在上的值域是，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为2 B．函数的最小值为 C．函数在上单调递减 D．函数在内有且只有一个零点 变式5-3．函数，的值域为 . 变式5-4.若关于的方程在内有实数解，则的取值范围是 类型六、图像变换与性质融合题（平移、伸缩、对称） 关键变换与性质融合技巧 ①平移与奇偶性融合：若变换后函数为奇函数（过原点），则标准型中φ=kπ且B=0；为偶函数则φ=π/2+kπ且B=0（k∈Z），结合平移量（左移φ/ω或右移-φ/ω）反向推导。 ②伸缩与周期融合：周期T=2π/|ω|，伸缩变换中“横坐标变为原来的1/|ω|倍”对应ω的变化，可通过周期条件直接锁定ω的值。 ③对称变换与对称轴融合：关于x=a对称，则ωa+φ=π/2+kπ（正弦）或ωa+φ=kπ（余弦）；关于原点对称则为奇函数，结合对称变换（如关于x轴对称则A变号）调整参数 例6．已知函数．将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数在区间上的单调递减区间为 ． 变式6-1已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的解析式为 . 变式6-2．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，所得图像关于直线对称，则的最小正值为 A． B． C． D． 变式6-3．已知两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于，当时，函数取得最小值，将的图象向左平移个单位得到一个奇函数，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 变式6-4.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 压轴专练 一、单选题 1．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 2．将函数右移个单位得到函数，则的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，且的最小值为2，则曲线的对称中心的横坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，下列选项中错误的是（   ）. A．函数在上为严格增函数： B．对任意，都有； C．函数在上的值域是； D．若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为. 7．已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的，恒成立，且当时，取到最大值，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域为 C．在上单调递增 D．若，且，则a的最大值为 10．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 11．已知函数，下列说法正确的是（     ） A．若函数为偶函数，则 B．若时，且在上单调，则 C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则 D．若函数在上至少有两个最大值点，则 三、填空题 12．已知函数的最小正周期为，，则等于 . 13．已知函数的最小正周期为，给出以下结论： ① ②的对称轴方程为 ③“”是“”的充要条件 ④“”是“为偶函数”的充要条件 则上述结论中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）． 14．已知且，函数在区间的最小值为3，则在区间的最大值为 . 四、解答题 15．已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)函数，求在区间上的值域． 16．函数的图像过点，对于恒成立，此时最小值为. (1)求的解析式 . (2)若，求的范围 . (3)若在上有两个不相等实数根，求m的范围. 17．已知函数. (1)求图象的对称中心的坐标， (2)求在上的值域， (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 18．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的取值范围； (3)若在上的最大值为，最小值为，求的取值范围. 19．已知函数（，）的最小正周期为T.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并回答下面两个问题. (1)直接写出和的值，并求的对称轴. (2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求m的取值范围. 条件①：的图象可由的图象平移得到； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：； 条件④：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $